1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101\chapter{Wiadomości wstępne}\label{chapter1}
W niniejszym rozdziale zgromadzone zostały definicje, twierdzenia i~lematy przydatne w~dalszej części rozprawy. Część spośród~nich jest zupełnie standardowa; przy pozostałych podajemy odsyłacze do bibliografii bądź dowody.
Należy zaznaczyć, że wyniki podane w~tym rozdziale wraz z~dowodami są prawdopodobnie dobrze znane (być może z~wyjątkiem lematu \ref{lem-porządek_bez_promieni_wtw_podzial_barycentryczny}, stwierdzenia \ref{stw-porzadek_bez_promieni_wtw_kompleks_symplicjalny} oraz lematu \ref{lem-permutowanie_podprzestrzeni_a_liczba_lefschetza}) i~nie stanowią oryginalnego wkładu autora, a~jedynie świadczą o~jego trudnościach w~dotarciu do odpowiednich źródeł.
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\section{Różne oznaczenia i~uwagi}
Definiowane pojęcia zapisujemy \textit{tekstem pochyłym}. Przez \textbf{wytłuszczenie} wyróżniamy obowiązujące w~większym fragmencie rozprawy założenia i~oznaczenia.
Zakładamy, że Czytelnik ma podstawową wiedzę z~zakresu algebry, teorii mnogości, topologii (w~tym topologii algebraicznej) oraz teorii kategorii.
W~rozprawie swobodnie korzystamy z~aksjomatu wyboru, nie czyniąc na ten temat dodatkowych uwag.
Litery $\mathbb{N}$\nomenclature[0a]{$\mathbb{N}$}{zbiór liczb naturalnych}, $\mathbb{Z}$\nomenclature[0b]{$\mathbb{Z}$}{zbiór liczb całkowitych}, $\mathbb{Q}$\nomenclature[0c]{$\mathbb{Q}$}{zbiór liczb wymiernych}, $\mathbb{R}$\nomenclature[0d]{$\mathbb{R}$}{zbiór liczb rzeczywistych} oznaczają kolejno zbiory liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz rzeczywistych (wraz ze standardowymi: topologią, porządkiem i~strukturą algebraiczną na tych zbiorach).
Moc zbioru $A$~oznaczamy przez $\moc{A}$.\nomenclature[1da]{$\moc{A}$}{moc zbioru $A$} Symbolem $A\big/\mathord{\sim}\ =\left\{[a]_\sim:a\in A\right\}$\nomenclature[1e]{$[x]_\sim$}{klasa abstrakcji elementu $x$~względem relacji równoważności $\sim$} oznaczamy rodzinę klas abstrakcji elementów zbioru $A$~względem relacji równoważności $\sim$~na zbiorze $A$.\nomenclature[1f]{$A\big/\mathord{\sim}$}{zbiór ilorazowy zbioru $A$~względem relacji równoważności $\sim$~na $A$} Jeżeli relacja $\sim$~jest utożsamieniem punktów pewnego niepustego podzbioru $B\subseteq A$, zbiór ilorazowy oznaczamy także przez $A\big/B$. Przy użyciu tego samego symbolu oznaczamy również algebraiczne struktury ilorazowe (np.~grupy ilorazowe).
Literą $\omega$\nomenclature[1g]{$\omega$}{najmniejsza nieskończona liczba porządkowa} oznaczamy najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową.
Określenia ,,funkcja'', ,,odwzorowanie'' oraz ,,przekształcenie'' stosujemy wymiennie.
Symbol $\id_X\colon X\to X$\nomenclature[1a]{$\id_X$}{morfizm tożsamościowy obiektu $X$} oznacza morfizm tożsamościowy obiektu $X$. Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest funkcją oraz $A\subseteq X$, to przez $f\big|_A\colon A\to Y$\nomenclature[1c]{$f\big\pion_A$}{ograniczenie funkcji $f$~do podzbioru $A$~jej dziedziny} oznaczamy ograniczenie funkcji $f$~do podzbioru $A$. Przez zakrzywioną strzałkę $i\colon X\hookrightarrow Y$\nomenclature[1b]{$i\colon X\hookrightarrow Y$}{funkcja $i\colon X\to Y$ jest włożeniem} oznaczamy fakt, że odwzorowanie $i\colon X\to Y$ jest włożeniem. Jeżeli $A\subseteq X$, to surjekcję $r\colon X\to A$ nazywamy \textit{retrakcją}\index{retrakcja}, o~ile $r(r(x))=r(x)$ dla wszystkich $x\in X$. Jeśli $i\colon A\hookrightarrow X$ oznacza włożenie, to $r\colon X\to A$ jest retrakcją wtedy i~tylko wtedy, gdy $r\circ i=\id_A$.
