1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842\chapter{Punkty i~końce stałe odwzorowań przestrzeni lokalnie zwartych}\label{chap4}
\chaptermark{Punkty i~końce stałe}
\begin{center}
\begin{minipage}{14cm}
{\small Dowodzimy, dla $X$~będącego lokalnie zwartym ANR-em należącym do jednej z~kilku specjalnych klas, twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym głoszącego, że jeśli dla właściwego odwzorowania $f\colon X\to X$ określona i~niezerowa jest uogólniona liczba Lefschetza $\Lambda(f)$, to istnieje punkt stały przekształcenia $f\colon X\to X$ lub punkt stały indukowanej na zbiorze końców funkcji $\E(f)\colon \E(X)\to\E(X)$. W~niektórych przypadkach wykazujemy, że o~ile funkcja $\E(f)$~nie ma punktów stałych, zachodzi równość uogólnionej liczby Lefschetza $\Lambda(f)$ i~indeksu punktów stałych $\Ind(f)$.\\
Przedstawiamy teorioporządkowe i~symplicjalne wersje powyższych wyników, a~także podajemy związki pomiędzy (ko)rozbieralnością i~operacją produktu kartezjańskiego częściowych porządków a~własnością punktu lub końca stałego.\\
Wyniki rozdziału uogólniają kombinatoryczne twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym autorstwa Halina \cite{Halin73}; niektóre przedstawione w~nim idee są też bliskie naszkicowanym w~artykule Weinbergera \cite{Weinberger09}.\\
Rozdział w~znacznej części opiera się na pracy semestralnej autora \cite{Kukiela12}, ale przedstawione w~nim wyniki są mocniejsze i~ogólniejsze.}
\end{minipage}\\[1.7cm]
\end{center}
Żaden niezwarty, lokalnie zwarty wielościan nie ma własności punktu stałego, gdyż jeśli jest on spójny, to zawiera domknięty podzbiór homeomorficzny z~nie mającą własności punktu stałego półprostą $[0,\infty)$, będącą absolutnym retraktem. Aby uzyskać~nietrywialne, a~jednocześnie dość ogólne wyniki o~istnieniu punktu stałego ciągłej funkcji określonej na lokalnie zwartym wielościanie, należy o~niej zatem poczynić jakieś dodatkowe założenia. Przykładowo, dobrze znane są twierdzenia o~punkcie stałym dla odwzorowań zwartych lub mających zbliżone własności \cite{Gorniewicz05}.
W~niniejszym rozdziale badamy właściwe odwzorowania $f\colon X\to X$, gdzie $X$~jest spójnym, lokalnie zwartym wielościanem (lub~ogólniej: spójnym, lokalnie zwartym, metrycznym ANR-em), o~tej własności, że funkcja $\E(f)\colon \E(X)\to \E(X)$ indukowana przez $f$~na zbiorze końców przestrzeni $X$~nie ma punktów stałych (w~tej sytuacji mówimy, że przekształcenie $f$~nie ma końców stałych). Przy pewnych dodatkowych założeniach o~funkcji $f$~oraz przestrzeni $X$~uzyskujemy wyniki mówiące o~istnieniu punktu stałego $f$, spośród których szczególnie interesujące są twierdzenia wiążące niezerowość uogólnionej liczby Lefschetza $\Lambda(f)$~z~niepustością zbioru punktów stałych $\Fix(f)$.
Wyniki te można również interpretować jako mówiące o~istnieniu punktu stałego lub końca stałego właściwego odwzorowania $f\colon X\to X$; przez koniec stały rozumiemy element zbioru $\Fix(\E(f))$. (Intuicyjnie, istnienie końca stałego oznacza, że $f$~zachowuje co najmniej jeden z kierunków zbieżności do nieskończoności w~przestrzeni $X$.) Można je także rozumieć jako wyniki dotyczące istnienia punktu stałego odwzorowania $\F f\colon \F X\to \F X$, indukowanego na uzwarceniu Freudenthala przestrzeni $X$.
Pomysł badania właściwych funkcji bez końców stałych nie jest nowy. W~1973~roku Halin~\cite{Halin73}~podał kombinatoryczne twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym dla różnowartościowych, symplicjalnych odwzorowań zadanych na \mbox{$1$-wymiarowych} kompleksach symplicjalnych. Sformułujmy je w~formie dostosowanej do terminologii, z~której korzystamy w~niniejszej rozprawie (Halin używał w~swojej pracy pojęć z~zakresu teorii grafów).
\setcounter{tw}{0}
\begin{tw}[{\cite[Theorem 4, 5]{Halin73}}]\label{tw-halina_o_drzewie}
Niech $K$~będzie lokalnie skończonym, \mbox{$1$-wymiarowym}, spójnym kompleksem symplicjalnym, zaś $\varphi\colon K\to K$ niech oznacza różnowartościowe odwzorowanie symplicjalne. Wówczas istnieje skończony zbiór wierzchołków $F\subseteq K$ taki, że $\varphi(F)=F$, lub istnieje koniec $\varepsilon\in\E(|K|)$ będący punktem stałym odwzorowania $\E(|\varphi|)\colon \E(|K|)\to \E(|K|)$. Jeżeli kompleks $K$~jest acykliczny, to o~zbiorze $F$~możemy dodatkowo zakładać, że jest sympleksem $K$.\footnote{Oryginalne twierdzenie Halina mówiło w~tym przypadku więcej, a~mianowicie, że jeśli nie istnieje sympleks stały, to istnieje zachowywana przez $\varphi$ nieskończona ścieżka prosta.}
\end{tw}
W~przypadku ciągłym zbliżone do zawartych w~tym rozdziale idee zostały naszkicowane w~artykule Weinbergera \cite{Weinberger09}. Wspomnieć należy także o~dość intensywnych badaniach działań grup na przestrzeniach lokalnie zwartych, w~których wykorzystuje się istnienie punktów oraz~końców stałych tych działań (patrz np.~\cite{Hamann11,Moller95}).
Najważniejsze wyniki rozdziału to twierdzenia \ref{tw-lefschetz_fpt_dla_reverse_tame} oraz \ref{tw-lefschetz_fpt_dla_forward_tame}, mówiące o~istnieniu punktu stałego właściwego, dopuszczalnego odwzorowania \mbox{$f\colon X\to X$} bez końców stałych, którego uogólniona liczba Lefschetza $\Lambda(f)$~jest niezerowa, w~przypadku gdy $X$~jest spójnym, lokalnie zwartym ANR-em oswojonym do wewnątrz lub oswojonym na zewnątrz. Jeżeli $X$~jest spójnym, lokalnie zwartym wielościanem, zaś $f\colon X\to X$ realizacją geometryczną odwzorowania symplicjalnego pewnej triangulacji przestrzeni $X$~w~siebie, to analogiczny wynik (wniosek \ref{wn-simplicial-fixed-point-or-end-theorem}) otrzymujemy bez żadnych dodatkowych założeń o~$X$, a~ponadto dowodzimy w~tym przypadku równości $\Lambda(f)=\Ind(f)$ uogólnionej liczby Lefschetza oraz indeksu punktów stałych funkcji $f$ (twierdzenie \ref{tw-rownosc_indeksu_i_l_lefschetza_odwz_sympl}). Wymienione rezultaty można traktować jako daleko idące uogólnienia twierdzenia Halina \ref{tw-halina_o_drzewie}. Godne uwagi są również wyniki sekcji \ref{subsec-korozb_a_wl_FPEP}, dotyczące zachowywania własności punktu lub końca stałego przez proces (ko)rozbierania kompleksu symplicjalnego (lub częściowego porządku).
Struktura rozdziału jest następująca. Rozpoczynamy od ścisłego sformułowania rozpatrywanych problemów oraz~dowodu podstawowych obserwacji i~lematów w~podrozdziale \ref{sec-ogolne_obs}. Następnie, w~podrozdziale \ref{sec-lef_osw_kon}, dowodzimy twierdzeń typu Lefschetza o~punkcie lub końcu stałym dla lokalnie zwartych, metrycznych ANR-ów o~odpowiednio ,,dobrych'' własnościach w~nieskończoności. Podrozdział \ref{sec-komb_twi_o_punkcie_stalym} poświęcony jest rezultatom o~charakterze dyskretnym. Dowodzimy w~nim twierdzeń typu Lefschetza o~punkcie lub końcu stałym dla odwzorowań zachowujących porządek oraz~odwzorowań symplicjalnych, a~także przedstawiamy wyniki dotyczące zachowywania własności punktu lub końca stałego przez iloczyn kartezjański częściowych porządków oraz (ko)rozbieralność częściowych porządków i~kompleksów symplicjalnych.
Rozdział w~znacznej części opiera się na napisanej pod opieką prof.~dr.~hab.~Marka Golasińskiego pracy semestralnej \cite{Kukiela12}. Przedstawione w~nim wyniki stanowią przedmiot planowanej publikacji.\\
\textbf{Wszystkie rozważane w~bieżącym rozdziale kompleksy łańcuchowe oraz grupy homologii mają współczynniki w~ciele liczb wymiernych.}
%----------------------------------------------------------
\section{Ogólne obserwacje}\label{sec-ogolne_obs}
\subsection{Końce stałe}
Przypomnijmy, że jeśli przestrzenie topologiczne $X, Y$ są sumami rozłącznymi skończonej liczby uogólnionych continuów, to właściwe odwzorowanie $f\colon X\to Y$ indukuje odwzorowanie $\E(f)\colon \E(X)\to \E(Y)$ między zbiorami ich końców, a~także ciągłe przekształcenie $\F f\colon \F X\to \F Y$ ich uzwarceń Freudenthala. \textit{Końcem stałym}\index{koniec!stalzzzy odwzorowania@stały odwzorowania!ciazzzglego@ciągłego} właściwego odwzorowania $f\colon X\to X$ nazywamy taki koniec $\varepsilon\in \E(X)$, że $\E(f)(\varepsilon)=\varepsilon$. Zbiór końców stałych odwzorowania $f$~oznaczamy symbolem $\FixEnd(f)$.\nomenclature[3b]{$\FixEnd(f)$}{zbiór końców stałych ciągłego (lub zachowującego porządek), właściwego odwzorowania $f$}\index{zbiozzzr@zbiór!konzzzcozzzw stalzzzych odwzorowania@końców stałych odwzorowania!ciazzzglzzzego@ciągłego}
Postawić można następujące pytanie o~prawdziwość uogólnienia twierdzenia Lefschetza o~punkcie stałym; celem niniejszego rozdziału jest przedstawienie częściowych na nie odpowiedzi.
\begin{problem}\label{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}
Niech $X$ będzie lokalnie zwartym ANR-em o~homologiach skończonego typu, zaś $f\colon X\to X$ właściwym odwzorowaniem. Czy jeśli $\lambda(f)\not=0$, to $\Fix(f)\cup\FixEnd(f)\not=\emptyset$?
Ogólniej, czy jeśli $X$~jest lokalnie zwartym ANR-em, natomiast~$f\colon X\to X$ jest właściwym, dopuszczalnym odwzorowaniem oraz $\Lambda(f)\not=0$, to $\Fix(f)\cup\FixEnd(f)\not=\emptyset$?
\end{problem}
Równoważnie możemy pytać o~istnienie punktu stałego odwzorowania $\F f\colon \F X\to \F X$, gdy liczba $\lambda(f)$ (bądź $\Lambda(f)$) istnieje i~jest niezerowa.
Odpowiadając na powyższe pytanie wygodnie założyć jest, że właściwe odwzorowanie $f$~nie ma końców stałych i~w tej sytuacji badać istnienie punktu stałego. Tak też zrobimy, w~poszczególnych sekcjach czyniąc ponadto pewne dodatkowe założenia.\\
\textbf{Odtąd, aż do końca podrozdziału \ref{sec-lef_osw_kon}, zakładamy, że $X$~jest uogólnionym continuum, $f\colon X\to X$ jest właściwym odwzorowaniem oraz $\FixEnd(f)=\emptyset$.}\\
Odnotujmy, że znane jest rozwiązanie problemu \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}, gdy odwzorowanie $f$~jest typu $\mathrm{CAC}$ \cite{Gorniewicz05}, czy też ma inne, podobne własności, pozwalające na dowód twierdzenia Lefschetza o~punkcie stałym. Rozważane w~tym rozdziale funkcje nie muszą jednak mieć tego typu własności.
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Zbiory przestawiające końce}
Mówimy, że zbiór $D\subseteq X$ jest dla $f$~zbiorem \textit{przestawiającym końce}\index{zbiozzzr@zbiór!przestawiajazzzcy konzzzce@przestawiający końce!w przestrzeni topologicznej}, o~ile $D$~jest zwarty i~dla każdego końca $\varepsilon \in \E(X)$ zachodzi równość $f(\varepsilon(D))\cap \varepsilon(D)=\emptyset$. Korzystając z~lematu \ref{lem-istnieje_koniec_w_strone_danej_skladowej} nietrudno zauważyć, że powyższy warunek jest równoważny temu, że $f(S)\cap S=\emptyset$ dla każdej nieograniczonej składowej spójności $S$~zbioru $X\smallsetminus D$.
Zauważmy, że jeśli $D$~jest dla $f$~zbiorem przestawiającym końce, to jest nim również każdy zbiór zwarty $D'\supseteq D$. W szczególności możemy zakładać, że składowe spójności dopełnienia zbioru przestawiającego końce są nieograniczone w~$X$, gdyż dany zbiór przestawiający końce $D$~zastąpić można, na podstawie lematu \ref{lem-dorzucanie_skladowych_a_zwartosc}, zbiorem \[D'=D\cup\bigcup\{S:S\text{ jest ograniczoną w } X \text{ składową spójności zbioru } X\smallsetminus D\}.\]
\begin{lem}\label{lem-zbi_odd_skl}
Istnieje dla $f$~zbiór $D\subseteq X$ przestawiający końce.
\end{lem}
\begin{proof}
Niech $\{K_i\}_{i\in \mN}$ będzie ciągiem wyczerpującym przestrzeń $X$. Dla każdego indeksu $i\in\mN$ oznaczmy przez $L_i$ rodzinę tych nieograniczonych w~$X$~składowych spójności $S$~zbioru $X\smallsetminus K_i$, dla których $f(S)\cap S\not=\emptyset$.
Jeśli $L_i=\emptyset$ dla pewnego $i\in\mN$, to teza lematu zachodzi, gdyż możemy przyjąć $D=K_i$.
Przypuśćmy, że $L_i\not=\emptyset$ dla wszystkich $i\in\mN$.
Niech $G=(V,E)$~będzie grafem skierowanym o~następujących zbiorach wierzchołków i~krawędzi: \begin{align*}V&=\bigcup_{i\in\mN}\{i\}\times L_i, \\ E&=\left\{\big((n,S),(n+1,T)\big)\in V^2 : T\subseteq S\right\}.\end{align*} Wobec lematu \ref{lem-malo_nieogr_skl} każdy ze zbiorów $L_i$, ~$i\in\mN$, jest skończony. Z lematu K{\"o}niga \ref{konig} wynika istnienie nieskończonej ścieżki prostej $\{(i,S_i)\}_{i\in\mN}$ w grafie skierownym~$G$.
Definiujemy koniec $\varepsilon\in \E(X)$, dla $i\in\mN$ przyjmując $\varepsilon(K_i)=S_i$ (na podstawie~lematu \ref{lem-co_wyznacza_koniec_w_sigma_zwartej} przyporządkowanie to wyznacza jednoznacznie koniec przestrzeni $X$). Zauważmy, że $\E(f)(\varepsilon)=\varepsilon$, co jest sprzeczne z~przyjętą umową, że $\FixEnd(f)=\emptyset$.
\end{proof}
\begin{uw}\label{uw-zbi_odd_skl}
Jeśli założymy, że zbiór $\E(X)$ jest skończony, to istnienie zbioru przestawiającego końce wykazać można w~prostszy sposób. Poniżej prezentujemy ten alternatywny dowód.
\end{uw}
\begin{proof}
Jeżeli zbiór $\E(X)$ jest skończony, to istnieje zwarty zbiór $C\subseteq X$ taki, że jeśli $\varepsilon,\varepsilon'\in \E(X)$ oraz~$\varepsilon\not=\varepsilon'$, to $\varepsilon(C)\not=\varepsilon'(C)$ (a~zatem również $\varepsilon(C)\cap \varepsilon'(C)=\emptyset$). Przyjmijmy $D=C\cup f^{-1}(C)$ oraz ustalmy $\varepsilon\in \E(X)$. Funkcja $\E(f)$ przeprowadza koniec $\varepsilon$~na pewien koniec $\varepsilon'\not=\varepsilon$. Z~definicji $\E(f)$ otrzymujemy $f\left(\varepsilon\left(f^{-1}(C)\right)\right)\subseteq \varepsilon'(C)$. Ponieważ $f^{-1}(C)\subseteq D$, zachodzi inkluzja $\varepsilon(D)\subseteq \varepsilon\left(f^{-1}(C)\right)$ i~w~konsekwencji $f(\varepsilon(D))\subseteq \varepsilon'(C)$. Ale $C\subseteq D$, zatem $\varepsilon(D)\subseteq \varepsilon(C)$. Wobec tego \[f(\varepsilon(D))\cap\varepsilon(D)\subseteq \varepsilon'(C)\cap \varepsilon(C)=\emptyset,\] gdzie ostatnia równość wynika z~własności zbioru $C$.
\end{proof}
Rozważane w~dalszej części rozdziału przestrzenie będą zazwyczaj spójnymi, lokalnie zwartymi, metrycznymi \mbox{ANR-ami}. Ponieważ przestrzenie te są uogólnionymi continuami Peano (patrz s.~\pageref{ANR_jest_continuum}), prawdziwy jest następujący wniosek.
\begin{wn}\label{wn-istnieje_zb_przest_konce_dla_anrow}
Jeżeli $X$ jest spójnym, lokalnie zwartym, metrycznym \mbox{ANR-em}, to istnieje dla $f$ zbiór $D\subseteq X$ przestawiający końce i~taki, że składowe spójności $X\smallsetminus D$ są nieograniczone w~przestrzeni $X$.
\end{wn}
\textbf{Będziemy odtąd korzystać z~wniosku \ref{wn-istnieje_zb_przest_konce_dla_anrow} nie odwołując się do niego w~sposób jawny.}
\begin{lem}\label{lem-fixed_point_set_zwarty}
Zbiór $\Fix(f)$ jest zwarty.