Dla $n\in\mN$ przez $\S^n$\nomenclature[0g]{$\S^n$}{$n$-wymiarowa sfera jednostkowa} oznaczamy $n$-wymiarową sferę jednostkową $\S^n\subseteq \mathbb{R}^{n+1}$, przez $\D^n$\nomenclature[0e]{$\D^n$}{$n$-wymiarowy, domknięty dysk jednostkowy} domknięty, $n$-wymiarowy dysk jednostkowy $\D^n\subseteq \mathbb{R}^n$, zaś przez $\I$\nomenclature[0f]{$\I$}{domknięty odcinek jednostkowy}~domknięty odcinek jednostkowy $\I=[0,1]\subseteq \mathbb{R}$.
Izomorfizm struktur algebraicznych (grup, pierścieni itp.) oznaczamy symbolem~$\cong$.\nomenclature[1i]{$A \cong B$}{struktury algebraiczne $A, B$ są izomorficzne} Wymiar przestrzeni wektorowej $V$~oznaczamy przez $\dim(V)$.\nomenclature[1g]{$\dim(V)$}{wymiar przestrzeni wektorowej $V$} Symbolem $\bigoplus_{i\in I} V_i$\nomenclature[1h]{ $\bigoplus_{i\in I} V_i$}{suma prosta rodziny przestrzeni wektorowych $\{V_i\}_{i\in I}$} oznaczamy sumę prostą rodziny przestrzeni wektorowych $\{V_i\}_{i\in I}$. Ciąg $V_*=(V_n)_{n\in\mN}$ przestrzeni wektorowych nad tym samym ciałem nazywamy \textit{przestrzenią wektorową z~gradacją}\index{przestrzenzzz wektorowa z gradacjazzz@przestrzeń wektorowa z gradacją}. Jeśli $V_*$, $V'_*$ są przestrzeniami wektorowymi z~gradacją, to ich \textit{homomorfizmem zachowującym gradację}\index{homomorfizm!zachowujazzzcy gradacjezzz@zachowujący gradację} nazywamy ciąg homomorfizmów liniowych $f_*=(f_n\colon V_n\to V_n')_{n\in\mN}$.
Koprodukt obiektów $X, Y$ (zazwyczaj będzie to suma rozłączna zbiorów bądź przestrzeni topologicznych) oznaczamy przez $X\sqcup Y$\nomenclature[1n]{$X\sqcup Y$}{koprodukt obiektów $X, Y$}. Dla oznaczenia koproduktu rodziny obiektów $\left\{X_i\right\}_{i\in I}$ stosujemy symbol $\coprod_{i\in I}X_i$\nomenclature[1o]{$\coprod_{i\in I}X_i$}{koprodukt rodziny obiektów $\{X_i\}_{i\in I}$}, zaś przez $\prod_{i\in I}X_i$\nomenclature[1oa]{$\prod_{i\in I}X_i$}{produkt rodziny obiektów $\{X_i\}_{i\in I}$} oznaczamy produkt tej rodziny.
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\section{Matematyka dyskretna}
\subsection{Grafy}
\textit{Grafem prostym} (lub po prostu \textit{grafem})\index{graf!prosty} nazywamy parę $G=(V,E)$ taką, że $V$ jest pewnym zbiorem, zwanym \textit{zbiorem wierzchołków}\index{zbiozzzr@zbiór!wierzcholzzzkozzzw@wierzchołków!grafu} grafu $G$, zaś $E\subseteq\left\{\{v,w\}:v,w\in V\right\}$ jest \textit{zbiorem krawędzi}\index{zbiozzzr@zbiór!krawezzzdzi grafu@krawędzi grafu} tego grafu.
\textit{Grafem skierowanym}\index{graf!skierowany} nazywamy parę $D=(V,E)$ taką, że $V$ jest pewnym zbiorem, zwanym \textit{zbiorem wierzchołków} grafu skierowanego $D$, zaś $E\subseteq V\times V$ jest \textit{zbiorem (skierowanych) krawędzi} grafu skierowanego $D$. Jeżeli $(v,w)\in E$, to mówimy, że krawędź $(v,w)$ \textit{wychodzi z~wierzchołka $v$} i~\textit{wchodzi do wierzchołka $w$}.
\begin{uw}\label{uw-o-utozsamieniu}
Graf prosty $G=(V,E)$ możemy utożsamiać z~grafem skierowanym $G'=(V,E')$, którego zbiorem krawędzi jest $E'=\{(v,w):\{v,w\}\in E\}$. Z~drugiej strony graf skierowany $D=(W,F)$, którego zbiór krawędzi $F\subseteq W\times W$ jest symetryczną relacją dwuargumentową na zbiorze $W$, możemy utożsamiać z~grafem prostym $D'=(W,F')$ o~zbiorze krawędzi $F'=\{\{v,w\}:(v,w)\in F\}$.
\end{uw}
W~oznaczeniach często pomijać będziemy zbiory wierzchołków i~krawędzi; przykładowo, pisząc $v\in G$, $\{v,w\}\in G$ mamy na myśli przynależność wierzchołka $v$~do zbioru wierzchołków grafu $G$ oraz krawędzi $\{v,w\}$~do zbioru jego krawędzi.
\textit{Ścieżką}\index{szzzciezzzzka w grafie@ścieżka w grafie} długości $n$~w~grafie skierowanym $D$~prowadzącą z~wierzchołka $v_0$~do wierzchołka $v_n$~nazywamy taki skończony ciąg wierzchołków $(v_0,\ldots,v_n)$ tego grafu, że krawędź $(v_i,v_{i+1})\in D$ dla wszystkich $i=0,\ldots,n-1$. \textit{Nieskończoną ścieżką}\index{szzzciezzzzka w grafie@ścieżka w grafie!nieskonzzzczona@nieskończona} w~grafie skierowanym $D$ nazywamy taki nieskończony ciąg wierzchołków $(v_i)_{i\in\mN}$ tego grafu, że $(v_i,v_{i+1})\in D$ dla wszystkich $i\in\mN$. Mówimy, że ścieżka (skończona lub nie) w~grafie skierowanym $D$ jest \textit{prosta}\index{szzzciezzzzka w grafie@ścieżka w grafie!prosta}, o~ile jej wierzchołki są parami różne. Skończoną ścieżkę prostą $(v_0,\ldots,v_n)$ taką, że $n\geq 1$ oraz $(v_n,v_0)\in D$, nazywamy \textit{cyklem}\index{cykl w~grafie}.
Dzięki utożsamieniu z~uwagi \ref{uw-o-utozsamieniu} dobrze określone są również pojęcia ścieżki, ścieżki prostej oraz cyklu w~grafie prostym.
Graf skierowany $D'=(V',E')$ nazywamy \textit{podgrafem}\index{podgraf} grafu skierowanego $D=(V,E)$, o~ile $V'\subseteq V$ oraz $E'\subseteq E$. Jeżeli ponadto $E'=E\cap \left(V'\times V'\right)$, to $D'$~nazywamy podgrafem \textit{indukowanym}\index{podgraf!indukowany} na zbiorze wierzchołków $V'\subseteq V$.