\end{lem}
\begin{proof}
Na podstawie lematu \ref{lem-zbi_odd_skl} istnieje zbiór $D\subseteq X$~będący dla $f$~zbiorem przestawiającym końce. Możemy zakładać, że składowe spójności przestrzeni $X\smallsetminus D$ są nieograniczone w $X$. Z~własności zbioru $D$ wynika natychmiast, że funkcja $f$~nie ma punktów stałych w zbiorze $X\smallsetminus D$. Zbiór $\Fix(f)$ zawiera się zatem w~zwartym zbiorze $D$. Ponieważ zbiór $\Fix(f)$ jest domknięty (gdyż $X$~jest przestrzenią Hausdorffa), jest również zwarty.
\end{proof}
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Brak końców stałych a~indeks punktów stałych}
Konsekwencją istnienia zbioru przestawiającego końce jest możliwość określenia indeksu punktów stałych odwzorowania $f$.
\begin{wn}
Jeżeli $X$ jest spójnym, lokalnie zwartym, metrycznym \mbox{ANR-em}, to dobrze określony jest indeks punktów stałych $\Ind(f)$ mający własności {\normalfont (I)}--{\normalfont (VI)}.
\end{wn}
\begin{proof}
Wobec lematu \ref{lem-fixed_point_set_zwarty} zbiór $\Fix(f)$ jest zwarty, czyli odwzorowanie $f$~jest dozwolone. Teza wniosku wynika z~twierdzenia \ref{tw-granasa-o-indeksie}.
\end{proof}
Naturalne w~tej sytuacji staje się pytanie o~własność (VII); pozytywna odpowiedź na to pytanie, dzięki własności (III) indeksu punktów stałych, stanowiłaby również rozwiązanie problemu \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}.
\begin{problem}\label{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie}
Niech $X$ będzie spójnym, lokalnie zwartym, metrycznym \mbox{ANR-em}, zaś $f\colon X\to X$ niech będzie właściwym, dopuszczalnym odwzorowaniem. Czy jeśli $\FixEnd(f)=\emptyset$, to $\Lambda(f)=\Ind(f)$?
\end{problem}
Zauważmy, że w~sformułowaniu problemu \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie} założenie o~dopuszczalności funkcji $f$~jest istotne.
\begin{ex}\label{ex-jacob-ladder}
Rozważmy podzbiór płaszczyzny \[X=\{(t,1):t\in\mR\}\cup \{(t,-1):t\in\mR\}\cup \{(n,s):n\in\mZ, s\in [-1,1]\}\] oraz właściwą funkcję $f\colon X\to X$ zadaną wzorem $f(x,y)=(-x,y)$. Indeks punktów stałych $\Ind(f)=1$, ale odwzorowanie $H_*(f)$ nie jest, co łatwo zauważyć, dopuszczalne, więc liczba Lefschetza $\Lambda(f)$ nie jest dobrze określona. (Przestrzeń $X$, przedstawiona na rysunku \ref{fig-drabina_jakubowa}, nazywana bywa niekiedy drabiną Jakubową.)
\end{ex}
\begin{figure}[h]
\[\xymatrix@M=-2pt@R=40pt@C=40pt{\cdots\ \ar@{-}[r] & \ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \ar@{-}[d]\ar@{-}[r] & \ \cdots\\\cdots\ \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & \ar@{-}[r] & \ \cdots }\]
\caption{Drabina Jakubowa (patrz Księga Rodzaju 28, 12).}\label{fig-drabina_jakubowa}
\end{figure}
Pewien związek indeksu punktów stałych właściwego odwzorowania bez końców stałych z~liczbą Lefschetza opisuje następujący lemat.
\begin{lem}\label{lem-indeks-rowny-liczbie-lefschetza-uzwarcenia-freudenthala}
Jeżeli przestrzenie $X$~oraz $\F X$ są metrycznymi \mbox{ANR-ami}, to zachodzi równość $\Ind(f)=\lambda(\F f)=\Ind(\F f)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Przyjmijmy oznaczenia: \begin{align*}U_1&=X,& X_1&=\F X,& f_1&=f\colon X\to X,\\
U_2&=X,& X_2&=X,& f_2&=i\colon X\hookrightarrow \F X.\end{align*}
Mamy \[f_1\circ f_2=f\circ i\colon X\to X,\quad f_2\circ f_1=i\circ f\colon X\to \F X.\] Z~własności przemienności (VI) otrzymujemy $\Ind(i\circ f)=\Ind(f\circ i)=\Ind(f)$.
Ale $\lambda(\F f)=\Ind(\F f)$ z~własności normalizacji (VII). Ponieważ, wobec przyjętej umowy, $\Fix(\F f)\subseteq X$, a~$X$~jest otwartym podzbiorem $\F X$, na podstawie własności wycinania (I)~ma miejsce równość \[\Ind(\F f)=\Ind\left(\F f\big |_X\right)=\Ind(i\circ f).\qedhere\]
\end{proof}
Wobec tego, gdy zarówno przestrzeń $X$, jak i~jej uzwarcenie Freudenthala są metrycznymi \mbox{ANR-ami}, problem \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie} sprowadza się do pytania o~równość liczb $\Lambda(f)$ oraz~$\lambda(\F f)$, o~ile pierwsza z~nich jest dobrze określona. Warto jednak wspomnieć, że charakteryzacja tych metrycznych \mbox{ANR-ów}, których uzwarcenie Freudenthala (czy też uzwarcenie jednopunktowe) jest metrycznym \mbox{ANR-em}, jest problemem otwartym \cite[Problem 875]{West90}.
\begin{comment}
Kończąc podstawowe uwagi o~indeksie punktów stałych postawmy jeszcze jeden, niejasno sformułowany, ale chyba dość interesujący problem. /normalization should take into account fixed point indices at infinity (fixed end indices)
\begin{problem}\label{PROBLEM-indeks-w-nieskonczonosci}
Czy możliwe jest zdefiniowanie sensownego ,,indeksu punktów stałych w~nieskończoności''?
\end{problem}
\end{comment}
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Brak końców stałych a liczba Lefschetza}
Bieżąca sekcja zawiera obserwacje dotyczące zachowania się liczby Lefschetza homomorfizmów indukowanych przez $f$~na homologiach: singularnych, lokalnie skończonych oraz homologiach w~nieskończoności.
\begin{stw}\label{stw-indukowany_na_homologiach_w_nieskonczonosci_ma_zerowa_liczbe_lefschetza}
Jeżeli homomorfizm $H^\infty_*(f)\colon H^\infty_*(X)\to H^\infty_*(X)$ jest dopuszczalny, to $\Lambda\left(H_*^\infty(f)\right)=0$.
\end{stw}
\begin{proof}
Na podstawie lematów \ref{lem-istnieje_ciag_wyczerpujacy}, \ref{lem-sigma_zwarta_kazdy_zwarty_w_wyczerpujacym} oraz \ref{lem-zbi_odd_skl} istnieją zwarte podzbiory $K_0, K_1, K_2\subseteq X$ będące dla $f$~zbiorami przestawiającymi końce i~takie, że $K_0\subseteq\Int(K_1)$ oraz $K_1\cup f^{-1}(K_1)\subseteq\Int(K_2)$. Możemy ponadto zakładać, że spójne składowe dopełnień zbiorów $K_0$, $K_1$, $K_2$ są nieograniczone w~$X$. Niech $T_1,\ldots,T_n$ będą wszystkimi składowymi spójności zbioru $X\smallsetminus K_0$ (na podstawie lematu \ref{lem-malo_nieogr_skl} jest ich skończenie wiele). Przyjmijmy, dla $i=1,\ldots,n$ oraz $j=1,2$, oznaczenie $T_i^j=\overline{T_i\smallsetminus K_j}$. Zauważmy, że \[\overline{X\smallsetminus K_j}=\bigcup_{i=1}^{n} T_i^j\] dla $j=1,2$.
Na podstawie lematu \ref{lem-wlozenie_kozwartego_indukuje_izomorfizm} włożenia \[\left(\overline{X\smallsetminus K_j}\right)\hookrightarrow X,\quad j=1,2,\] oraz \[T_i^2\hookrightarrow T_i^1,\quad i=1,\ldots,n\]
indukują izomorfizmy na grupach homologii w~nieskończoności.
Przypomnijmy, że $S(X)$ oraz $S^\lf(X)$ oznaczają odpowiednio kompleks łańcuchów singularnych oraz kompleks lokalnie skończonych łańcuchów singularnych przestrzeni $X$. Dla $j=1,2$ zauważmy, że
\begin{align*}
S\left(\overline{X\smallsetminus K_j}\right)=\bigoplus_{i=1}^{n}S\left(T_i^j\right), & & S^\lf\left(\overline{X\smallsetminus K_j}\right)=\bigoplus_{i=1}^{n}S^\lf\left(T_i^j\right),
\end{align*}
a~zatem również
\[H_*^\infty(X)\cong H_*^\infty\left(\overline{X\smallsetminus K_j}\right)=\bigoplus_{i=1}^{n}H_*^\infty\left(T_i^j\right).\]
Oczywiście dla każdego $i\in\{1,\ldots,n\}$ istnieje $\tilde{\imath}\in \{1,\ldots,n\}\smallsetminus\{i\}$ takie, że $f\left(T_i^2\right)\subseteq T_{\tilde{\imath}}^1$, a~zatem również $H_*^\infty(f)\left(H_*^\infty\left(T_i^2\right)\right)\subseteq H_*^\infty\left(T_{\tilde{\imath}}^1\right)$. Załóżmy, że homomorfizm $H_*^\infty(f)$ jest dopuszczalny. Z~lematu \ref{lem-permutowanie_podprzestrzeni_a_liczba_lefschetza} otrzymujemy równość $\Lambda\left((H_*^\infty(f)\right)=0$.
\end{proof}
Ze stwierdzenia \ref{stw-indukowany_na_homologiach_w_nieskonczonosci_ma_zerowa_liczbe_lefschetza} wynika, że jeśli właściwe przekształcenie $X\to X$ indukuje dopuszczalny endomorfizm homologii w~nieskończoności o~niezerowej uogólnionej liczbie Lefschetza, to przekształcenie to ma koniec stały. Stwierdzenie \ref{stw-indukowany_na_homologiach_w_nieskonczonosci_ma_zerowa_liczbe_lefschetza} można więc uznać za swego rodzaju ,,twierdzenie \mbox{Lefschetza} o~końcu stałym''.
\begin{lem}\label{lem-rownosc_liczb_lefschetza_lf_i_zwyklej}
Jeżeli dwa spośród homomorfizmów $H_*(f)$, $H_*^\lf(f)$, $H_*^\infty(f)$ są dopuszczalne, to dopuszczalny jest też trzeci z~nich oraz $\Lambda\left(H_*(f)\right)=\Lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Na podstawie stwierdzenia \ref{stw-ciag_dokladny_homologii} istnieje diagram \[\xymatrix{\cdots\ar[r] & H_n^\infty(X)\ar[r]\ar[d]^{H_n^\infty(f)} & H_n(X)\ar[r]\ar[d]^{H_n(f)} & H_n^{\lf}(X)\ar[r]\ar[d]^{H_n^{\lf}(f)} & H_{n-1}^\infty(X)\ar[r]\ar[d]^{H_{n-1}^\infty(f)} & \cdots\\
\cdots\ar[r] & H_n^\infty(X)\ar[r] & H_n(X)\ar[r] & H_n^{\lf}(X)\ar[r] & H_{n-1}^\infty(X)\ar[r] & \cdots}\] przemienny, którego wiersze są ciągami dokładnymi. Jeżeli dwa spośród homomorfizmów $H_*(f)$, $H_*^\lf(f)$, $H_*^\infty(f)$ są dopuszczalne, to wobec lematu \ref{lem-2gi_lemat_o_liczbie_lefschetza} dopuszczalny jest też trzeci z~nich i~zachodzi równość \[\Lambda\bigl(H_*^\lf(f)\bigr)=\Lambda\left(H_*(f)\right)-\Lambda\left(H_*^{\infty}(f)\right).\] Ale $\Lambda\left(H_*^{\infty}(f)\right)=0$ na podstawie stwierdzenia \ref{stw-indukowany_na_homologiach_w_nieskonczonosci_ma_zerowa_liczbe_lefschetza}.
\end{proof}
W~sformułowaniach problemów \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}, \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie} można zastąpić liczbę $\Lambda(f)$ przez $\Lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$. Jeżeli dla danego odwzorowania $f\colon X\to X$ obie te liczby są dobrze określone, to wobec lematu \ref{lem-rownosc_liczb_lefschetza_lf_i_zwyklej} otrzymane w~ten sposób problemy są równoważne wyjściowym. W~dalszej części rozdziału podajemy jednak przykłady takich właściwych odwzorowań $f\colon X\to X$ bez końców stałych, że jedna z~liczb $\Lambda(f)$, $\Lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$ jest dobrze określona, a~druga nie.
%---------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Własność punktu lub końca stałego}
Mówimy, że przestrzeń topologiczna $Y$~będąca sumą rozłączną skończonej liczby uogólnionych continuów ma \textit{własność punktu lub końca stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!punktu lub konzzzca stalzzzego@punktu lub końca stałego!przestrzeni topologicznej}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!punktu lub konzzzca stalzzzego@punktu lub końca stałego}, co zapisujemy symbolicznie przez $Y\in\FPEP$,\nomenclature[3l]{$X\in\FPEP$}{przestrzeń topologiczna (lub częściowy porządek) $X$~ma własność punktu lub końca stałego} o~ile dla każdego właściwego odwzorowania $g\colon Y\to Y$ co najmniej jeden ze zbiorów $\Fix(g)$, $\FixEnd(g)$ jest niepusty.
Zauważmy, że własność ta jest ciekawa głównie dla przestrzeni o~co najmniej dwóch końcach, bowiem jeśli $\E(Y)=\emptyset$, to $Y\in\FPEP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $Y\in\FPP$, jeżeli zaś zbiór $\E(X)$ jest jednoelementowy, to $Y\in\FPEP$.
Podobnie jak klasyczna własność punktu stałego, własność punktu lub końca stałego jest zachowywana przez retrakcje, o~ile jednak założy się o~nich dodatkowo, że są właściwe.
\begin{stw}\label{stw-wlasciwa_retrakcja_zachowuje_fpep}
Jeżeli $Y\in\FPEP$ oraz $r\colon Y\to r(Y)$ jest właściwą retrakcją, to $r(Y)\in\FPEP$.
\end{stw}
\begin{proof}
Załóżmy, że $Y\in\FPEP$ oraz $r\colon Y\to r(Y)$ jest właściwą retrakcją. Oznaczmy przez $i\colon r(Y)\hookrightarrow Y$ włożenie przestrzeni $r(Y)$ w~$Y$. Niech \mbox{$g\colon r(Y)\to r(Y)$} będzie właściwym odwzorowaniem. Wówczas $i\circ g\circ r\colon Y\to Y$.
Jeżeli istnieje $y\in \Fix(i\circ g\circ r)$, to $y\in r(Y)$, zatem \[y=i(g(r(y))=i(g(y))=g(y),\] czyli $y\in\Fix(g)$.
Jeśli natomiast istnieje $\varepsilon\in\FixEnd(i\circ g\circ r)$, to ponieważ $r\circ i=\id_{r(Y)}$, mamy dla $\varepsilon'=\E(r)(\varepsilon)$ następujący ciąg równości: \[\E(g)\left(\varepsilon'\right)=\E(r\circ i\circ g)\left(\varepsilon'\right)=(\E(r)\circ\E(i\circ g\circ r))(\varepsilon)=\E(r)(\varepsilon)=\varepsilon'.\]
Zatem $\varepsilon'\in\FixEnd(g)$.
\end{proof}
Zauważmy, że przestrzeń, która ma własność punktu lub końca stałego, nie musi być spójna. Co więcej, jej zwarte składowe spójności nie muszą mieć własności punktu stałego. Przykładowo, suma rozłączna półprostej i~okręgu $[0,\infty)\sqcup \S^1\in \FPEP$, choć $\S^1\not\in\FPP$. Jednakże, przynajmniej w~przypadku przestrzeni o~odpowiednio ,,dobrych'' własnościach, istnienie co najmniej dwóch niezwartych spójnych składowych wyklucza własność punktu lub końca stałego.
\begin{stw}
Niespójna przestrzeń topologiczna $Y$~o~skończonej liczbie spójnych składowych, z~których każda jest uogólnionym continuum Peano, ma własność punktu lub końca stałego wtedy i~tylko wtedy, gdy $Y$~ma dokładnie jedną niezwartą składową spójności oraz~składowa ta ma własność punktu lub końca stałego.
\end{stw}
\begin{proof}
Jeżeli $Y$~nie ma niezwartej składowej, to jest niespójną przestrzenią zwartą, a~zatem $Y\not\in\FPP$ i~w~konsekwencji $Y\not\in\FPEP$.
Jeśli $Y$~ma co najmniej dwie niezwarte składowe spójności, to każda z~nich zawiera domknięty podzbiór homeomorficzny z~półprostą \cite[9.28]{Walker74}. Istnieje właściwa retrakcja przestrzeni $Y$~na sumę tych podzbiorów \cite{Sher75}. Ale przestrzeń $[0,\infty)\sqcup [0,\infty)\not\in\FPEP$, więc $Y\not\in\FPEP$ na podstawie stwierdzenia \ref{stw-wlasciwa_retrakcja_zachowuje_fpep}.
Załóżmy, że $Y$~ma dokładnie jedną niezwartą składową $S$. Jest ona właściwym retraktem $Y$~(wszystkie pozostałe składowe spójności $Y$~możemy przeprowadzić na ustalony punkt składowej $S$). Zatem, wobec stwierdzenia \ref{stw-wlasciwa_retrakcja_zachowuje_fpep}, jeżeli \mbox{$Y\in\FPEP$}, to $S\in\FPEP$. Z~drugiej strony, każde właściwe odwzorowanie $g\colon Y\to Y$ musi przeprowadzać $S$~w~$S$. Jeśli zatem $S\in\FPEP$, to $Y\in\FPEP$.
\end{proof}
W~dalszej części rozdziału zajmujemy się przede wszystkim spójnymi przestrzeniami.
Następujące pytanie stanowi szczególny przypadek problemu \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}.
\begin{problem}\label{PROBLEM-sciagalny-ma-fpep}
Czy każdy ściągalny, lokalnie zwarty, metryczny ANR ma własność punktu lub końca stałego?
\end{problem}
%==========================================================
%==========================================================
%==========================================================
\section[Twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym dla ANR-ów]{Twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym dla ANR-ów o~,,dobrych'' własnościach w~nieskończoności}\label{sec-lef_osw_kon}
Przypomnijmy, że obowiązuje założenie, iż przestrzeń $X$ jest uogólnionym continuum, zaś $f\colon X\to X$ jest właściwym odwzorowaniem bez końców stałych. \textbf{Do końca podrozdziału \ref{sec-lef_osw_kon} zakładamy dodatkowo, że $X$~jest \mbox{ANR-em}.}
Przy pewnych ograniczeniach na topologię w~nieskończoności przestrzeni $X$~odpowiadamy w~tym podrozdziale twierdząco na pytania postawione w~problemach \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym} oraz \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie}.
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
\subsection{Końce oswojone do wewnątrz}
\begin{tw}\label{tw-lefschetz_fpt_dla_reverse_tame}
Niech $X$~będzie oswojonym do wewnątrz \mbox{ANR-em}. Wówczas odwzorowanie $f\colon X\to X$ jest dopuszczalne oraz~$\Lambda(f)=\Ind(f)$.
\end{tw}
\begin{proof}
Niech $D\subseteq X$ będzie dla $f$~zbiorem przestawiającym końce, którego dopełnienie nie ma ograniczonych~składowych spójności.
Przyjmijmy $U=X\smallsetminus D$. Ustalmy $V\subseteq X$ oraz $h\colon X\times \I\to X$ jak w definicji przestrzeni oswojonej do wewnątrz (s.~\pageref{def-osw_do_wew}). Niech $g=h_1\circ f$. Oczywiście $f=h_0\circ f$ jest homotopijne z~$g$~poprzez homotopię $H$~zadaną wzorem $H(x,t)=h(f(x),t)$. Ponieważ homotopijne odwzorowania indukują ten sam homomorfizm na grupach homologii, przekształcenie $f$~jest dopuszczalne wtedy i~tylko wtedy, gdy dopuszczalne jest $g$, oraz~zachodzi wówczas równość $\Lambda(f)=\Lambda(g)$. Ale $g$~jest zwartym odwzorowaniem przestrzeni $X$~w~siebie, więc z~własności normalizacji (VII) (patrz twierdzenie \ref{tw-granasa-o-indeksie}) otrzymujemy równość $\Lambda(g)=\Ind(g)$.
Udowodnimy, że homotopia $H$~jest dozwolona. Wystarczy w~tym celu zauważyć, że $\Fix(H_t)=\Fix(f)$ dla wszystkich $t\in \I$. Ustalmy elementy $x\in X$ oraz $t\in\I$ i~rozpatrzmy dwa przypadki.
\begin{compactitem}
\item[---] Jeżeli $f(x)\in D$, to $H_t(x)=f(x)$, gdyż $h_t\big|_D=\id_D$. Zatem $x\in\Fix(H_t)$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $x\in\Fix(f)$.
\item[---] Jeśli $f(x)\in S$ dla pewnej składowej spójności $S$~zbioru $X\smallsetminus D$, to również $H_t(x)\in S$, bo $h(U\times \I)\subseteq U$. Jeżeli więc $x\in D$, to $H_t(x)\not=x\not=f(x)$. Jeśli natomiast $x\in S'$ dla pewnej składowej spójności zbioru $X\smallsetminus D$, to ponieważ $D$~jest zbiorem przestawiającym końce, $f\left(S'\right)\cap S'=\emptyset$, zatem również $H_t(x)\not=x\not=f(x)$.
\end{compactitem}
Udowodniliśmy, że $\bigcup_{t\in \I}\Fix(H_t)=\Fix(f)$, więc homotopia $H$~jest dozwolona. Z~własności (IV) indeksu punktów stałych wynika równość $\Ind(f)=\Ind(g)$.
\end{proof}
Poniżej podajemy przykład oswojonego do wewnątrz, lokalnie zwartego wielościanu $X$~oraz właściwego odwzorowania bez końców stałych $f\colon X\to X$ o~tej własności, że liczba $\lambda(f)$ jest dobrze określona, ale homomorfizmy $H^\lf_*(f)$, $H^\infty_*(f)$ nie są dopuszczalne.
\begin{ex}\label{ex-o_baobabie}
Rozważmy $1$-wymiarowy kompleks symplicjalny $K$, którego wierzchołkami są wszystkie skończone ciągi o~wyrazach należących do zbioru $\{0,1\}$ (w~tym ciąg pusty $()$), zaś $1$-wymiarowymi sympleksami zbiory \[\left\{(a_0,\ldots,a_n),(a_0,\ldots,a_n,a_{n+1})\right\}\] takie, że $(a_i)_{i=0}^{n+1}$ jest wierzchołkiem $K$~(tzn.~dwuelementowe zbiory składające się z~ciągu zero-jedynkowego oraz jego przedłużenia o~jeden element). Rozważmy odwzorowanie symplicjalne $\varphi\colon K\to K$, które przy założeniu, że $(a_0,\ldots,a_n)$ jest skończonym ciągiem zero-jedynkowym, wyraża się wzorami: \begin{align*}
\varphi\bigl( () \bigr)&=(),\\\varphi\bigl( (0,a_0,\ldots,a_n)\bigr)&=(1,a_0,\ldots,a_n),\\
\varphi\bigl( (1,a_0,\ldots,a_n)\bigr)&=(0,a_0,\ldots,a_n).\end{align*}
Niech $X=|K|\times \S^1$ (patrz rysunek \ref{fig-baobab}) oraz niech $f=|\varphi|\times \id_{\S^1}\colon X\to X$. Oczywiście $X$~jest oswojonym do wewnątrz wielościanem, zaś $f$~jego właściwym przekształceniem bez końców stałych. Ponieważ $H_*(X)\cong H_*\left(\S^1\right)$, liczba $\lambda(f)$ jest dobrze określona (i~równa $0$). Nietrudno jednak spostrzec, że homomorfizmy $H^\lf_*(f)$ oraz $H_*^\infty(f)$ nie są dopuszczalne.
\end{ex}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{img/baobab.eps}
\caption{,,Baobab'', czyli oswojony do wewnątrz wielościan $X$~z~przykładu \ref{ex-o_baobabie}; rozważane w~tym przykładzie odwzorowanie $f\colon X\to X$~ma wiele wspólnego z~popularną legendą dotyczącą tego gatunku drzew.}\label{fig-baobab}
\end{figure}
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
\subsection{Potulność w~nieskończoności}
W~niniejszej sekcji przedstawiamy technikę dowodu twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym, która wydaje się intuicyjna, ale ma raczej ograniczone zastosowanie. Jej istota zawiera się w~następującej obserwacji.
\begin{lem}\label{lem-ink_izo_na_hom}
Załóżmy, że $\F X$ jest \mbox{ANR-em} oraz włożenie $i\colon X\hookrightarrow \F X$ indukuje izomorfizm na grupach homologii. Wówczas homologie singularne przestrzeni $X$~są skończonego typu oraz zachodzi równość $\lambda(f)=\Ind(f)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Ponieważ $\F X$ jest zwartym {ANR-em}, homologie tej przestrzeni są skończonego typu (patrz twierdzenie \ref{tw-westa}). Wobec tego przestrzeń $X$~również ma homologie~skończonego typu.
Niech $h_*\colon H_*(\F X)\to H_*(X)$ będzie izomorfizmem odwrotnym do izomorfizmu $H_*(i)\colon H_*(X)\to H_*(\F X)$. Zauważmy, że \begin{align*}H_*(i)\circ H_*(f)\circ h_*&=H_*(i\circ f)\circ h_*=H_*(\F f\circ i)\circ h_*\\&=H_*(\F f)\circ H_*(i)\circ h_*= H_*(\F f),\end{align*} zatem $\lambda\left(H_*(i)\circ H_*(f)\circ h_*\right)=\lambda(\F f)$. Z~drugiej strony \[\lambda(H_*(i)\circ H_*(f)\circ h_*)=\lambda(h_*\circ H_*(i)\circ H_*(f))=\lambda(H_*(f))=\lambda(f),\] co wynika z~lematu \ref{lem-1szy_lemat_o_liczbie_lefschetza}. Na podstawie~lematu \ref{lem-indeks-rowny-liczbie-lefschetza-uzwarcenia-freudenthala} ma miejsce równość $\lambda(\F f)=\Ind(f)$.\end{proof}
Istotnym przypadkiem, w~którym lemat \ref{lem-ink_izo_na_hom} ma zastosowanie, jest sytuacja, w~której $X$ jest przestrzenią potulną w nieskończoności. Jedna z~równoważnych definicji tej własności jest następująca. Mówimy, że przestrzeń $X$~będącą \mbox{ANR-em} jest \textit{potulna w nieskończoności}\footnote{ang. \textit{docile at infinity}}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!potulna w nieskonzzzczonoszzzci@potulna w nieskończoności}\index{ANR!potulny w nieskonzzzczonoszzzci@potulny w nieskończoności} \cite{Sher76}, o~ile dla każdego zwartego zbioru $A\subseteq X$ istnieje zwarty zbiór $A\subseteq B\subseteq X$ taki, że każda składowa spójności przestrzeni $X\smallsetminus B$ jest ściągalna w~$X\smallsetminus A$.
\begin{stw}\label{stw-pot_w_nsk_tw_lef}
Niech $X$ będzie potulnym w~nieskończoności \mbox{ANR-em}. Wówczas homologie singularne przestrzeni $X$~są skończonego typu oraz $\lambda(f)=\Ind(f)$.
\end{stw}
\begin{proof}
Przestrzeń $\F X$ jest \mbox{ANR-em} \cite[Theorem 4.2]{Sher76} oraz włożenie $X\hookrightarrow\F X$ jest homotopijną równoważnością \cite[Theorem 4.4]{Sher76}. Z~lematu \ref{lem-ink_izo_na_hom} otrzymujemy tezę.
\end{proof}
\begin{uw}
Stwierdzenie \ref{stw-pot_w_nsk_tw_lef} można otrzymać również jako wniosek z~twierdzenia \ref{tw-lefschetz_fpt_dla_reverse_tame}, gdyż uzwarcenie Freudenthala lokalnie zwartego, potulnego w~nieskończoności ANR-u jest $\mathcal{Z}$-uzwarceniem \cite[Theorem 4.4]{Sher76}, a~zatem taki ANR jest przestrzenią oswojoną do wewnątrz (patrz przykład \ref{przyklady-oswojonych-do-wewnatrz}).
\end{uw}
Ośrodkową, lokalnie zwartą przestrzeń metryczną $Y$ nazywamy \textit{APR-em}\footnote{ang. \textit{absolute proper retract}}\index{APR} \cite{Sher75}, jeżeli dla każdej ośrodkowej, lokalnie zwartej przestrzeni metrycznej $Z$~i~każdego włożenia $j\colon Y\hookrightarrow Z$ na podzbiór domknięty $j(Y)\subseteq Z$~takiego, że funkcja $\E(j)\colon \E(Y)\to \E(Z)$~jest różnowartościowa, istnieje właściwa retrakcja $r\colon Z\to j(Y)$.
\begin{wn}
Jeśli $X$~jest \mbox{APR-em}, to $X\in\FPEP$.
\end{wn}
\begin{proof}
Każdy \mbox{APR} jest potulnym w~nieskończoności, ściągalnym \mbox{ANR-em} \cite[Theorem 4.5]{Sher76}. Jeżeli więc $X$~jest APR-em, to dla każdego właściwego odwzorowania $g\colon X\to X$ bez końców stałych zachodzi na podstawie stwierdzenia \ref{stw-pot_w_nsk_tw_lef} równość $\lambda(g)=\Ind(g)$. Ale $\lambda(g)=1$, gdyż przestrzeń $X$~jest ściągalna. Z~własności (III) indeksu punktów stałych otrzymujemy $\Fix(g)\not=\emptyset$.
\end{proof}
Każdy ściągalny w~sposób właściwy ANR jest APR-em \cite[Theorem 4.1]{Sher75}. Otrzymujemy stąd następujący wniosek, który odpowiada na pytanie postawione w~problemie \ref{PROBLEM-sciagalny-ma-fpep} w~przypadku, gdy rozważana przestrzeń jest ściągalna w~sposób właściwy. (Nie daje on jednak pełnej odpowiedzi na wspomniane pytanie.)
\begin{wn}\label{wn-sciagalny_w_sp_wlasciwy_to_FPEP}
Jeśli $X$ jest ściągalnym w~sposób właściwy \mbox{ANR-em}, to $X\in\FPEP$.
\end{wn}
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
\subsection{Końce oswojone na zewnątrz}\label{subsec-fixed_ends_dla_osw_na_zewn}
Obok obowiązujących założeń o~przestrzeni $X$~oraz odwzorowaniu $f\colon X\to X$ \textbf{do końca sekcji \ref{subsec-fixed_ends_dla_osw_na_zewn} zakładamy, że $X$~jest oswojonym na zewnątrz \mbox{ANR-em}.} Dowód twierdzenia Lefschetza o punkcie lub końcu stałym dla tego typu przestrzeni jest nieco bardziej złożony niż rozumowania przedstawione w~poprzednich sekcjach i~składa się z~kilku lematów.
\begin{lem}\label{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow}
Zbiór $\E(X)$ jest skończony.
\end{lem}
\begin{proof}
Ponieważ przestrzeń $X$~jest oswojona na zewnątrz, istnieje taki domknięty, koograniczony podzbiór $V\subseteq X$, o~dopełnieniu $C=X\smallsetminus V$, że włożenie $h_0\colon V\times\{0\}\hookrightarrow X$ rozszerza się do właściwego odwzorowania \mbox{$h\colon V\times [0,\infty)\to X$}.
Przypuśćmy, że $X$~ma nieskończenie wiele końców. Na podstawie lematu \ref{lem-malo_nieogr_skl} istnieje składowa spójności $S$~zbioru $V$~taka, że $\varepsilon(C)=S$ dla nieskończenie wielu końców $\varepsilon\in \E(X)$. Ustalmy dwa różne końce $\varepsilon_0,\varepsilon_1\in\E(X)$ o tej własności. Istnieje zbiór zwarty $D\subseteq X$ taki, że $\varepsilon_0(D)\not=\varepsilon_1(D)$.
Ponieważ odwzorowanie $h$ jest właściwe, istnieje $t\in [0,\infty)$ o~tej własności, że $h(V,t)\cap D=\emptyset$. Funkcja $h_t=h(\cdot,t)$ jest homotopijna w~sposób właściwy odwzorowaniu $h_0$, zatem $\E(h_t)(\varepsilon_i)=\E(h_0)(\varepsilon_i)=\varepsilon_i$, gdzie $i=0,1$. Ale to oznacza, że
\begin{equation}\label{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow-eq1}
h_t\left(\varepsilon_i\left(h_t^{-1}(D)\right)\right)\subseteq \E(h_t)(\varepsilon_i)(D)=\varepsilon_i(D).
\end{equation}
Zachodzą inkluzje $\emptyset\not=\varepsilon_i\bigl(C\cup h_t^{-1}(D)\bigr)\subseteq \varepsilon_i(C)=S$ oraz $\varepsilon_i\bigl(C\cup h_t^{-1}(D)\bigr)\subseteq \varepsilon_i\bigl(h_t^{-1}(D)\bigr)$, zatem \begin{equation}\label{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow-eq2}\emptyset\not=\varepsilon_i\left(C\cup h_t^{-1}(D)\right)\subseteq \varepsilon_i\left(h_t^{-1}(D)\right)\cap S.\end{equation} Zestawiając~(\ref{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow-eq1})~i~(\ref{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow-eq2})~otrzymujemy $h_t(S)\cap\varepsilon_i(D)\not=\emptyset$ dla $i=0,1$. To jednak jest niemożliwe, gdyż $\varepsilon_0(D),\varepsilon_1(D)$ są różnymi składowymi spójności zbioru $X\smallsetminus D$, a~zbiór $h_t(S)$ jest spójny (jako obraz spójnego zbioru $S$) oraz $h_t(S)\cap D=\emptyset$.
\end{proof}
Dowód poniższego lematu jest wzorowany na dowodzie analogicznego wyniku dotyczącego uzwarcenia jednopunktowego, podanym w~książce Hughesa i~Ranickiego \cite{Hughes96}.
\begin{lem}[por. {\cite[Proposition 7.11]{Hughes96}}]\label{lem-osw_nap_ANR}
Uzwarcenie Freudenthala $\F X$ przestrzeni $X$~jest \mbox{ANR-em}.
\end{lem}
\begin{proof}
Na podstawie~lematu \ref{lem-uzwarcenie_jest_metryczne} przestrzeń $\F X$ jest metryzowalna.
Wobec lematu \ref{lem-forward_tame_ma_sk_wiele_koncow} zbiór $\E(X)$ jest skończony. Oznaczmy jego elementy przez $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$. Niech $V$ będzie domkniętym, koograniczonym podzbiorem $X$, dla którego istnieje właściwe odwzorowanie $q:V\times [0,\infty)\to X$ będące rozszerzeniem włożenia $V\times \{0\}\hookrightarrow X$; zbiór taki istnieje, gdyż przestrzeń $X$~jest oswojona na zewnątrz.
Przypuśćmy, że $\F X$ jest zanurzone jako domknięty podzbiór w~pewnej przestrzeni metrycznej $Z$. Ponieważ (będący \mbox{ANR-em}) zbiór $X=\F X\smallsetminus \E(X)$ jest domknięty w~$Z\smallsetminus \E(X)$, możemy znaleźć jego otwarte otoczenie $N$ w~$Z\smallsetminus \E(X)$ oraz retrakcję $r\colon N\to X$.
Niech $\{U_i\}_{i=1}^n$ będzie rodziną otwartych podzbiorów przestrzeni $Z$~o~następujących własnościach: $\varepsilon_i\in U_i$, $\overline{U_i}^Z\cap \overline{X\smallsetminus V}^Z=\emptyset$ oraz $\overline{U_i}^Z\cap\overline{U_j}^Z=\emptyset$ dla wszystkich $i,j=1,\ldots,n$, $i\not=j$; rodzina taka istnieje, gdyż przestrzeń $Z$~spełnia aksjomat oddzielania $\mathrm{T}_3$ (por.~\cite[Twierdzenie 1.5.5]{Engelking75}). Ustalmy zbiór $O\subseteq Z\smallsetminus \E(X)$ otwarty w~$Z\smallsetminus\E(X)$ i~taki, że \[X\subseteq O\subseteq \overline{O}^{Z\smallsetminus \E(X)}\subseteq N\] oraz \[\left(\overline{U_i}^Z\smallsetminus r^{-1}(\operatorname{Int}_X(V))\right)\cap \overline{O}^Z=\{\varepsilon_i\}\] dla wszystkich $i=1,\ldots,n$. Intuicyjnie, ,,w~pobliżu'' końców zbiór $\overline{O}^{Z\smallsetminus \E(X)}$~powinien zawierać się w~zbiorze $r^{-1}(\Int_X(V))$, otwartym w~przestrzeni $Z\smallsetminus \E(X)$.