Jeżeli $D=(V,E)$ jest grafem skierowanym oraz $W\subseteq V$, to podgraf grafu $D$~indukowany na zbiorze wierzchołków $V\smallsetminus W$ oznaczamy przez $D-W$.\nomenclature[2c]{$D-A$}{podgraf grafu skierowanego $D$~indukowany na dopełnieniu podzbioru $A$~zbioru wierzchołków tego grafu}
Mówimy, że graf prosty $G$~jest \textit{spójny}\index{graf!spozzzjny@spójny}, jeżeli dla wszystkich wierzchołków $v,w\in G$ istnieje ścieżka w~$G$~prowadząca z~$v$~do~$w$. \textit{Składową spójności}\index{sklzzzadowa spozzzjnoszzzci@składowa spójności!grafu} grafu $G$~nazywamy każdy maksymalny (w~sensie relacji bycia podgrafem) spójny podgraf tego grafu. Graf prosty $G$~nazywamy \textit{drzewem}\index{drzewo}, o~ile jest spójny i~nie zawiera cykli długości $\geq 2$.
Mówimy, że graf skierowany $D$ jest \textit{lokalnie skończony}\index{graf!lokalnie skonzzzczony@lokalnie skończony}, o~ile dla każdego wierzchołka $v\in D$ zbiór $\{w\in D:(v,w)\in D\text{ lub } (w,v)\in D\}$ jest skończony.
\begin{lem}[K{\"o}niga, {\cite[Lemma 8.1.2]{Diestel10}}]\label{konig}
Niech $D$~będzie lokalnie skończonym grafem skierowanym, zaś $v\in D$ wierzchołkiem tego grafu. Jeżeli zbiór tych wierzchołków $w\in D$, dla których istnieje ścieżka w~$D$~prowadząca z~$v$~do $w$, jest nieskończony, to istnieje nieskończona ścieżka prosta w~$D$.
\end{lem}
Niech $D=(V,E)$ będzie grafem skierowanym. \textit{Skojarzeniem}\index{skojarzenie} w~$D$ nazywamy taki zbiór krawędzi $M\subseteq E$, że dla każdego wierzchołka $v\in V$ istnieje co najwyżej jedna krawędź $(w_1,w_2)\in M$ o~tej własności, że $v=w_1$ lub $v=w_2$.
Interesujące z~punktu widzenia niniejszej rozprawy wprowadzenie do teorii grafów zawiera książka Diestela \cite{Diestel10}, której znacząca część poświęcona jest nieskończonym grafom.
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Częściowe porządki i~kraty}
Niech $P$~będzie zbiorem. Dwuargumentową relację $\leq\ \subseteq P\times P$ nazywamy \textit{relacją quasi-porządku}\index{relacja!quasi-porzazzzdku@quasi-porządku} na $P$, o~ile jest ona zwrotna i przechodnia; jeżeli relacja ta jest dodatkowo słabo antysymetryczna (tzn.~dla wszystkich $p,q\in P$ jeśli $p\leq q$ oraz $q\leq p$, to $p=q$), nazywamy ją \textit{relacją częściowego porządku}.\index{relacja!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku}
\textit{Quasi-porządkiem} (lub \textit{zbiorem quasi-uporządkowanym})\index{quasi-porzazzzdek@quasi-porządek}\index{zbiozzzr@zbiór!quasi-uporzazzzdkowany@quasi-uporządkowany|see{quasi-porządek}} nazywamy parę $(P,\leq)$ taką, że $P$~jest zbiorem, zaś $\leq\ \subseteq P\times P$ jest relacją quasi-porządku na $P$. \textit{Częściowym porządkiem}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek} (lub \textit{zbiorem częściowo uporządkowanym}\index{zbiozzzr@zbiór!czezzzszzzciowo uporzazzzdkowany@częściowo uporządkowany|see{częściowy porządek}}, albo po prostu \textit{porządkiem}) nazywamy parę $(P,\leq)$ taką, że $\leq$~jest relacją częściowego porządku na zbiorze $P$. Niech $(P,\leq)$ będzie quasi-porządkiem. Przez $<\ \subseteq P\times P$ oznaczamy relację $<\ =\ \leq\smallsetminus \id_P$. W~oczywisty sposób definiujemy relacje $\geq$~i~$>$. \textit{Quasi-porządkiem dualnym}\index{quasi-porzazzzdek@quasi-porządek!dualny}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!dualny} do $(P,\leq)$ nazywamy quasi-porządek $(P,\geq)$. Przez $\sim\ \subseteq P\times P$\nomenclature[4ba]{$p\sim q$}{elementy $p$, $q$~częściowego porządku są porównywalne} oznaczamy relację \textit{porównywalności}\index{relacja!porozzzwnywalnoszzzci@porównywalności}\index{porozzzwnywalnoszzzczzz@porównywalność}, czyli $\sim\ =\ \leq\ \cup\ \geq$
Ustalmy zbiór częściowo uporządkowany $(P,\leq)$. Jeżeli $\sim\ =P\times P$, to mówimy, że $(P,\leq)$~jest \textit{zbiorem liniowo uporządkowanym}\index{zbiozzzr@zbiór!liniowo uporzazzzdkowany@liniowo uporządkowany|see{łańcuch}}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!liniowy|see{łańcuch}} (lub \textit{liniowym porządkiem}, albo \textit{łańcuchem}\index{lzzzanzzzcuch@łańcuch}). Jeśli natomiast $\leq=\id_P$, to $(P,\leq)$ nazywamy \textit{antyłańcuchem}\index{antylzzzanzzzcuch@antyłańcuch}. \textit{Liniowym rozszerzeniem}\index{rozszerzenie liniowe} częściowego porządku $(P,\leq)$ nazywamy taki zbiór liniowo uporządkowany $P^*=(P,\leq^*)$, że $\leq\ \subseteq\ \leq^*$.