Na podstawie~lematu Urysohna istnieje ciągła funkcja \[\rho:\left(\bigcup_{i=1}^n \overline{U_i}^Z\cup \overline{O}^Z\right)\smallsetminus \E(X)\to [0,\infty]\] taka, że $\rho^{-1}(0)=\overline{O}^Z$ oraz \[\rho^{-1}(\infty)=\left(\bigcup_{i=1}^n \overline{U_i}^Z\right)\smallsetminus \left(r^{-1}(\operatorname{Int}_X(V))\cup \E(X)\right).\] Odwzorowanie $\hat{r}:\left(\bigcup_{i=1}^{n} U_i\right)\cup O\to \F X$ określone dla $x\in\left(\bigcup_{i=1}^{n} U_i\right)\cup O$ wzorem
\[\hat{r}(x)=\begin{cases}\varepsilon_i, & \text{jeżeli } x\in \overline{U_i}^Z\smallsetminus r^{-1}(\operatorname{Int}_X(V)),\\
q(r(x),\rho(x)), & \text{jeżeli } x\in r^{-1}(V),\\
r(x), & \text{jeżeli } x\in \overline{O}^Z\smallsetminus r^{-1}(V).
\end{cases}\]
jest ciągłą retrakcją.
\end{proof}
\begin{lem}\label{lem-ANR_osw_nap_izo_hom}
Zachodzi naturalny izomorfizm $H^{\lf}_*(X)\cong H_*(\F X,\E(X))$.
\end{lem}
\begin{proof}
Zgodnie z~lematem \ref{lem-osw_nap_ANR} przestrzeń $\F X$ jest \mbox{ANR-em}. Wobec stwierdzenia \ref{stw-domkniety_podzbior_anr_jest_korozwloknieniem} włożenie skończonego zbioru dyskretnego $\E(X)$ w~przestrzeń $\F X$ jest korozwłóknieniem. Na podstawie stwierdzenia \ref{stw-homologie_ilorazu} istnieje naturalny izomorfizm \[H_*(\F X,\E(X))\cong H_*\left(\F X\big /\E(X),e\right),\] gdzie $e$~jest punktem odpowiadającym obrazowi zbioru $\E(X)$ w~przestrzeni ilorazowej $\F X\big/\E(X)$. Ale przestrzeń $\F X\big/\E(X)$ jest homeomorficzna uzwarceniu jednopunktowemu $X$ (lemat \ref{lem-iloraz_homeomorficzny_jednopunktowemu}). Zastosowanie twierdzenia \ref{tw-ranicki-hughes-izo-miedzy-homologiami-lf-a-uzwarcenia} kończy dowód.
\end{proof}
\begin{tw}\label{tw-lefschetz_fpt_dla_forward_tame}
Niech $X$~będzie oswojonym na zewnątrz \mbox{ANR-em}. Wówczas lokalnie skończone homologie $H_*^\lf(X)$ są skończonego typu i~jeśli $\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)\not=0$, to $\Fix(f)\not=\emptyset$. Ponadto, jeżeli homomorfizm $H_*(f)$ jest dopuszczalny, to $\Lambda(f)=\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$.
\end{tw}
\begin{proof}
Wobec twierdzenia \ref{tw-ranicki-hughes-izo-miedzy-homologiami-lf-a-uzwarcenia} lokalnie skończone homologie $H_*^{\lf}(X)$ są izomorficzne zredukowanym homologiom singularnym zwartego \mbox{ANR-u}, a~zatem są skończenie generowane na podstawie twierdzenia \ref{tw-westa}. Liczba $\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$ jest więc dobrze określona. Jeżeli homomorfizm $H_*(f)$ jest dopuszczalny, to $\Lambda(f)=\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$ na podstawie lematu \ref{lem-rownosc_liczb_lefschetza_lf_i_zwyklej}
Wykażemy, że jeśli $\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)\not=0$, to $\Fix(f)\not=\emptyset$. Na podstawie lematu \ref{lem-ANR_osw_nap_izo_hom} zachodzi równość: \[\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)=\lambda\big(H_*(\F f, \E(X))\big).\] Z lematu \ref{lem-osw_nap_ANR} wiemy, że $\F X$ jest \mbox{ANR-em}. Zgodnie z~twierdzeniem \ref{tw-lefschetza_o_punkcie_stalym} odwzorowanie $\F f$ ma punkt stały w~zbiorze $\overline{\F X\smallsetminus \E(X)}=\F X$. Ale $\FixEnd(f)=\emptyset$, więc $\Fix(\F f)\cap \E(X)=\emptyset$, stąd $\F f$ ma punkt stały w~zbiorze $\F X\smallsetminus \E(X)=X$. Ponieważ $\F f\big|_X=f$, jest on również punktem stałym $f$.
\end{proof}
W~przypadku oswojonych na zewnątrz ANR-ów nie jest znana odpowiedź na pytanie o~związek liczby Lefschetza z~indeksem punktów stałych, postawione w~problemie \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie}.
Poniżej podajemy przykład oswojonego na zewnątrz, lokalnie zwartego wielościanu $X$~oraz właściwego odwzorowania bez końców stałych $f\colon X\to X$ o~tej własności, że liczba $\lambda\left(H_*^\lf(f)\right)$ jest dobrze określona, ale homomorfizmy $H_*(f)$, $H_*^\infty(f)$ nie są dopuszczalne.
\begin{ex}\label{ex-osw_do_wew_bez_l_lef}
Dla każdej liczby naturalnej $n$~niech \[A_n=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+(y-2n)^2=1\right\}.\] Za przestrzeń $X$~przyjmijmy (przedstawiony na rysunku \ref{fig-organy}) zbiór
\[X=\bigcup_{n\in\mN}A_n\times \bigl( (-\infty,-n]\cup [n,\infty) \bigr),\]
z~topologią indukowaną z~$\mathbb{R}^3$, zaś $f\colon X\to X$ niech będzie dla $(x,y,z)\in X$ dane wzorem $f(x,y,z)=(x,y,-z)$. Oczywiście odwzorowanie $f$~jest właściwe i~$\FixEnd(f)=\emptyset$. Nietrudno również spostrzec, że $X$~jest oswojonym na zewnątrz wielościanem, wobec czego liczba $\lambda^{\lf}(f)$ jest dobrze określona na podstawie twierdzenia \ref{tw-lefschetz_fpt_dla_forward_tame}. Jednak homomorfizmy $H_*(f)$, $H^\infty_*(f)$ nie są, jak łatwo zauważyć, dopuszczalne.
\end{ex}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{img/organki.eps}
\caption{,,Piszczałki organowe'', czyli oswojony na zewnątrz wielościan $X$~z~przykładu \ref{ex-osw_do_wew_bez_l_lef}.}\label{fig-organy}
\end{figure}
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------
\section{Kombinatoryczne twierdzenia o~punkcie lub końcu stałym}\label{sec-komb_twi_o_punkcie_stalym}
W~niniejszym podrozdziale przenosimy podstawowe definicje związane z~końcami stałymi z~przypadku ciągłego na teorioporządkowy oraz symplicjalny, a~także rozwiązujemy dyskretne odpowiedniki problemów \ref{PROBLEM-twierdzenie-lefschetza-o-punkcie-lub-koncu-stalym}, \ref{PROBLEM-twierdzenie-o-indeksie}, \ref{PROBLEM-sciagalny-ma-fpep}. Otrzymujemy twierdzenia typu Lefschetza o~punkcie lub końcu stałym dla odwzorowań zachowujących porządek oraz odwzorowań symplicjalnych. Badamy ponadto związki własności punktu lub końca stałego z~pojęciem (ko)rozbieralności oraz z~operacją iloczynu kartezjańskiego zbiorów częściowo uporządkowanych.
\subsection{Definicje}
Zachowujące porządek odwzorowanie $f\colon P\to Q$ nazywamy \textit{właściwym}\index{odwzorowanie!zachowujazzzce porzazzzdek@zachowujące porządek!wlzzzaszzzciwe@właściwe}, jeśli dla każdego $q\in Q$ zbiór $f^{-1}(q)$ jest skończony.
\textit{Końcem}\index{koniec!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku} lokalnie skończonego częściowego porządku $P$~nazywamy funkcję \[\varepsilon\colon \{A\subseteq P:A\text{ jest skończony}\}\to 2^P\] spełniającą następujące warunki:
\begin{compactitem}
\item[---] jeżeli $A\subseteq B$ są skończonymi zbiorami zawartymi w~$P$, to $\varepsilon(B)\subseteq \varepsilon(A)$;
\item[---] dla każdego skończonego zbioru $A\subseteq P$ zbiór $\varepsilon(A)$ jest nieskończoną składową spójności częściowego porządku $P\smallsetminus A$.
\end{compactitem}
Zbiór końców porządku $P$~oznaczamy symbolem $\E(P)$.\nomenclature[6aa]{$\E$}{zb. koncow porzadku XXX do zbioru koncow zwyklego dopisz drugi numer strony}\index{zbiozzzr@zbiór!konzzzcozzzw@końców!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku}
Jeśli $f\colon P\to Q$ jest właściwym odwzorowaniem zachowującym porządek między lokalnie skończonymi częściowymi porządkami, to możemy zadać odwzorowanie $\E(f)\colon \E(P)\to \E(Q)$ w~następujący sposób. Dla $\varepsilon\in \E(P)$ i~skończonego zbioru $A\subseteq Q$ niech $\E(f)(\varepsilon)(A)$ będzie jedyną spójną składową zbioru $Q\smallsetminus A$ taką, że \[f\left(\varepsilon\left(f^{-1}(A)\right)\right)\subseteq \E(f)(\varepsilon)(A).\] Przyporządkowanie $\E$ jest funktorialne.
Analogicznie jak w~przypadku ciągłych odwzorowań definiujemy \textit{koniec stały}\index{koniec!stalzzzy odwzorowania@stały odwzorowania!zachowujazzzcego porzazzzdek@zachowującego porządek} właściwego, zachowującego porządek odwzorowania $f\colon P\to P$ lokalnie skończonego częściowego porządku $P$~w~siebie, zbiór końców stałych $\FixEnd(f)$\nomenclature[3ba]{$\FixEnd(f)$}{wersja porzadkowa XXX}\index{zbiozzzr@zbiór!konzzzcozzzw stalzzzych odwzorowania@końców stałych odwzorowania!zachowujazzzcego porzazzzdek@zachowującego porządek} takiego odwzorowania oraz \textit{własność punktu lub końca stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!punktu lub konzzzca stalzzzego@punktu lub końca stałego!czezzzsciowego porzazzzdku@częściowego porządku}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!punktu lub konzzzca stalzzzego@punktu lub końca stałego} ($\FPEP$)\nomenclature[3la]{$\FPEP$}{teorioporzadkowy XXX} ze względu na właściwe, zachowujące porządek przekształcenia. Dla lokalnie skończonego częściowego porządku $P$~i~właściwego odwzorowania $f\colon P\to P$ bez końców stałych definiujemy \textit{zbiór przestawiający końce}\index{zbiozzzr@zbiór!przestawiajazzzcy konzzzce@przestawiający końce!w czezzzsciowym porzazzzdku@w częściowym porządku} jako taki skończony zbiór $D\subseteq P$, że $f(\varepsilon(D))\cap \varepsilon(D)=\emptyset$ dla każdego końca $\varepsilon\in\E(X)$. Jeżeli porządek $P$~jest spójny, to zbiór taki istnieje, a~ponadto założyć o~nim można, że $P\smallsetminus D$ ma jedynie nieskończone składowe spójności. Faktów tych dowodzimy podobnie jak w~przypadku ciągłym.
Przez \textit{koniec}\index{koniec!kompleksu symplicjalnego} lokalnie skończonego kompleksu symplicjalnego $K$~rozumiemy koniec częściowego porządku $\mP(K)$; piszemy $\E(K)=\E(\mP(K))$\index{zbiozzzr@zbiór!konzzzcozzzw@końców!kompleksu symplicjalnego}. Odwzorowanie symplicjalne $\varphi\colon K\to L$ nazywamy \textit{właściwym}\index{odwzorowanie!symplicjalne!wlzzzaszzzciwe@właściwe}, o~ile funkcja zachowująca porządek $\mP(\varphi)\colon \mP(K)\to\mP(L)$ jest właściwa, lub równoważnie, o~ile realizacja geometryczna $|\varphi|\colon |K|\to |L|$ jest właściwym odwzorowaniem. Przyjmujemy oznaczenie $\E(\varphi)=\E(\mP(\varphi))$. Nietrudno jest wskazać naturalną bijekcję $\xi_K\colon \E(\mP(K))\to \E(|K|)$.
Jeśli $K$~jest lokalnie skończonym kompleksem symplicjalnym, to mówimy, że $K$~ma \textit{własność sympleksu lub końca stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!sympleksu lub konzzzca stalzzzego@sympleksu lub końca stałego}\index{kompleks symplicjalny!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!sympleksu lub konzzzca stalzzzego@sympleksu lub końca stałego} i~piszemy $K\in\FSEP$\nomenclature[3j]{$K\in\FSEP$}{lokalnie skończony kompleks symplicjalny $K$~ma własność sympleksu lub końca stałego}, o~ile dla każdego właściwego odwzorowania symplicjalnego $\varphi\colon K\to K$ istnieje sympleks stały lub \textit{koniec stały}\index{koniec!stalzzzy odwzorowania@stały odwzorowania!symplicjalnego}, tj.~taki koniec $\varepsilon\in \E(K)$, że $\E(\varphi)(\varepsilon)=\varepsilon$.
Oczywiście istnienie sympleksu stałego odwzorowania symplicjalnego implikuje istnienie punktu stałego jego realizacji geometrycznej, zaś każdy koniec stały odwzorowania symplicjalnego można utożsamiać (poprzez bijekcję $\xi_K$) z~końcem stałym realizacji geometrycznej tego odwzorowania.
Własność sympleksu lub końca stałego jest równoważna własności punktu lub końca stałego stowarzyszonego częściowego porządku.
\begin{stw}[por.~{\cite[Proposition 6.3.15]{Schroder03}}]\label{stw-simplicial_fpep_wtw_order_theoretic}
Jeżeli $K$~jest lokalnie skończonym kompleksem symplicjalnym, to $K\in\FSEP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $\mP(K)\in\FPEP$.
\end{stw}
\begin{proof}
Ustalmy lokalnie skończony kompleks symplicjalny $K$.
Załóżmy, że $\mP(K)\in\FPEP$; niech $\varphi\colon K\to K$ będzie właściwym odwzorowaniem symplicjalnym bez końców stałych. Wówczas $\FixEnd(\mP(\varphi))=\emptyset$, więc $\Fix(\mP(\varphi))\not=\emptyset$, co oznacza, że istnieje sympleks $\sigma$~kompleksu $K$~taki, że $\varphi(\sigma)=\sigma$. Wobec tego $K\in\FSEP$.
Załóżmy teraz, że $K\in\FSEP$ i~ustalmy właściwe, zachowujące porządek odwzorowanie $f\colon \mP(K)\to \mP(K)$ bez końców stałych. Dla każdego wierzchołka $v$~kompleksu $K$~wybierzmy dowolny element $g_v\in f(\{v\})$. Określmy funkcję $g\colon \mP(K)\to \mP(K)$, dla $\sigma\in \mP(K)$ przyjmując $g(\sigma)=\bigcup_{v\in\sigma}\{g_v\}$. Oczywiście $g$~zachowuje porządek. Nietrudno również sprawdzić (por.~\cite[Lemma 6.3.14]{Schroder03}), że odwzorowanie $\gamma\colon K\to K$ zadane na wierzchołkach $v\in K$ wzorem $\gamma(v)=g_v$ jest symplicjalne oraz $\mP(\gamma)=g$. Dla każdego sympleksu $\sigma\in \mP(K)$ i~każdego wierzchołka $v\in\sigma$ mamy $f(\sigma)\supseteq f(\{v\})\supseteq \{g_v\}= g(\{v\})$, więc $f(\sigma)\supseteq\bigcup_{v\in \sigma} g(\{v\})=g(\sigma)$. Jak łatwo zauważyć, wynika stąd, że $\E(g)=\E(f)$, czyli w~szczególności $\FixEnd(g)=\FixEnd(f)=\emptyset$. Ponieważ $g=\mP(\gamma)$, odwzorowanie $\gamma$~nie ma końców stałych, a~zatem istnieje sympleks stały $\sigma$~tego odwzorowania. Ale $f(\sigma)\supseteq g(\sigma)=\sigma$, więc na podstawie twierdzenia Abiana-Browna \ref{tw-abiana_browna} funkcja $f$~ma punkt stały, co kończy dowód stwierdzenia.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Odległość w~częściowym porządku}
Bieżąca sekcja poświęcona jest pomocniczemu pojęciu odległości między elementami częściowego porządku, które wykorzystane zostanie w~dalszej części rozdziału.
Jeżeli $p,q$ są elementami częściowego porządku $P$, to przez $d_P(p,q)$\nomenclature[4k]{$d_P(p,q)$}{odległość między elementami $p, q$~częściowego porządku $P$} oznaczamy \textit{odległość}\index{odleglzzzoszzzczzz w czezzzszzzciowym porzazzzdku@odległość w~częściowym porządku} $p$~od~$q$~w~zbiorze $P$, z~definicji równą minimalnej długości ścieżki prowadzącej z~$p$~do $q$~w~grafie porównywalności $\Comp(P)$, o~ile ścieżka taka istnieje; w~przeciwnym wypadku przyjmujemy $d_P(p,q)=\infty$. Dla $p\in P$ oraz $A\subseteq P$ niech $d_P(p,A)=\min\{d_P(p,q):q\in A\}$.\nomenclature[4l]{$d_P(p,A)$}{odległość punktu $p$~od zbioru $A$~w~częściowym porządku $P$}
Jeśli $f\colon P\to Q$ jest zachowującym porządek odwzorowaniem, to dla każdej ścieżki $(p_0,\ldots,p_n)$ w~$\Comp(P)$ ciąg $\big(f(p_0),\ldots,f(p_n)\big)$ jest ścieżką w~$\Comp(Q)$, zatem $d_Q(f(p),f(q))\leq d_P(p,q)$ dla wszystkich $p,q\in P$.
Dla częściowego porządku $P$, elementu $p\in P$ oraz liczby $n\in \mN$ przyjmujemy oznaczenie \[B_P(p,n)=\{q\in P:d_P(p,q)\leq n\}.\]\nomenclature[4m]{$B_P(p,n)$}{domknięta kula o~środku $p$~i~promieniu~$n$~w~zbiorze częściowo uporządkowanym $P$} Ponadto, jeśli $F\subseteq P$, to definiujemy zbiór \[B_P(F,n)=\bigcup_{p\in F}B_P(p,n)=\{q\in P:d_P(q,F)\leq n\}.\]\nomenclature[4n]{$B_P(A,n)$}{domknięta otoczka zbioru $A$~o~promieniu~$n$~w~zbiorze częściowo uporządkowanym $P$}Nietrudno spostrzec, że jeśli porządek $P$~jest lokalnie skończony, to dla każdego skończonego podzbioru $F\subseteq P$ oraz każdego $n\in\mN$~zbiór $B_P(F,n)$ jest skończony.
\begin{lem}\label{lem-odleglosc_miedzy_skladowymi_po_nadmuchaniu_srodka}
Niech $P$~będzie spójnym częściowym porządkiem, $F\subseteq P$ jego skończonym podzbiorem, $S\subseteq P$ składową spójności zbioru $P\smallsetminus F$ oraz niech $k\in\mN$. Wówczas $d_P(p,q)> k$ dla wszystkich $p\in S$, $q\in P\smallsetminus \left(S\cup B_P(F,k)\right)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Zauważmy, że dla wszystkich elementów $p\in S$ oraz $q\in P\smallsetminus (S\cup F)$ każda ścieżka prosta w~grafie porównywalności $\Comp(P)$ prowadząca z~$p$~do $q$~zawiera element zbioru $F$; zachodzi zatem nierówność \[d_P(p,q)\geq d_P(p,F)+d_P(q,F).\] Wobec tego dla $p\in S$ oraz $q\in P\smallsetminus \left(S\cup B_P(F,k)\right)$ mamy \[d_P(p,q)\geq d_P(p,F)+d_P(q,F)\geq d_P(p,F)+k+1>k.\qedhere\]
\end{proof}
\begin{lem}\label{lem-bliskie_funkcje_to_samo_na_koncach}
Niech $P,Q$~będą lokalnie skończonymi częściowymi porządkami, zaś $f,g\colon P\to Q$ właściwymi odwzorowaniami zachowującymi porządek. Jeżeli istnieje $k\in\mN$ takie, że dla każdego $p\in P$ zachodzi nierówność $d_Q(f(p),g(p))\leq k$, to $\E(f)=\E(g)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Załóżmy, że istnieje liczba $k\in \mN$ taka, że $d_Q(f(p),g(p))\leq k$ dla każdego $p\in P$. Aby udowodnić równość $\E(f)=\E(g)$ wystarczy wykazać, że dla każdego końca $\varepsilon\in \E(P)$ i~każdego skończonego podzbioru $F\subseteq Q$ mamy
\mbox{$\E(f)(\varepsilon)(F)\cap \E(g)(\varepsilon)(F)\not=\emptyset$}. Ustalmy zatem koniec $\varepsilon\in \E(P)$ oraz skończony zbiór $F\subseteq Q$.
Zauważmy, że \[g^{-1}(F)\subseteq f^{-1}\big(B_Q(F,k)\big)\supseteq f^{-1}(F),\] więc \[\varepsilon\big(g^{-1}(F)\big)\supseteq \varepsilon\left(f^{-1}\big(B_Q(F,k)\big)\right)\subseteq \varepsilon\big(f^{-1}(F)\big).\]
Ustalmy $p\in \varepsilon\bigl(f^{-1}\big(B_Q(F,k)\big)\bigr)$; mamy \begin{align*}f(p)&\in f\left( \varepsilon\big(f^{-1}(F)\big)\right)\subseteq \E(f)(\varepsilon)(F),\\ g(p)&\in g\left(\varepsilon\big(g^{-1}(F)\big)\right)\subseteq \E(g)(\varepsilon)(F)\end{align*} oraz $d_Q(f(p),F)>k$. Ale $d_Q(f(p),g(p))<k$, więc $g(p)\in \E(f)(\varepsilon)(F)$ na podstawie lematu \ref{lem-odleglosc_miedzy_skladowymi_po_nadmuchaniu_srodka}. Wobec tego $\E(f)(\varepsilon)(F)\cap \E(g)(\varepsilon)(F)\not=\emptyset$.
\end{proof}
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Kombinatoryczne twierdzenie typu Lefschetza o~punkcie lub końcu stałym}\label{subsec-komb_twi_lefschetza}
\textbf{Odtąd, aż do końca sekcji \ref{subsec-komb_twi_lefschetza}, zakładamy, że $P$~jest spójnym, lokalnie skończonym częściowym porządkiem, zaś $f\colon P\to P$ jest właściwym odwzorowaniem zachowującym porządek bez końców stałych.}
Jeśli $h\colon A\to A$ jest funkcją określoną na pewnym zbiorze $A$, to mówimy, że $a\in A$ jest jej \textit{punktem periodycznym}\index{punkt!periodyczny}, o ile $h^m(a)=a$ dla pewnej liczby naturalnej $m\geq 1$. Jeżeli natomiast istnieje liczba naturalna $n$ taka, że $h^{n}(a)$ jest punktem periodycznym funkcji $h$, to $a$ nazywamy \textit{punktem ostatecznie periodycznym}\index{punkt!ostatecznie periodyczny} funkcji $h$.
\begin{lem}\label{lem-kazdy_punkt_ost_periodyczny}
Każdy element $p\in P$ jest punktem ostatecznie periodycznym odwzorowania~$f$.
\end{lem}
\begin{proof}
Ustalmy element $p\in P$ i~przypuśćmy, że nie jest on punktem ostatecznie periodycznym funkcji $f$. Przyjmijmy oznaczenie $k=d_P(p,f(p))$; porządek $P$~jest spójny, więc $k<\infty$. Ponieważ $f$~zachowuje porządek, prawdziwa jest dla wszystkich $n\in\mN$ nierówność
\begin{equation}d_P\left(f^n(p),f^{n+1}(p)\right)\leq k.\label{eq_lem-kazdy_punkt_1}\end{equation} Istnieje podzbiór $D\subseteq P$ przestawiający końce i~taki, że $P\smallsetminus D$ nie ma skończonych składowych spójności. Ponieważ punkt $p$~nie jest ostatecznie periodyczny, a~zbiór $B_P(D,k)$~jest skończony, istnieje liczba $n_0\in\mN$ taka, że $f^n(p)\not\in B_P(D,k)$ dla wszystkich $n\geq n_0$. W~szczególności $f^{n_0}(p)\not\in D$, więc $f^{n_0}(p)\in \varepsilon(D)$ dla pewnego końca $\varepsilon\in\E(P)$. Ponieważ $D$~jest zbiorem przestawiającym końce, $f^{n_0+1}(p)\not\in \varepsilon(D)$, a~z~wyboru liczby $n_0$~element $f^{n_0+1}(p)\not\in B_P(D,k)$. Zatem $f^{n_0+1}(p)\in P\smallsetminus (\varepsilon(D)\cup B_P(D,k))$. Na podstawie lematu \ref{lem-odleglosc_miedzy_skladowymi_po_nadmuchaniu_srodka} zachodzi nierówność $d_P\left(f^{n_0+1}(p),f^{n_0}(p)\right)> k$, sprzeczna z~nierównością (\ref{eq_lem-kazdy_punkt_1}).
\end{proof}
\begin{lem}\label{lem-wsz_per_odw_aut}
Niech $Q$~będzie częściowym porządkiem, zaś $g\colon Q\to Q$ zachowującym porządek odwzorowaniem o~tej własności, że każdy element zbioru $Q$ jest punktem periodycznym funkcji~$g$. Wówczas $g$~jest automorfizmem częściowego porządku $Q$.
\end{lem}
\begin{proof}
Dowód lematu jest nietrudny; należy zauważyć, że odwzorowanie $g$~jest różnowartościowe i~,,na'', oraz że jeśli $g(p)\leq g(q)$ dla pewnych $p,q\in Q$, to również $p\leq q$. Dla przykładu udowodnimy tę ostatnią własność.
Jeśli $p\leq q$, to $g^n(p)\leq g^n(q)$ dla każdej liczby $n\in\mN$. Ponieważ $p,q$ są punktami periodycznymi funkcji $g$, istnieją liczby naturalne $n_p,n_q$ takie, że $g^{n_p}(p)=p$ oraz $g^{n_q}(q)=q$, a~zatem: \[p=g^{n_p n_q}(p)\leq g^{n_p n_q}(q)=q.\qedhere\]
\end{proof}
Oznaczmy przez $P_\infty$~podzbiór częściowo uporządkowany zbioru $P$, którego elementami są wszystkie punkty periodyczne odwzorowania $f$. Oczywiście $f(P_\infty)\subseteq P_\infty$. Niech $f_\infty=f\big |_{P_\infty}\colon P_\infty\to P_\infty$. Na podstawie lematu \ref{lem-wsz_per_odw_aut} odwzorowanie to jest automorfizmem częściowego porządku $P_\infty$. Ponieważ \mbox{$\FixEnd(f)=\emptyset$}, jest oczywiste, że $\FixEnd(f_\infty)=\emptyset$.
Przypomnijmy, że z~definicji homologie częściowego porządku $Q$~są równe symplicjalnym homologiom stowarzyszonego z~nim kompleksu symplicjalnego $\mK(Q)$. Są to zatem homologie pewnego kompleksu łańcuchowego $C_*(Q)=\left(C_i(Q),\partial_i\right)_{i\in\mN}$ takiego, że dla każdego $i\in\mN$ bazą przestrzeni wektorowej $C_i(Q)$~jest zbiór łańcuchów długości $i$~zawartych w~$Q$. Jeżeli $A\subseteq Q$, to istnieje kompleks łańcuchowy $C_*(Q,A)=C_*(Q)\big/C_*(A)$ oraz $H_*(Q,A)=H_*(C_*(Q,A))$.
Jeżeli $Q$~jest częściowym porządkiem, $A\subseteq Q$, zaś $g\colon Q\to Q$ jest zachowującym porządek odwzorowaniem o~tej własności, że $g(A)\subseteq A$, to symbolem $g_{(Q,A)}\colon (Q,A)\to (Q,A)$ oznaczamy indukowane przez $g$~odwzorowanie par częściowych porządków.
\begin{lem}\label{lem-lambda_phi_nsk_rowna_lambda_phi}
Homomorfizm $H_*(f)$~jest dopuszczalny wtedy i~tylko wtedy, gdy homomorfizm $H_*(f_\infty)$ jest dopuszczalny. Ponadto zachodzi wówczas równość uogólnionych liczb Lefschetza: $\Lambda(f)=\Lambda(f_\infty)$.
\end{lem}
\begin{proof}
Istnieje przemienny diagram \[\xymatrix{\cdots \ar[r] & H_n(P_\infty)\ar[r]\ar^{H_n(f_\infty)}[d] & H_n(P)\ar^{H_n(f)}[d]\ar[r] & H_n(P,P_\infty)\ar[r]\ar^{H_n\left(f_{(P,P_\infty)}\right)}[d] & H_{n-1}(P_\infty)\ar[r]\ar^{H_{n-1}(f_\infty)}[d] & \cdots\\ \cdots\ar[r] & H_n(P_\infty)\ar[r] & H_n(P)\ar[r] & H_n(P,P_\infty)\ar[r] & H_{n-1}(P_\infty)\ar[r] & \cdots}\] o wierszach będących długimi ciągami dokładnymi pary $(P,P_\infty)$. Dla każdego elementu $\zeta\in H_*(P,P_\infty)$ istnieje łańcuch $z\in C_*(P)$ taki, że $\zeta$~jest klasą homologii elementu $z+C_*(P_\infty)\in C_*(P)\big/C_*(P_\infty)$, co zapisujemy przez $\zeta=[z+C_*(P_\infty)]$. Na podstawie lematu \ref{lem-kazdy_punkt_ost_periodyczny} istnieje liczba naturalna $n_z$~taka, że $C_*(f^{n_z})(z)\in C_*(P_\infty)$. Zatem \[H_*\left(f^{n_z}_{(P,P_\infty)}\right)(\zeta)=H_*\left(f^{n_z}_{(P,P_\infty)}\right)([z+C_*(P_\infty)])=[C_*(f^{n_z})(z)+C_*(P_\infty)]=0,\] czyli $\zeta$~należy do uogólnionego jądra: $\zeta\in N\bigl(H_*\bigl(f_{(P,P_\infty)}\bigr)\bigr)$. Wobec~dowolności wyboru $\zeta\in H_*(P,P_\infty)$~oznacza to, że homomorfizm $H_*\bigl(f_{(P,P_\infty)}\bigr)$ jest dopuszczalny oraz $\Lambda\bigl(H_*\bigl(f_{(P,P_\infty)}\bigr)\bigr)=0$. Z~lematu \ref{lem-2gi_lemat_o_liczbie_lefschetza} otrzymujemy równość $\Lambda(f)=\Lambda(f_\infty)$.
\end{proof}
Poniższe twierdzenie typu Lefschetza o~punkcie lub końcu stałym dla częściowych porządków jest uogólnieniem na lokalnie skończone częściowe porządki twierdzenia \ref{tw-baclawski-bjorner}.
\begin{tw}\label{tw-order-theoretic-fixed-point-or-end-theorem}
Jeśli homomorfizm $H_*(f)$ jest dopuszczalny, to zachodzi równość uogólnionej liczby Lefschetza odwzorowania $f$~oraz charakterystyki Eulera zbioru jego punktów stałych: $\Lambda(f)=\chi(\Fix(f))$.
\end{tw}
\begin{proof}
Załóżmy, że homomorfizm $H_*(f)$~jest dopuszczalny. Wybierzmy skończony podzbiór $D'\subseteq P_\infty$ taki, że $D'$~jest dla $f_\infty$ zbiorem przestawiającym końce. Ponieważ $f_\infty$ jest automorfizmem, możemy zakładać, że podzbiór $D'$ jest niezmienniczy ze względu na działanie $f_\infty$. Co więcej, możemy $D'$~rozszerzyć do niezmienniczego ze względu na $f_\infty$, skończonego podzbioru $D\subseteq P$ takiego, że zbiór $P_\infty\smallsetminus D$ nie ma skończonych składowych spójności.
Niech $A=P_\infty\smallsetminus D$. Wobec wyboru $D$ zbiór $A$ jest niezmienniczy ze względu na działanie automorfizmu $f_\infty$. Ponieważ zbiór $D=P_\infty\smallsetminus A$ jest skończony, kompleks łańcuchowy $C_*(P_\infty,A)$ oraz relatywne homologie $H_*(P_\infty,A)$ są skończonego typu. Istnieje przemienny diagram
\[
\xymatrix@R=30pt{\cdots\ar[r]& H_n(A)\ar[r]\ar[d]^{H_n\bigl(f\big |_A\bigr)}& H_n(P_\infty)\ar[r]\ar[d]^{H_n(f_\infty)} & H_n(P_\infty,A)\ar[r]\ar[d]^{H_n\bigl({f_\infty}_{(P_\infty,A)}\bigr)} & H_{n-1}(A)\ar[r]\ar[d]^{H_{n-1}\bigl(f\big |_A\bigr)} & \cdots\\
\cdots\ar[r]& H_n(A)\ar[r]& H_n(P_\infty)\ar[r] & H_n(P_\infty,A)\ar[r] & H_{n-1}(A)\ar[r] & \cdots}
\]
o~wierszach będących długimi ciągami dokładnymi pary $(P_\infty,A)$.
Homomorfizmy $H_*\bigl({f_\infty}_{(P_\infty,A)}\bigr)$ oraz $H_*(f_\infty)$ są dopuszczalne, co wynika odpowiednio z~faktu, że homologie $H_*(P_\infty,A)$ są skończonego typu i~z~lematu \ref{lem-lambda_phi_nsk_rowna_lambda_phi}. Na podstawie lematu \ref{lem-2gi_lemat_o_liczbie_lefschetza} homomorfizm $H_*\bigl(f\big |_A\bigr)$ jest dopuszczalny oraz \[\Lambda\bigl(f\big |_A\bigr)=\Lambda(f_\infty)-\Lambda\bigl({f_\infty}_{(P_\infty,A)}\bigr).\]
Niech $S_i$, $i=1,\ldots,k$, będą wszystkimi spójnymi składowymi zbioru $A$. Ponieważ $D$~jest dla $f_\infty$~zbiorem przestawiającym końce, dla wszystkich $i=1,\ldots,k$ mamy $f_\infty(S_i)\cap S_i=\emptyset$. Wobec teorioporządkowego odpowiednika lematu \ref{lem-permutowanie-skladowych-a-liczba-lefschetza} oznacza to, że $\Lambda\bigl(f\big |_A\bigr)=0$, czyli $\Lambda(f_\infty)=\Lambda\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)$. Z~lematu \ref{lem-lambda_phi_nsk_rowna_lambda_phi} otrzymujemy równość $\Lambda(f)=\Lambda\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)$.
Kompleks łańcuchowy $C_*(P_\infty,A)$ jest skończonego typu, wobec czego na podstawie~twierdzenia \ref{tw-lefschetza-hopfa} zachodzą równości \[\lambda\left(C_*\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)\right)=\lambda\left(H_*\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)\right)=\Lambda\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr).\] Bazę przestrzeni $C_*(P_\infty,A)$ tworzą skończone, liniowo uporządkowane podzbiory $P_\infty$~nie zawierające się w~$A$. Dla takiego bazowego podzbioru liniowo uporządkowanego $l\subseteq P_\infty$ oraz~skalara $\alpha\in\mathbb{Q}\smallsetminus \{0\}$ równość $C_*\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)(l)=\alpha l$ ma miejsce wtedy i~tylko wtedy, gdy $f_\infty(l)=l$ oraz $\alpha=1$, gdyż $f_\infty$~jest odwzorowaniem zachowującym porządek. Ponieważ $\Fix(f_\infty)\subseteq P_\infty\smallsetminus A$, każdy bazowy podzbiór liniowo uporządkowany $l\subseteq P_\infty$~taki, że $C_*\bigl({f_\infty}_{(P,A)}\bigr)(l)=l$, jest również elementem bazowym przestrzeni liniowej $C_*(D)\subseteq C_*(P_\infty,A)$. Zachodzą zatem równości \begin{align*}\lambda(C_*(f_\infty,A))&=\lambda\left(C_*\bigl(f\big |_D\bigr)\right)=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\tr\left(C_i\bigl(f\big|_D\bigr)\right)\\&=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}\moc{\bigl\{\{q_0<\ldots<q_i\}\subseteq \Fix(f)\bigr\}} =\chi(\Fix(f)),\end{align*}
kończące dowód twierdzenia.
\end{proof}
Oczywisty jest następujący wniosek.
\begin{wn}
Jeśli homomorfizm $H_*(f)$~jest dopuszczalny oraz~$\Lambda(f)\not=0$, to $\Fix(f)\not=\emptyset$.