Jeśli $Q\subseteq P$, to relacja częściowego porządku $\leq$~na $P$~indukuje relację $\leq\!\big |_Q$ na zbiorze $Q$ w~oczywisty sposób: dla $q,q'\in Q$ zachodzi $q\leq\!\big |_Q q'$, o~ile $q\leq q'$. Para $(Q,\leq\!\big |_Q)$ jest częściowym porządkiem, zwanym \textit{podzbiorem częściowo uporządkowanym}\index{podzbiozzzr@podzbiór!czezzzszzzciowo uporzazzzdkowany@częściowo uporządkowany} porządku $(P,\leq)$. Mówimy, że $Q\subseteq P$ jest \textit{łańcuchem (antyłańcuchem) w~$P$}, o~ile $(Q,\leq\big |_Q)$ jest łańcuchem (antyłańcuchem). Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień, porządek $(Q,\leq\!\big |_Q)$ oznaczać będziemy przez $(Q,\leq)$.
\textit{Elementem maksymalnym}\index{element!maksymalny} w~podzbiorze $A\subseteq P$ nazywamy każdy element $a\in A$ o~tej własności, że nie istnieje element $b\in A$ taki, że $b>a$. Zbiór elementów maksymalnych w~zbiorze $A\subseteq P$~oznaczamy przez $\max(A)$\nomenclature[4e]{$\max(A)$}{zbiór elementów maksymalnych w~$A$, albo element największy w~tym zbiorze}. Dualnie definiujemy \textit{element minimalny}\index{element!minimalny} oraz zbiór $\min(A)$\nomenclature[4ea]{$\min(A)$}{zbiór elementów minimalnych w~$A$, albo element najmniejszy w~tym zbiorze}. \textit{Elementem największym}\index{element!najwiezzzkszy@największy} w~$A$ nazywamy taki element $a\in A$, że $a\geq b$ dla wszystkich $b\in A$. Dualnie definiujemy \textit{element najmniejszy}\index{element!najmniejszy}. Jeśli zbiór $A$~ma~element największy (najmniejszy), oznaczamy go tym samym co wyżej symbolem $\max(A)$ (odpowiednio $\min(A)$); jego właściwe znaczenie wynikać będzie z~kontekstu. \textit{Kresem górnym}\index{kres gozzzrny (dolny)@kres górny (dolny)} podzbioru $A\subseteq P$, oznaczanym przez $\sup(A)$,\nomenclature[4f]{$\sup(A)$}{kres górny zbioru $A$} nazywamy najmniejszy element zbioru $\{p\in P:p\geq a \text{ dla wszystkich } a\in A\}$, o~ile element taki istnieje. Dualnie definiujemy \textit{kres dolny} zbioru $A$, oznaczany przez $\inf(A)$\nomenclature[4fa]{$\inf(A)$}{kres dolny zbioru $A$}. Kresy górny i~dolny zbioru $\{p,q\}\subseteq P$ oznaczamy odpowiednio przez $p\lor q$ oraz~$p\land q$. \nomenclature[4g]{$p\lor q$}{kres górny zbioru dwuelementowego $\{p,q\}$}\nomenclature[4ga]{$p\land q$}{kres dolny zbioru dwuelementowego $\{p,q\}$}
Częściowy porządek $(P,\leq)$~nazywamy \textit{łańcuchowo zupełnym}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!lzzzanzzzcuchowo zupelzzzny@łańcuchowo zupełny}, o~ile dla każdego podzbioru liniowo uporządkowanego $C\subseteq P$ istnieją jego kresy $\sup(C)$ oraz $\inf(C)$.