\end{wn}
Prawdziwa jest także symplicjalna wersja twierdzenia \ref{tw-order-theoretic-fixed-point-or-end-theorem}, uogólniająca wniosek \ref{wn-baclawski-bjorner}.
\begin{wn}\label{wn-simplicial-fixed-point-or-end-theorem}
Niech $K$~będzie lokalnie skończonym kompleksem symplicjalnym, zaś $\varphi\colon K\to K$ właściwym odwzorowaniem symplicjalnym bez końców stałych. Jeśli homomorfizm $H_*(\varphi)$ jest dopuszczalny, to jego uogólniona liczba Lefschetza jest równa charakterystyce Eulera zbioru punktów stałych realizacji geometrycznej tego odwzorowania: $\Lambda(\varphi)=\chi(\Fix|\varphi|)$.
\end{wn}
\begin{proof}
Oczywiście $\mP(\mK(\mP(K)))$ jest lokalnie skończonym częściowym porządkiem, zaś $\mP(\mK(\mP(\varphi)))$ jest właściwym odwzorowaniem zachowującym porządek bez końców stałych. Ponadto, jeśli homomorfizm $H_*(\varphi)$ jest dopuszczalny, to również homomorfizm $H_*(\mP(\mK(\mP(\varphi))))$ jest dopuszczalny i~zachodzi równość $\Lambda(\varphi)=\Lambda(\mP(\mK(\mP(\varphi))))$. Z~twierdzenia \ref{tw-order-theoretic-fixed-point-or-end-theorem} otrzymujemy: \[\Lambda(\varphi)=\chi(\Fix(\mP(\mK(\mP(\varphi)))))=\chi(\Fix(|\mK(\mP(\varphi))|))=\chi(\Fix(|\varphi|)).\qedhere\]
\end{proof}
Zauważmy, że funkcja z~przykładu \ref{ex-jacob-ladder} jest realizacją geometryczną odwzorowania symplicjalnego, co pokazuje, że w~powyższych wynikach nie można pominąć założenia o~dopuszczalności homomorfizmów indukowanych przez rozważane odwzorowania.
Poniższe twierdzenie wiąże uogólnioną liczbę Lefschetza odwzorowania symplicjalnego bez końców stałych z~indeksem punktów stałych jego realizacji geometrycznej.
\begin{tw}\label{tw-rownosc_indeksu_i_l_lefschetza_odwz_sympl}
Niech $K$~będzie lokalnie skończonym kompleksem symplicjalnym, zaś $\varphi\colon K\to K$ właściwym odwzorowaniem symplicjalnym bez końców stałych. Jeśli homomorfizm $H_*(\varphi)$ jest dopuszczalny, to uogólniona liczba Lefschetza odwzorowania symplicjalnego $\varphi$~jest równa indeksowi punktów stałych jego realizacji geometrycznej: $\Lambda(\varphi)=\Ind(|\varphi|)$.
\end{tw}
\begin{proof}
Na podstawie lematu \ref{lem-kazdy_punkt_ost_periodyczny} zastosowanego do odwzorowania $\mP(\varphi)\colon\mP(K)\to\mP(K)$ każdy wierzchołek kompleksu $K$~jest punktem ostatecznie periodycznym funkcji $\varphi$. Istnieje zatem wierzchołek $v_0\in K$ będący jej punktem periodycznym. Dla każdej liczby $n\in\mN$~niech $\widetilde{K}_n$~będzie pełnym podkompleksem $K$~rozpiętym na zbiorze wierzchołków \[V\bigl(\widetilde{K}_n\bigr)=\bigcup_{m\in\mN} \min\left(B_{\mP(K)}\bigl(\varphi^m(v_0),n\bigr)\right),\] zaś przez $K_n$~oznaczmy pełny podkompleks $K$~rozpięty na zbiorze wierzchołków \[V(K_n)=\bigcup_{m\in\mN}\left\{\varphi^m(w):w\in V\bigl(\widetilde{K}_n\bigr)\right\}.\] Kompleks $\widetilde{K}_n$ jest oczywiście skończony. Skończoność kompleksu $K_n$ wynika natomiast ze skończoności $\widetilde{K}_n$ oraz faktu, że każdy wierzchołek kompleksu $K$~jest ostatecznie periodyczny. Zauważmy, że $\bigcup_{n\in\mN}K_n=K$ oraz $|\varphi|(|K_n|)\subseteq |K_n|$ dla każdej liczby naturalnej $n$.
Zbiór $\Fix(|\varphi|)$ jest (na podstawie lematu \ref{lem-fixed_point_set_zwarty}) zwarty, a~zatem istnieją otwarty podzbiór $U\subseteq |K|$ oraz liczba $n_0\in\mN$ takie, że $\Fix(|\varphi|)\subseteq U\subseteq \left|K_{n_0}\right|$. Stosując kolejno lemat \ref{wlasnosc_viii}, aksjomat wycinania (I) oraz normalizacji (VII), otrzymujemy:
\[\Ind(|\varphi|)\!=\!\Ind\left(|\varphi|\big|_{U}\colon U\to |K_n|\right)\!=\!\Ind\left(|\varphi|\big|_{|K_n|}\colon |K_n|\to |K_n|\right)\!=\!\Lambda\left(|\varphi|\big|_{|K_n|}\right).\]
Ponieważ $\Fix\left(|\varphi|\big|_{|K_n|}\right)=\Fix(|\varphi|)$, na podstawie wniosku \ref{wn-simplicial-fixed-point-or-end-theorem} zachodzą równości:
\[\Lambda\left(|\varphi|\big|_{|K_n|}\right)=\chi\left(\Fix\left(|\varphi|\big|_{|K_n|}\right)\right)=\chi(\Fix(|\varphi|))=\Lambda(\varphi).\qedhere\]
\end{proof}
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{(Ko)rozbieralność a~własność punktu lub końca stałego}\label{subsec-korozb_a_wl_FPEP}
Wskażemy związki między kombinatoryczną własnością punktu lub końca stałego a~pojęciem (ko)rozbieralności. Badanie ich jest naturalne, gdyż analogiczne powiązania okazały się niezwykle istotne dla teorii punktów stałych odwzorowań zachowujących porządek \cite{Schroder99,Schroder03,Schroder12}.
Mówimy, że para $(P,r)$, składająca się z~częściowego porządku $P$~oraz retrakcji $r\colon P\to r(P)$, spełnia \textit{warunek lustrzany}\index{warunek lustrzany}\footnote{ang.~\textit{reflection condition}} \cite[Definition 3.17]{Schroder99}, o~ile dla każdego zachowującego porządek odwzorowania $f\colon P\to P$ istnienie punktu stałego złożenia $r\circ f\big|_{r(P)}\colon r(P)\to r(P)$ implikuje istnieje punktu stałego funkcji $f$.
Przykładów par spełniających warunek lustrzany dostarczają następujące lematy.
\begin{lem}[{\cite[Example 3.18, 1.]{Schroder99}}]\label{lem-schrodera_o_warunku_lustrzanym_dla_C}
Niech $P$~będzie łańcuchowo zupełnym częściowym porządkiem, zaś $r\colon P\to r(P)$ retrakcją należącą do klasy $\mathcal{C}$. Wówczas para $(P,r)$ spełnia warunek lustrzany.
\end{lem}
Symbolem $\mathcal{R}_1$\nomenclature[8g]{$\mathcal{R}_1$}{klasa retrakcji usuwających co najwyżej jeden punkt} \cite[Example 3.8]{Schroder99} oznaczamy klasę tych retrakcji $r\colon P\to r(P)$, dla których $\moc{P\smallsetminus r(P)}\leq 1$.
\begin{lem}[{\cite[Example 3.18, 2.]{Schroder99}}]\label{lem-schrodera_o_warunku_lustrzanym_dla_R1}
Niech $P$~będzie częściowym porządkiem, $a\in P$ jego elementem, zaś $r\colon P\to r(P)=P\smallsetminus\{a\}$ retrakcją należącą do klasy $\mathcal{R}_1$. Jeżeli jeden ze zbiorów $\hat{a}\mathord{\uparrow}$, $\hat{a}\mathord{\downarrow}$ ma własność punktu stałego, to para $(P,r)$ spełnia warunek lustrzany.
\end{lem}
Szczególna rola warunku lustrzanego w~teorii punktów stałych odwzorowań zachowujących porządek wynika z~poniższego twierdzenia.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 3.19]{Schroder99}}]\label{tw-schrodera_o_warunku_lustrzanym}
Jeżeli $P$~jest częściowym porządkiem, $\alpha$~liczbą porządkową, zaś $\left(r_{\phi,\phi+1}\colon P_\phi\to P_{\phi+1}\right)_{\phi<\alpha}$ ciągiem rozbierającym $P$~do pewnego podzbioru $Q\subseteq P$, przy czym każda z~par $\left(P_\phi,r_{\phi,\phi+1}\right)$, $0\leq\phi<\alpha$, spełnia warunek lustrzany, to $P\in\FPP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $Q\in\FPP$.
\end{tw}
Następujący wniosek jest konsekwencją lematu \ref{lem-schrodera_o_warunku_lustrzanym_dla_C} oraz~twierdzenia \ref{tw-schrodera_o_warunku_lustrzanym}.
\begin{wn}\label{tw-Crozbieralnosc_zachowuje_FPP}
Jeżeli $P$~jest łańcuchowo zupełnym częściowym porządkiem, $Q\subseteq P$ oraz \mbox{$P\dism Q$}, to $P\in \FPP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $Q\in\FPP$.
\end{wn}
Udowodnimy analogiczne do twierdzenia \ref{tw-schrodera_o_warunku_lustrzanym} oraz wniosku \ref{tw-Crozbieralnosc_zachowuje_FPP} fakty dotyczące własności punktu lub końca stałego.
Dla każdej liczby $k\in\mN$~symbolem $\mathcal{B}_k$\nomenclature[8a]{$\mathcal{B}_k$}{klasa retrakcji nie przemieszczających punktów dalej niż o~$k$} oznaczamy klasę takich zachowujących porządek retrakcji $r\colon P\to r(P)$, że $d_P(p,r(p))\leq k$ dla każdego elementu $p\in P$. Zauważmy, że $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{B}_1$, oraz że każda \mbox{$\mathcal{R}_1$-retrakcja} określona na spójnym zbiorze częściowo uporządkowanym należy do $\mathcal{B}_2$.
\begin{lem}\label{lem-zlozenie_Bk_retrakcji}
Niech $P$~będzie spójnym, lokalnie skończonym częściowym porządkiem, $k$~liczbą naturalną, $\alpha$~liczbą porządkową, zaś $\left(r_{\phi,\phi+1}\colon P_{\phi}\to P_{\phi+1}\right)_{\phi<\alpha}$ nieskończenie składalnym ciągiem retrakcji należących do $\mathcal{B}_k$. Odwzorowanie \mbox{$R_\alpha=\infcomp\left(r_{\phi,\phi+1}\right)_{0\leq \phi<\alpha}\colon P\to P_{\alpha}$} jest wówczas właściwą retrakcją, a~indukowana przez nie funkcja $\E(R_\alpha)\colon \E(P)\to \E(R_\alpha(P))$ jest bijekcją, funkcją odwrotną do której jest odwzorowanie $\E(i)\colon \E(R_\alpha(P))\to \E(P)$ indukowane przez włożenie $i\colon R_\alpha(P)\hookrightarrow P$.
\end{lem}
\begin{proof}
Wykażemy najpierw, że dla każdej liczby porządkowej $0\leq \psi\leq\alpha$ retrakcja $R_\psi=\infcomp\left(r_{\phi,\phi+1}\right)_{0\leq \phi<\psi}\colon P\to P_\psi$ jest właściwa.
Jest tak oczywiście dla $\psi=0$. Ustalmy $\psi>0$ oraz $p\in P_\psi$ i~załóżmy, że dla wszystkich liczb porządkowych $\rho<\psi$ oraz wszystkich $q\in P_\rho$ zbiór $R_\rho^{-1}(q)$ jest skończony. Niech $A(p)=B_{P_\psi}(p,k)\cap R_{\psi}^{-1}(p)$; zbiór $A(p)$ jest skończony, gdyż jest zawarty w~skończonym zbiorze $B_{P_\psi}(p,k)$. Dla każdego $q\in A(p)$ niech \[\rho_q=\min\left\{\rho< \psi:R_{\rho+1}(q)=p\right\}.\] Zauważmy, że \[R_{\psi}^{-1}(p)=\{p\}\cup \bigcup_{q\in A(p)}R^{-1}_{\rho_q}(q),\] co z~założenia indukcyjnego oznacza, że zbiór $R_{\psi}^{-1}(p)$ jest skończony (jako suma skończonej rodziny skończonych zbiorów). Retrakcja $R_\psi$ jest więc właściwa.
Niech $i\colon R_\alpha\hookrightarrow P$ oznacza włożenie. Ponieważ $R_\alpha$~jest retrakcją, zachodzi równość $R_\alpha\circ i=\id_{R_\alpha(P)}$; stąd \[\E\left(R_\alpha\right)\circ \E(i)=\E\bigl(\id_{R_\alpha(P)}\bigr)=\id_{\E\left(R_\alpha(P)\right)}.\] Wykażemy, że $\E(i)\circ \E\left(R_\alpha\right)=\id_{\E(P)}$.
Ustalmy w~tym celu koniec $\varepsilon\in\E(P)$. Dla dowolnego końca $\varepsilon'\in\E(P)\smallsetminus\{\varepsilon\}$ istnieje skończony podzbiór $F\subseteq P$ taki, że $\varepsilon(F)\not=\varepsilon'(F)$, tzn.~$\varepsilon(F)\cap \varepsilon'(F)=\emptyset$. Na podstawie lematu \ref{lem-odleglosc_miedzy_skladowymi_po_nadmuchaniu_srodka} dla wszystkich $p\in \varepsilon'(F)$ oraz $q\in P\smallsetminus \bigl(\varepsilon'(F)\cup B_P(F,k)\bigr)$ zachodzi nierówność $d_P(p,q)>k$.
Rozważmy zbiór \[A=\left(i\circ R_\alpha\right)^{-1}\left(R_\alpha(B_P(F,k))\cup B_P(F,k)\right)=R_\alpha^{-1}\left(R_\alpha\left(B_P(F,k)\right)\right).\]
Udowodnimy, że $R_\alpha(q)\not\in \varepsilon'(F)$ dla wszystkich elementów $q\in P\smallsetminus (\varepsilon'(F)\cup A)$. Jeżeli bowiem $R_\alpha(q)\in \varepsilon'(F)$ dla pewnego $q\in P$, to istnieje najmniejsza liczba porządkowa $\phi<\alpha$ taka, że $R_\phi(q)\in \varepsilon'(F)$. Jeśli $q\not\in \varepsilon'(F)$, to $\phi>0$ jest następnikiem, $\phi=\psi+1$. Ponieważ $R_\phi(q)=r_{\psi,\psi+1}\left(R_\psi(q)\right)$ oraz $r_{\psi,\psi+1}\in\mathcal{B}_k$, ma miejsce nierówność $d_P\left(R_\phi(q),R_\psi(q)\right)\leq k$; stąd $R_\psi(q)\in B_P(F,k)\cup\varepsilon'(F)$. Ale z~definicji liczby porządkowej $\phi$~element $R_\psi(q)\not\in\varepsilon'(F)$, więc $R_\psi(q)\in B_P(F,k)$. Zatem $R_\alpha(q)=R_\alpha(R_\psi(q))\in R_\alpha(B_P(F,k))$, czyli $q\in R_\alpha^{-1}(R_\alpha(B_P(F,k)))=A$.
Ponieważ $F\subseteq B_P(F,k)\subseteq A$ oraz $\varepsilon(F)\cap\varepsilon'(F)=\emptyset$, zachodzą inkluzje \[\varepsilon'(A)\subseteq \varepsilon'(B_P(F,k))\subseteq \varepsilon'(F),\] a~także \[\varepsilon(A)\subseteq \varepsilon(B_P(F,k))\smallsetminus A\subseteq P\smallsetminus \left(\varepsilon'(F)\cup A\right).\] Stąd $(i\circ R_\alpha)(\varepsilon(A))\cap \varepsilon'(A)=\emptyset$. Zatem $\E(i\circ R_\alpha)(\varepsilon)\not=\varepsilon'$, co wobec dowolności wyboru końca $\varepsilon'\in \E(P)\smallsetminus\{\varepsilon\}$ oznacza, że $\bigl(\E(i)\circ \E(R_\alpha)\bigr)(\varepsilon)=\varepsilon$.
\end{proof}
Poniższy wynik jest uwzględniającym końce stałe odpowiednikiem twierdzenia \ref{tw-schrodera_o_warunku_lustrzanym}.
\begin{tw}[por. {\cite[Theorem 3.19]{Schroder99}}]\label{tw-schroder-like-o-ciagu-retrakcji-lustrzanych}
Jeżeli $P$~jest lokalnie skończonym częściowym porządkiem, $k$~liczbą naturalną, $\alpha$~liczbą porządkową, zaś $\left(r_{\phi,\phi+1}\colon P_\phi\to P_{\phi+1}\right)_{\phi<\alpha}$ ciągiem \mbox{$\mathcal{B}_k$-rozbierającym} $P$~do pewnego podzbioru $Q\subseteq P$, przy czym każda z~par $\left(P_\phi,r_{\phi,\phi+1}\right)$, $\phi<\alpha$, spełnia warunek lustrzany, to $P\in\FPEP$ wtedy~i~tylko wtedy, gdy $Q\in\FPEP$.
\end{tw}
\begin{proof}
Ustalmy spełniające założenia twierdzenia porządki $P,Q$, liczbę $k\in\mN$, liczbę porządkową $\alpha$~oraz~ciąg $\left(r_{\phi,\phi+1}\colon P_\phi\to P_{\phi+1}\right)_{\phi<\alpha}$. Dla każdej liczby porządkowej $\psi\leq \alpha$ niech $R_\psi=\infcomp\left(r_{\phi,\phi+1}\right)_{0\leq \phi<\psi} \colon P\to P_\psi$, zaś $i_\psi\colon P_\psi\hookrightarrow P$ niech będzie włożeniem. Oczywiście $Q=R_\alpha(P)$.
Na podstawie lematu \ref{lem-zlozenie_Bk_retrakcji} zbiór $Q$~jest właściwym retraktem $P$. Jeżeli zatem $P\in\FPEP$, to wobec teorioporządkowego odpowiednika stwierdzenia \ref{stw-wlasciwa_retrakcja_zachowuje_fpep} również $Q\in\FPEP$.