Niech $(P,\leq_P),(Q,\leq_Q)$ będą częściowymi porządkami. Mówimy, że funkcja $f\colon P\to Q$ \textit{zachowuje porządek}\index{odwzorowanie!zachowujazzzce porzazzzdek@zachowujące porządek}, jeżeli dla wszystkich $p,p'\in P$ takich, że \mbox{$p\leq_P p'$}, zachodzi $f(p)\leq_Q f(p')$. \textit{Izomorfizmem} częściowych porządków nazywamy bijekcję $f\colon P\to Q$ zachowującą porządek i~taką, że funkcja do niej odwrotna $f^{-1}\colon Q\to P$ zachowuje porządek.
O~ile nie będzie to prowadziło do nieporozumień, częściowy porządek $(P,\leq)$ oznaczać będziemy odtąd krótko przez $P$. Relacje częściowego porządku na różnych zbiorach oznaczać będziemy tym samym symbolem $\leq$~(a~niekiedy również symbolami mu podobnymi, np.~$\sqsubseteq$, $\leq^*$).
\begin{lem}[{\cite[Proposition 4.1.6]{Schroder03}}]\label{retrakt_lanc_zup_jest_lanc_zup}
Jeżeli $P$~jest łańcuchowo zupełnym częściowym porządkiem, zaś $r\colon P\to Q$ jest zachowującą porządek retrakcją, to częściowy porządek $Q$~jest łańcuchowo zupełny.
\end{lem}
Niech $P$ będzie częściowym porządkiem, zaś $p\in P$ jego elementem. Przyjmujemy oznaczenia
\begin{align*}p\mathord{\downarrow}_P&=\{q\in P:q\leq p\},& p\mathord{\uparrow}_P&=\{q\in P:q\geq p\},\\ \hat{p}\mathord{\downarrow}_P&=p\mathord{\downarrow}_P\smallsetminus\{p\},& \hat{p}\mathord{\uparrow}_P&=p\mathord{\uparrow}_P\smallsetminus\{p\},\end{align*}
przy czym, o~ile nie będzie to prowadziło do niejednoznaczności, będziemy w~zapisie tych symboli pomijać $P$, tzn. pisać $p\mathord{\downarrow}$, $\hat{p}\mathord{\uparrow}$, itd.\nomenclature[4c]{$p\cofka\downarrow_P$}{zbiór elementów częściowego porządku $P$~mniejszych lub równych $p$}\nomenclature[4d]{$\hat{p}\cofka\downarrow_P$}{zbiór elementów częściowego porządku $P$~mniejszych od $p$}\nomenclature[4ca]{$p\cofka\uparrow_P$}{zbiór elementów częściowego porządku $P$~większych lub równych $p$}\nomenclature[4da]{$\hat{p}\cofka\uparrow_P$}{zbiór elementów częściowego porządku $P$~większych od $p$}
Niech $C=\{p_0,p_1,\ldots,p_n\}\subseteq P$ będzie niepustym, skończonym łańcuchem w~częściowym porządku $P$. Liczbę $n=\moc{C}-1$~nazywamy \textit{długością}\index{dlzzzugoszzzczzz lzzzancucha@długość łańcucha}\index{lzzzanzzzcuch@łańcuch!dlzzzugoszzzci n@długości $n$} łańcucha $C$. Mówimy, że częściowy porządek $P$~jest \textit{skończonej wysokości} \index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!skonzzzczonej wysokoszzzci@skończonej wysokości}, jeżeli istnieje $n\in\mN$ takie, że wszystkie łańcuchy w~$P$~mają długość równą co najwyżej $n$.