Załóżmy, że $Q=R_\alpha(P)\in \FPEP$. Ustalmy zachowujące porządek odwzorowanie $f\colon P\to P$ bez końców stałych. W~szczególności $\E(f)(\E(i_\alpha)(\varepsilon))\not=\E(i_\alpha)(\varepsilon)$ dla każdego końca $\varepsilon\in\E(R_\alpha(P))$. Z~lematu \ref{lem-zlozenie_Bk_retrakcji} dla każdego końca $\varepsilon\in\E(R_\alpha(P))$ otrzymujemy \[\bigl(\E(R_\alpha)\circ \E(f)\circ \E(i_\alpha)\bigr)(\varepsilon)=\E(i_\alpha)^{-1}\bigl(\E(f)(\E(i_\alpha)(\varepsilon))\bigr)\not=\varepsilon,\] czyli odwzorowanie $R_\alpha\circ f\circ i_\alpha\colon R_\alpha(P)\to R_\alpha(P)$ nie ma końców stałych. Zatem $\Fix(R_\alpha\circ f\circ i_\alpha)\not=\emptyset$.
Wykażemy indukcyjnie dla każdej liczby porządkowej $0\leq \phi\leq \alpha$, że jeśli odwzorowanie $R_\phi\circ f\circ i_\phi=R_\phi\circ f\big|_{P_\phi}\colon P_\phi\to P_\phi$ ma punkt stały, to $\Fix(f)\not=\emptyset$. Dla $\phi=0$~jest to oczywiste. Ustalmy $\phi>0$ i~załóżmy, że dowodzona implikacja jest prawdziwa dla wszystkich $\psi<\phi$, oraz że $\Fix\bigl(R_\phi\circ f\big|_{P_\phi}\bigr)\not=\emptyset$. Jeśli $\phi$~jest następnikiem, $\phi=\psi+1$, to $R_\phi\circ f\big|_{P_\phi}=r_{\psi,\psi+1}\circ R_\psi\circ f\big|_{P_\phi}$. Ponieważ para $\left(P_\psi,r_{\psi,\psi+1}\right)$ spełnia warunek lustrzany, to $\Fix\bigl(R_\psi\circ f\big|_{P_\psi}\bigr)\not=\emptyset$, co wobec założenia indukcyjnego oznacza, że $\Fix(f)\not=\emptyset$. Jeżeli natomiast $\phi$~jest graniczną liczbą porządkową i~$R_\phi\circ f\big|_{P_\phi}$ ma punkt stały $p\in P_\phi$, to z~definicji nieskończonego złożenia istnieje liczba porządkowa $\psi<\phi$ taka, że $R_\psi(f(p))=R_\phi(f(p))=p$, co na podstawie~założenia indukcyjnego oznacza, że $\Fix(f)\not=\emptyset$.
Wykazaliśmy wcześniej, że odwzorowanie $R_\alpha\circ f\circ i_\alpha=R_\alpha\circ f\big|_{P_\alpha}$ ma punkt stały, a~zatem $\Fix(f)\not=\emptyset$, co oznacza, że $P\in\FPEP$.
\end{proof}
Prawdziwy jest też odpowiednik wniosku \ref{tw-Crozbieralnosc_zachowuje_FPP}, jak również jego symplicjalna wersja.
\begin{wn}\label{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_2}
Jeśli $P,Q$ są lokalnie skończonymi częściowymi porządkami oraz $P{\dism} Q$, to $P\in\FPEP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $Q\in\FPEP$.
\end{wn}
\begin{proof}
Ustalmy lokalnie skończone częściowe porządki $P,Q$ takie, że istnieją liczba porządkowa $\alpha$~oraz \mbox{$\mathcal{C}$-rozbierający} $P$~do $Q$~ciąg retrakcji $\left(r_\phi\colon P_\phi\to P_{\phi+1}\right)_{\phi<\alpha}$. Na podstawie lematu \ref{lem-schrodera_o_warunku_lustrzanym_dla_C} każda para $\left(P_\phi,r_\phi\right)$, $\phi<\alpha$, spełnia warunek lustrzany. Ponieważ $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{B}_1$, teza wynika z~twierdzenia \ref{tw-schroder-like-o-ciagu-retrakcji-lustrzanych}.
\end{proof}
\begin{wn}\label{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_2_simplicial}
Jeśli $K,L$ są lokalnie skończonymi kompleksami symplicjalnymi oraz $K{\dism} L$, to $K\in\FSEP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $L\in\FSEP$.
\end{wn}
\begin{proof}
Ustalmy lokalnie skończone kompleksy symplicjalne $K, L$ takie, że \mbox{$K\dism L$}. Z~lematu \ref{lem-rozbieralnosc_tu_i_tu} otrzymujemy $\mP(K)\dism \mP(L)$. Zgodnie z~wnioskiem \ref{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_2} częściowy porządek $\mP(K)\in\FPEP$ wtedy i~tylko wtedy, gdy $\mP(L)\in\FPEP$. Zastosowanie stwierdzenia \ref{stw-simplicial_fpep_wtw_order_theoretic} kończy dowód.
\end{proof}
Zachodzi również podobny do twierdzenia \ref{tw-schroder-like-o-ciagu-retrakcji-lustrzanych} fakt dotyczący korozbieralności.
\begin{tw}\label{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_1}
Jeżeli $P$~jest lokalnie skończonym częściowym porządkiem, $k$~liczbą naturalną, $\beta$~liczbą porządkową, zaś $\left(s_{\phi+1,\phi}\colon Q_{\phi+1}\to Q_\phi\right)_{\phi<\beta}$ ciągiem \mbox{$\mathcal{B}_k$-korozbierającym} $P$~z~pewnego podzbioru $Q\subseteq P$, przy czym każda z~par $\left(Q_{\phi+1},s_{\phi+1,\phi}\right)$, $\phi<\beta$, spełnia warunek lustrzany, to $Q\in\FPP$ implikuje, że $P\in\FPEP$.
\end{tw}
\begin{proof}
Ustalmy porządki $P$, $Q$, liczbę naturalną $k$, liczbę porządkową $\beta$ oraz ciąg $\left(s_{\phi+1,\phi}\colon Q_{\phi+1}\to Q_\phi\right)_{\phi<\beta}$ spełniające założenia twierdzenia. Załóżmy, że częściowy porządek $Q$~ma własność punktu stałego. Dla każdej liczby porządkowej $\psi\leq\beta$ niech $S_\psi=\revcomp\left(s_{\phi+1,\phi}\right)_{\psi\leq \phi<\beta}\colon P\to Q_\psi$, zaś $i_\psi\colon Q_\psi\hookrightarrow P$ niech będzie włożeniem. Przez $\s=\s\left(s_{\phi+1,\phi}\right)_{\phi<\beta}\colon P\to P$ oznaczmy funkcję skoku (patrz s. \pageref{def-nieskonczone_zlozenie_korozbierajacego_ciagu}). Ustalmy właściwe, zachowujące porządek odwzorowanie $f\colon P\to P$ bez końców stałych.
Wykażemy indukcyjnie, że dla każdej liczby porządkowej $\phi\leq\beta$ odwzorowanie $S_\phi\circ f\circ i_\phi\colon Q_\phi\to Q_\phi$ ma punkt stały. Ponieważ $S_\beta\circ f\circ i_\beta=f$, wobec dowolności wyboru funkcji $f$~zakończy to dowód twierdzenia.
Z~założenia $Q_0=Q\in\FPP$, więc $\Fix\left(S_0\circ f\circ i_0\right)\not=\emptyset$. Ustalmy liczbę porządkową $0<\phi\leq\beta$ i~załóżmy, że $\Fix\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)\not=\emptyset$ dla każdej liczby porządkowej $\psi<\phi$. Jeżeli $\phi$~jest następnikiem, $\phi=\psi+1$, to $\Fix\left(S_{\phi}\circ f\circ i_{\phi}\right)\not=\emptyset$, gdyż para $\left(Q_{\phi},s_{\psi+1,\psi}\right)$ spełnia warunek lustrzany.
Załóżmy, że liczba porządkowa $\phi$~jest graniczna. Istnieje skończony podzbiór $F\subseteq P$ będący dla $f$~zbiorem przestawiającym końce i~taki, że każda składowa spójności zbioru $P\smallsetminus F$ jest nieskończona. Jeśli $\varepsilon,\varepsilon'\in \E(X)$ oraz $\varepsilon(F)\not=\varepsilon'(F)$, to wobec lematu \ref{lem-odleglosc_miedzy_skladowymi_po_nadmuchaniu_srodka} dla każdego elementu $q\in \varepsilon(F)\smallsetminus B_P(F,k)$ ma miejsce nierówność $d_P\left(q,\varepsilon'(F)\right)> k$. Na podstawie lematu \ref{lem-iteracje_s_na_x_tworza_skonczony_zbior} dla każdego $p\in P$ zbiór $\{\s^n(p):n\in\mN\}$, gdzie $\s^0(p)=\id_P(p)=p$, jest skończony, więc skończony jest również zbiór \[\hat{F}=\bigcup_{p\in B_P(F,k)}\left\{\s^n(p):n\in\mN\right\}.\]
Udowodnimy, że dla każdej liczby porządkowej $\psi<\phi$ zachodzi zawieranie $\Fix\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)\subseteq \hat{F}$. Ustalmy w~tym celu punkt $p\in\Fix\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)$; mamy $S_{\psi}(f(p))=p$. Jeśli $p\in B_P(F,k)$, to oczywiście $p\in \hat{F}$. Jeżeli natomiast $p\not\in B_P(F,k)$, to $p\in\varepsilon(F)\smallsetminus B_P(F,k)$ dla pewnego końca $\varepsilon\in\E(P)$. Ale $F$~jest dla $f$~zbiorem przestawiającym końce, więc $f(p)\not\in\varepsilon(F)$. Istnieje liczba naturalna $n$~taka, że $\s^n(f(p))=S_{\psi}(f(p))=p$. Rozważmy skończony ciąg $\bigl(f(p),\s(f(p)),\ldots,\s^n(f(p))\bigr)$. Odległość między każdymi dwoma kolejnymi elementami tego ciągu wynosi co najwyżej $k$. Niech \[m_0=\min\left\{m\leq n:\s^m(f(p))\in\varepsilon(F)\smallsetminus B_P(F,k)\right\};\] oczywiście $m_0>0$ (gdyż $\s^0(f(p))=f(p)\not\in\varepsilon(F)$). Ponieważ zachodzi nierówność $d_P\left(\s^{m_0-1}(f(p)),\s^{m_0}(f(p))\right)\leq k$, dla każdego końca $\varepsilon'\in\E(P)\smallsetminus\{\varepsilon\}$ element $\s^{m_0-1}(f(p))\not\in\varepsilon'(F)$. Zatem $\s^{m_0-1}(f(p))\in B_P(F,k)$, czyli \[p=\s^{n}(p)=\s^{n-m_0+1}(\s^{m_0-1}(f(p)))\in \hat{F}.\]
Nietrudno spostrzec, że jeśli $p\in Q_\psi$ oraz $p\not\in \Fix\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)$ dla pewnej liczby porządkowej $\psi<\beta$, to $p\not\in \Fix\left(S_\rho\circ f\circ i_\rho\right)$ dla wszystkich liczb porządkowych $\psi\leq \rho<\beta$. Ponieważ zbiór $\hat{F}$ jest skończony oraz $\emptyset\not=\Fix\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)\subseteq \hat{F}$ dla każdej liczby porządkowej $\psi<\phi$, to istnieją punkt $p_0\in\hat{F}$ oraz liczba porządkowa $\rho<\phi$ takie, że $\left(S_\psi\circ f\circ i_\psi\right)(p_0)=p_0$ dla wszystkich $\rho\leq \psi<\phi_0$. Element $p_0$~jest więc również punktem stałym funkcji $S_{\phi}\circ f\circ i_{\phi}$.
\end{proof}
Podobnie jak wyżej otrzymujemy wnioski dotyczące $\mathcal{C}$-korozbieralności częściowych porządków oraz $\mCtriang$-korozbieralności kompleksów symplicjalnych.
\begin{wn}\label{wn-loc_fin_fpp_thm_dism_1}
Jeśli $P,Q$ są częściowymi porządkami, $P$~jest lokalnie skończony, ${Q\in\FPP}$ oraz ${Q\codism P}$, to $P\in\FPEP$.
\end{wn}
\begin{proof}
Natychmiastowa konsekwencja lematu \ref{lem-schrodera_o_warunku_lustrzanym_dla_C}, twierdzenia \ref{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_1} oraz faktu, że $\mathcal{C}\subseteq\mathcal{B}_1$.
\end{proof}
\begin{wn}\label{tw-loc_fin_fpp_thm_dism_1_simplicial}
Jeśli $K,L$ są kompleksami symplicjalnymi, $K$~jest lokalnie skończony, $L\in\FSP$ oraz ${L\codism K}$, to $K\in\FSEP$.
\end{wn}
\begin{proof}
Ustalmy lokalnie skończone kompleksy symplicjalne $K,L$~o~tej własności, że $L\in \FSP$ oraz $L\codism K$. Korzystając z~obserwacji poczynionych w~dowodzie stwierdzenia \ref{lem-rozbieralnosc_tu_i_tu} nietrudno zauważyć, że $\mP(L)\codism \mP(K)$. Ponieważ $L\in \FSP$, to $\mP(L)\in\FPP$ (patrz s.~\pageref{schroder-fsp-wtw-fpp}). Na podstawie wniosku \ref{wn-loc_fin_fpp_thm_dism_1} mamy $\mP(K)\in\FPEP$. Zastosowanie stwierdzenia \ref{stw-simplicial_fpep_wtw_order_theoretic} kończy dowód.
\end{proof}
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Własność punktu lub końca stałego i~produkty}
Czy jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi mającymi własność punktu stałego, to ich iloczyn kartezjański $X\times Y$ również ma tę własność? Pytanie to ma długą tradycję. Dla $X,Y$ będących continuami Peano problem ten opublikował w~1930~Kuratowski \cite{Kuratowski30}, choć prawdopodobnie rozważany był on już wcześniej. Jego rozwiązanie (negatywne) zajęło ponad 35 lat (dla dowolnych przestrzeni topologicznych $X,Y$ odpowiedź znana była nieco wcześniej). Obecnie wiadomo między innnymi, że $X\times Y$ nie musi mieć własności punktu stałego nawet wtedy, gdy $X$~jest zwartym wielościanem, zaś~$Y$~odcinkiem jednostkowym, czy też dla $X,Y$~będących zwartymi rozmaitościami. Więcej o~wspomnianych wynikach oraz historii tego problemu można przeczytać w~artykule Browna~\cite{Brown82}.
W~tym kontekście interesująca jest kwestia zachowywania własności punktu stałego przez iloczyn kartezjański częściowych porządków. Przypomnijmy, że jeśli $(P,\leq_P)$, $(Q,\leq_Q)$~są częściowymi porządkami, to na zbiorze $P\times Q$ istnieje relacja porządkująca \[\leq_{P\times Q}=\left\{\bigl((p_1,q_1),(p_2,q_2)\bigr)\in (P\times Q)^2:p_1\leq_P p_2 \text{ oraz } q_1\leq_Q q_2\right\};\] nietrudno sprawdzić, że topologia Aleksandrowa wyznaczona na zbiorze $P\times Q$ przez tę relację pokrywa się z~topologią Tichonowa produktu przestrzeni Aleksandrowa $P,Q$. Czy jeśli $P,Q\in\FPP$, to $P\times Q\in\FPP$? Problem ten został opublikowany w~1979 roku \cite{Baclawski79} (choć również można przypuszczać, iż był znany wcześniej) i~przykuł uwagę wielu badaczy. Przez 15 lat podawano jedynie stosunkowo słabe, cząstkowe wyniki \cite{Duffus87,Rutkowski85,Rutkowski86,Walker84}. Przełomem była praca Roddy \cite{Roddy94} z~1994~roku, w~której dowiedziono, że $P\times Q\in\FPP$, o~ile $P,Q\in\FPP$ oraz porządki $P,Q$ są skończone. (Następnie szybko zauważono, że wystarczy, aby tylko jeden z~nich był skończony \cite[Section 10.2.1]{Schroder03}.) Dla nieskończonych częściowych porządków problem jest nadal otwarty, choć uzyskano liczne częściowe wyniki \cite{Niederle07,Niederle08,Roddy02,Roddy05,Rutkowski94,Schroder95}.
Opierając się na pomysłach Roddy \cite{Roddy94} (w~ujęciu Schr{\"o}dera \cite[Subsection 10.2.1]{Schroder03}) dowodzimy w~bieżącej sekcji, że własność punktu lub końca stałego jest zachowywana przez iloczyn kartezjański, o~ile oba czynniki są spójnymi, lokalnie skończonymi częściowymi porządkami. Metodę dowodu autorstwa Roddy modyfikujemy, celem dostosowania jej do porządków lokalnie skończonych, jedynie w~szczegółach.
Rozpoczynamy od lematu, który pozwoli przy badaniu własności punktu lub końca stałego produktu dwóch spójnych, lokalnie skończonych porządków ograniczyć się do przypadku, gdy jeden z~nich jest skończony.
\begin{lem}\label{lem-produkt_nieskonczonych_ma_jeden_koniec}
Jeżeli $P,X$ są spójnymi, lokalnie skończonymi, nieskończonymi częściowymi porządkami, to zbiór $\E(P\times X)$ jest jednoelementowy.
\end{lem}
\begin{proof}
Załóżmy, że $P,X$ są spójnymi, lokalnie skończonymi, nieskończonymi częściowymi porządkami. Rozważmy skończony podzbiór $F\subseteq P\times X$. Istnieją skończone zbiory $F_1\subseteq P, F_2\subseteq X$ takie, że $F\subseteq F_1\times F_2$. Ustalmy punkt $(p,x)\in P\times X$ o~tej własności, że $p\not\in F_1$, $x\not\in F_2$. Dla dowolnego punktu $(q,y)\in (P\times X)\smallsetminus (F_1\times F_2)$ zachodzi co najmniej jeden z~warunków: $q\not\in F_1$, $y\not\in F_2$. Ponieważ zbiory $P,X$ są spójne, istnieją ścieżka prosta $(q=q_0,q_1,\ldots,q_m=p)$ w~grafie porównywalności $\Comp(P)$ (prowadząca z~$q$~do~$p$) oraz ścieżka prosta $(y=y_0,y_1,\ldots,y_n=x)$ w~grafie porównywalności $\Comp(X)$ (prowadząca z~$y$~do~$x$). Jeśli $q\not\in F_1$, to ciąg \[\big((q_0,y_0),(q_0,y_1),\ldots,(q_0,y_n),(q_1,y_n),\ldots,(q_m,y_n)\big)\] jest ścieżką prostą w~$\Comp\bigl((P\times X)\smallsetminus (F_1\times F_2)\bigr)$ prowadzącą z~$(q,y)$ do $(p,x)$. Analogicznie konstruujemy ścieżkę z~$(q,y)$ do $(p,x)$ w~przypadku, gdy $y\not\in F_2$. Wobec dowolności wyboru punktu $(q,y)$~zbiór $(P\times X)\smallsetminus (F_1\times F_2)$ jest spójny, więc częściowy porządek $(P\times X)\smallsetminus F$ ma dokładnie jedną nieskończoną składową spójności. Ponieważ $F\subseteq P\times X$ było dowolnym skończonym podzbiorem, oznacza to, że $\moc{\E(P\times X)}=1$
\end{proof}
Przypomnijmy prosty, ale użyteczny lemat, pozwalający stowarzyszyć z~odwzorowaniem skończonego częściowego porządku w~siebie pewną zachowującą porządek retrakcję.
\begin{lem}[{\cite[Proposition 4.1.4]{Schroder03}}]\label{lem-o_retrakcji_z_silnia}
Niech $P$~będzie skończonym częściowym porządkiem, zaś $f\colon P\to P$ zachowującym porządek odwzorowaniem. Jeżeli $\moc{P}=n$, to funkcja $f^{n!}\colon P\to f^{n!}(P)$~jest zachowującą porządek retrakcją, $\Fix(f)\subseteq f^{n!}(P)$ oraz $f\big|_{f^{n!}(P)}\colon f^{n!}(P)\to f^{n!}(P)$ jest automorfizmem.
\end{lem}
Niech $P,X$~będą częściowymi porządkami. Skorzystamy z~następujących oznaczeń. Dla odwzorowania $f\colon P\times X\to P\times X$ oraz punktów $p\in P, x\in X$ niech \begin{align*}f_x&=\pi_P\circ f(\cdot,x)\colon P\to P,\\f_p&=\pi_X\circ f(p,\cdot)\colon X\to X,\end{align*} gdzie $\pi_P\colon P\times X\to P$, $\pi_X\colon P\times X\to X$ oznaczają rzuty odpowiednio na pierwszą i~drugą oś. Zauważmy, że jeśli $p,q\in P$, $x,y\in X$ oraz $p\leq q$, $x\leq y$, to $f_p(x)\leq f_q(y)$, jak również $f_x(p)\leq f_y(q)$.
\begin{lem}\label{lem-koniec_na_produkcie_koncem_wspolrzednej}
Niech $P,X$ będą spójnymi częściowymi porządkami, przy czym $P$~niech będzie skończony, zaś $X$~nieskończony, ale lokalnie skończony. Załóżmy, że $a\colon X\to P$, $f\colon P\times X\to P\times X$ są zachowującymi porządek odwzorowaniami oraz $f$~jest właściwe. Niech $h\colon X\to X$ zadane będzie dla $x\in X$ wzorem $h(x)=f_{a(x)}(x)$. Odwzorowanie $h$~jest właściwe, a~zbiory $\FixEnd(f)$ oraz $\FixEnd(h)$ są równoliczne.
\end{lem}
\begin{proof}
Zauważmy, że dla każdego $x\in X$ zbiór \[h^{-1}(x)=\left\{y\in X:f_{a(y)}(y)=x\right\}\subseteq \bigcup_{p\in P}f_p^{-1}(x)\] jest skończony, gdyż $P$~jest zbiorem skończonym oraz dla każdego $p\in P$ odwzorowanie $f_p\colon X\to X$ jest właściwe. Zatem funkcja $h\colon X\to X$ jest właściwa.
Ustalmy punkt $p\in P$. Niech $r_p\colon P\times X\to \{p\}\times X$ będzie retrakcją zadaną dla $(q,y)\in P\times X$ wzorem $r_p(q,y)=(p,y)$, zaś przez $i_p\colon \{p\}\times X\hookrightarrow P\times X$ oznaczmy włożenie. Funkcje te są właściwe. Niech $k=\max\{d_P(p,q):p,q\in P\}$. Zauważmy, że $r_p\in \mathcal{B}_k$. Na podstawie lematu \ref{lem-zlozenie_Bk_retrakcji} mamy $\E(r_p)=\E(i_p)^{-1}$. Odwzorowania $\E(r_p), \E(i_p)$ wyznaczają wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między zbiorami $\FixEnd(f)$ oraz $\FixEnd(r_p\circ f\circ i_p)$.
Odwzorowanie $j\colon X\to \{p\}\times X$ zadane dla $x\in X$ wzorem $j(x)=(p,x)$ jest izomorfizmem częściowych porządków, a~ponadto $f_p=j^{-1}\circ r_p \circ f \circ i_p \circ j$, więc istnieje indukowana przez $j$~bijekcja między zbiorami $\FixEnd(r_p\circ f\circ i_p)$ oraz $\FixEnd(f_p)$.
Zauważmy, że dla każdego $x\in X$ zachodzi nierówność $d_X(f_p(x),h(x))\leq k$, wobec czego $\FixEnd(f_p)=\FixEnd(h)$ na podstawie lematu \ref{lem-bliskie_funkcje_to_samo_na_koncach}.
\end{proof}
\begin{stw}[por. {\cite[Theorem 1.1]{Roddy94},\cite[Theorem 10.2.11]{Schroder03}}]\label{stw-produkt_fpep_ma_fpep}
Jeśli $P,X$ są spójnymi, lokalnie skończonymi częściowymi porządkami oraz $P,X\in\FPEP$, to również $P\times X\in\FPEP$.
\end{stw}
\begin{proof}
Ustalmy spójne, lokalnie skończone częściowe porządki $P,Q$.
Wobec lematu \ref{lem-produkt_nieskonczonych_ma_jeden_koniec} wystarczy udowodnić twierdzenie przy założeniu, że co najmniej jeden ze zbiorów $P,X$ jest skończony, gdyż w~przeciwnym wypadku zbiór $\E(P\times X)$ jest jednoelementowy, więc $P\times X\in \FPEP$. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że skończony jest zbiór $P$; zatem $P\in\FPP$.
Rozważmy właściwe, zachowujące porządek odwzorowanie bez końców stałych \mbox{$g\colon P\times X\to P\times X$}. Udowodnimy, że $\Fix(g)\not=\emptyset$.
Dla $x\in X$ niech $r_x=g_x^{\moc{P}!}\colon P\to r_x(P)$; funkcja ta jest na podstawie lematu \ref{lem-o_retrakcji_z_silnia} retrakcją. Odwzorowanie $f\colon P\times X\to P\times X$ zadane dla $(p,x)\in P\times X$ wzorem \[f(p,x)=\left(g_x^{\moc{P}!+1}(p),g_p(x)\right)\] jest właściwe i~zachowuje porządek; ponadto $f_x=g_x^{\moc{P}!+1}$ oraz $f_p=g_p$. Zauważmy, że $f_x(P)=r_x(P)$. Wobec lematu \ref{lem-o_retrakcji_z_silnia} dla każdego $x\in X$ przekształcenie $g_x\big|_{r_x(P)}\colon r_x(P)\to r_x(P)$ jest automorfizmem. Zatem automorfizmem jest również $f_x\big|_{r_x(P)}\colon r_x(P)\to r_x(P)$.
Oczywiście $\Fix(g)\subseteq\Fix(f)$. Z~drugiej strony, jeśli $(p,x)\in \Fix(f)$, to $g_p(x)=f_p(x)=x$ oraz, ponieważ $p\in f_x(P)=r_x(P)$, mamy
\[p=r_x(p)=r_x(f_x(p))=g_x^{2\moc{P}!+1}(p)=g_x(r_x(r_x(p)))=g_x(r_x(p))=g_x(p),\] czyli $(p,x)\in\Fix(g)$. Zatem $\Fix(f)=\Fix(g)$. Zauważmy, że \[d_{P\times X}\big(f(p,x),g(p,x)\big)\leq \max\{d_P(a,b):a,b\in P\}\] dla wszystkich $p\in P$, $x\in X$, więc $\FixEnd(f)=\FixEnd(g)=\emptyset$ na podstawie lematu \ref{lem-bliskie_funkcje_to_samo_na_koncach}.
Niech $n\in\mN$. Skończony ciąg $(p_0,\ldots,p_n,x)\in \left(\prod_{i=0}^{n}P\right)\times X$ nazywamy \textit{górną \mbox{s-palisadą} długości~$n$} \cite{Roddy94},~o~ile:
\begin{compactitem}
\item[---]$p_0\leq p_1\geq p_2\leq \ldots p_n$;
\item[---]$f_{p_0}(x)=x$;
\item[---]$r_x(p_j)=p_j$ dla wszystkich $0<j\leq n$;
\item[---]$f_x(p_n)=p_n$.
\end{compactitem}
Dualizując pierwszy z~powyższych warunków otrzymujemy definicję \textit{dolnej \mbox{s-palisady}}.
Wykażemy, że istnieje co najmniej jedna s-palisada. Ustalmy $q\in P$. Niech $h\colon X\to X$ zadane będzie wzorem $h(x)=f_{r_x(q)}(x)$. Na podstawie lematu \ref{lem-koniec_na_produkcie_koncem_wspolrzednej} zbiór $\FixEnd(h)=\emptyset$, gdyż $\FixEnd(f)=\emptyset$. Ale $X\in\FPEP$, istnieje więc punkt $y_0\in\Fix(h)$. Niech $q_0=r_{y_0}(q)$. Wybierzmy $p\in\Fix\left(f_{y_0}\right)$. Ponieważ zbiór $P$~jest spójny, spójny jest również zbiór $r_{y_0}(P)$. Istnieje zatem ciąg $q_0\leq q_1\geq\ldots q_m=p$ elementów zbioru $r_{y_0}(P)$. Jak łatwo sprawdzić, $(q_0,\ldots,q_m,y_0)$ jest \mbox{s-palisadą}.
Wykazaliśmy, że zbiór \mbox{s-palisad} jest niepusty; należy zatem do niego \mbox{s-palisada} minimalnej długości $(p_0,\ldots,p_n,x_0)$. Jeśli $n=0$, to $f_{x_0}(p_0)=p_0$ oraz $f_{p_0}(x_0)=x_0$, czyli $f(p_0,x_0)=(p_0,x_0)$, a~zatem $\emptyset\not=\Fix(f)=\Fix(g)$. Przypuśćmy, że $n>0$; pokażemy, że prowadzi to do sprzeczności.
Bez utraty ogólności możemy zakładać, że $p_0<p_1$. Określmy ciągi $(x_i)_{i\in\mN}$ elementów $X$~oraz $(q_i)_{i\in\mN}$~elementów $P$ wzorami:
\[q_0=p_0,\quad q_1=p_1,\quad x_i=f_{q_i}(x_{i-1}),\quad q_{i+1}=r_{x_i}(q_i)\quad \text{dla } i\geq 1.\]
Są one niemalejące, na co wskazują poniższe, dowodzone indukcyjnie, nierówności:
\begin{align*}
q_1&=p_1>p_0=q_0,\\
x_1&=f_{q_1}(x_0)=f_{p_1}(x_0)\geq f_{p_0}(x_0)=x_0,\\
q_2&=r_{x_1}(q_1)\geq r_{x_0}(q_1)=q_1,\\
q_{i+1}&=r_{x_i}(q_i)\geq r_{x_{i-1}}(q_i)\geq r_{x_{i-1}}(q_{i-1})=q_i \quad(\text{dla } i\geq 2),\\
x_{i+1}&=f_{q_{i+1}}(x_i)\geq f_{q_i}(x_{i-1})=x_i \quad(\text{dla } i\geq 1).
\end{align*}
Porządki $P,X$ są lokalnie skończone, więc ciągi $(x_i)_{i\in\mN}$, $(q_i)_{i\in\mN}$ są od pewnego miejsca stałe. Niech \begin{align*}q_*&=\max\left\{q_i:i\in\mN\right\},\\ x_*&=\max\left\{x_i:i\in\mN\right\}.\end{align*} Przyjmijmy $b_1=r_{x_*}(q_*)$ oraz $b_i=r_{x_*}(p_i)$ dla $1\leq j\leq n$. Wykażemy, że $(b_1,\ldots,b_n,x_*)$ jest dolną \mbox{s-palisadą} (długości $n-1$), co jest sprzeczne z~tym, że minimalna długość \mbox{s-palisady} jest równa $n$.
Zauważmy najpierw, że $q_*\geq q_1=p_1\geq p_2$, więc $b_1=r_{x_*}(q_*)\geq r_{x_*}(p_2)=b_2$. Wymagane w~definicji \mbox{s-palisady} nierówności między elementami $b_i,b_{i+1}$ dla $2\leq i\leq n-1$ wynikają z~nierówności między $p_i, p_{i+1}$ oraz zachowywania porządku przez funkcję $r_{x_*}$. Drugi warunek definicji \mbox{s-palisady} jest spełniony, gdyż mają miejsce równości \[f_{b_1}(x_*)=f_{r_{x_*}(q_*)}(x_*)=f_{q_*}(x_*)=x_*\] wynikające z~definicji ciągów $(x_i)_{i\in\mN}$, $(q_i)_{i\in\mN}$ oraz elementów $x_*$, $q_*$. Trzecia własność wymagana w~definicji jest oczywiście spełniona, gdyż $r_{x_*}$ jest retrakcją. Do udowodnienia pozostał ostatni warunek.
Ponieważ $f_{x_*}(p_n)\geq f_{x_0}(p_n)=p_n$, mamy $f_{x_*}(f_{x_*}(p_n))\geq f_{x_*}(p_n)$. Ale odwzorowanie $f_{x_*}\big|_{f_{x_*}(P)}\colon f_{x_*}(P)\to f_{x_*}(P)$ jest automorfizmem skończonego częściowego porządku, więc $f_{x_*}(p_n)\in\Fix(f_{x_*})$. Jak wiemy $f_{x_*}(P)=r_{x_*}(P)$, stąd element $f_{x_*}(p_n)\in r_{x_*}(P)$, a~zatem $r_{x_*}(f_{x_*}(p_n))=f_{x_*}(p_n)$, gdyż $r_{x_*}$ jest retrakcją. Ponadto $f_{x_*}(p_n)=r_{x_*}(f_{x_*}(p_n))=g_x^{2\moc{P}!+1}=f_{x_*}(r_{x_*}(p_n))$ i~z~różnowartościowości funkcji $f_{x_*}|_{f_{x_*}(P)}$ otrzymujemy $f_{x_*}(p_n)=r_{x_*}(p_n)$. Wobec tego
\[f_{x_*}(b_n)=f_{x_*}(r_{x_{*}}(p_n))=f_{x_*}(f_{x_*}(p_n))=f_{x_*}(p_n)=r_{x_*}(p_n)=b_n,\]
czyli ciąg $(b_1,\ldots,b_n,x_*)$ jest \mbox{s-palisadą}.
\end{proof}
\begin{comment}
%Załóżmy, że zbiór końców $\E(X)$~przestrzeni topologicznej $X$~jest skończony. Istnieje wówczas zwarty podzbiór $D\subseteq X$ o~tej własności, że \[\overline{\varepsilon(D)}\cap\overline{\varepsilon'(D)}=\emptyset\] dla wszystkich końców $\varepsilon,\varepsilon'\in \E(X)$, $\varepsilon\not=\varepsilon'$. Dla końca $\varepsilon\in \E(X)$ symbolem $H^\varepsilon_*(X)$\nomenclature[ozn-homologie_konca]{$H^\varepsilon_*(X)$}{homologie końca $\epsilon$ przestrzeni $X$} oznaczamy homologie $H^\infty_*(\overline{\varepsilon(D)})$, zwane \textit{homologiami końca $\varepsilon$}. Wobec lematu \ref{lem-wlozenie_kozwartego_indukuje_izomorfizm} nie zależą one od wyboru zbioru $D$.
%\begin{lem}\label{lem-rozbicie_homologii_w_nieskonczonosci_na_sume_prosta}
%Ustalmy właściwe odwzorowanie $f\colon X\to Y$ i~załóżmy, że zbiory końców $\E(X)$, $\E(Y)$ są skończone. Wówczas \[H_*^\infty(X)=\bigoplus_{\varepsilon\in\E(X)} H^\varepsilon_*(X)\]
%oraz \[H_*^\infty(f)\left(H^\varepsilon_*(X)\right)\subseteq H^{\E(f)(\varepsilon)}_*(Y).\]
%\end{lem}
%\begin{proof}
%Niech $D\subseteq X$ będzie takim zwartym zbiorem, że $\overline{\varepsilon(D)}\cap\overline{\varepsilon'(D)}=\emptyset$ dla wszystkich końców $\varepsilon,\varepsilon'\in \E(X)$, $\varepsilon\not=\varepsilon'$. Wówczas \[S\left(\overline{X\smallsetminus D}\right)=\bigoplus_{\varepsilon\in\E(X)} S\left(\overline{\varepsilon(D)}\right),\quad S^\lf\left(\overline{X\smallsetminus D}\right)=\bigoplus_{\varepsilon\in\E(X)} S^\lf\left(\overline{\varepsilon(D)}\right),\]
%a~zatem również \[H_*^\infty\left(\overline{X\smallsetminus D}\right)=H_*\left(S^\infty\left(\overline{X\smallsetminus D}\right)\right)=H_*\left(\bigoplus_{\varepsilon\in\E(X)} S^\infty\left(\overline{\varepsilon(D)}\right)\right)=\bigoplus_{\varepsilon\in\E(X)} H^\varepsilon_*(X).\]
%Dla dowodu drugiej części lematu ustalmy zwarty podzbiór $C\subseteq Y$ o~tej własności, że $\overline{\delta(C)}\not=\overline{\delta'(C)}$ dla wszystkich końców $\delta,\delta'\in\E(Y), \delta\not=\delta'$. Na podstawie lematu \ref{lem-dorzucanie_skladowych_a_zwartosc} możemy dodatkowo zakładać, że każda składowa spójności dopełnienia zbioru $C$~jest nieograniczna w~$Y$. Wobec lematu \ref{lem-istnieje_koniec_w_strone_danej_skladowej} oznacza to, że każda taka składowa jest postaci $\delta(C)$ dla pewnego końca $\delta\in\E(Y)$.
%Ponieważ odwzorowanie $f$~jest właściwe, zbiór $f^{-1}(C)$ jest zwarty. Niech $\widetilde{D}=f^{-1}(C)\cup D$. Zauważmy, że $f\bigl(\varepsilon\bigl(\widetilde{D}\bigr)\bigr)\subseteq \E(f)(\varepsilon)(C)$. Stąd wynika już łatwo zawieranie \[H_*^\infty(f)\left(H^\varepsilon_*(X)\right)\subseteq H^{\E(f)(\varepsilon)}_*(Y).\qedhere\]
%\end{proof}
\end{comment}
\newpage\thispagestyle{empty}