Mówimy, że $P$ jest częściowym porządkiem \textit{z gradacją}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!z gradacjazzz@z gradacją}, jeżeli dla każdego $p\in P$ wszystkie maksymalne (w sensie inkluzji) łańcuchy w~zbiorze $p\mathord{\downarrow}$ są skończone i~mają tę samą długość. Ogólniej, jeżeli istnieje (skończone) maksimum długości łańcuchów zawartych w~zbiorze $p\mathord{\downarrow}$, to nazywamy je \textit{rangą elementu $p$}\index{ranga!elementu czezzzszzzciowego porzazzzdku@elementu częściowego porządku}~i~oznaczamy symbolem $\rk(p)$\nomenclature[4o]{$\rk(p)$}{ranga elementu $p$~częściowego porządku}. Mówimy, że częściowy porządek $P$:\begin{compactitem}
\item[---] jest \textit{dobrze ufundowany}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!dobrze ufundowany}, jeżeli każdy niepusty podzbiór $A\subseteq P$ ma element minimalny;
\item[---] jest \textit{porządkiem z~rangą}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!z rangazzz@z rangą}, jeżeli dla każdego elementu $p\in P$ zdefiniowana jest jego ranga $\rk(p)$;
\item[---] ma \textit{skończone ideały główne}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!o skonzzzczonych idealzzzach glzzzozzzwnych@o skończonych ideałach głównych}, jeżeli dla każdego $p\in P$ zbiór $p\mathord{\downarrow}$ jest skończony.
\end{compactitem}
Zauważmy, że częściowy porządek $P$~jest dobrze ufundowany wtedy i~tylko wtedy, gdy nie zawiera \textit{nieskończonego łańcucha zstępującego}\index{lzzzanzzzcuch@łańcuch!nieskonzzzczony zstezzzpujazzzcy@nieskończony zstępujący}, czyli podzbioru izomorficznego ze~zbiorem ujemnych liczb całkowitych ze standardową relacją porządkującą. Jeżeli porządek $P$~ma skończone ideały główne, to jest porządkiem z~rangą, zaś każdy porządek z~rangą jest dobrze ufundowany. Dobrze ufundowany liniowy porządek nazywamy \textit{dobrym porządkiem}.\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!dobry}
Podzbiór $A$~liniowego porządku $P$~nazywamy jego \textit{odcinkiem początkowym}\index{odcinek poczazzztkowy@odcinek początkowy}, jeżeli $a\mathord{\downarrow}_{P}\subseteq A$ dla każdego $a\in A$.
Niech $(P,\leq_P),(Q,\leq_Q)$ będą częściowymi porządkami. Przez $P\oplus Q$\nomenclature[4i]{$P\oplus Q$}{suma leksykograficzna częściowych porządków $P$, $Q$} oznaczamy częściowy porządek $(P\sqcup Q,\leq)$, którego relacja porządkująca jest sumą \[\leq\ =\ \leq_P\ \cup\ \leq_Q\ \cup\ \{(p,q):p\in P, q\in Q\}.\] Innymi słowy, $a\leq b$ dla $a,b\in P\oplus Q$ wtedy, gdy oba elementy $a$, $b$ należą do któregoś ze zbiorów $P$, $Q$ oraz $a$~jest mniejsze lub równe $b$~w~tym zbiorze, lub gdy $a\in P$ oraz $b\in Q$. Porządek $P\oplus Q$ nazywamy \textit{sumą leksykograficzną}\index{suma leksykograficzna} porządków $P, Q$.
Element $p\in P$ nazywamy \textit{pokryciem górnym}\index{pokrycie gozzzrne (dolne)@pokrycie górne (dolne)} elementu $q\in P$ (zaś $q$ nazywamy \textit{pokryciem dolnym} $p$), jeżeli $p>q$ oraz nie istnieje $r\in P$ takie, że $p>r>q$. Piszemy wówczas $p\succ q$\nomenclature[4a]{$p\succ q$}{element $p$~jest pokryciem górnym elementu $q$} (lub $q\prec p$). Przez zapis $p\succeq q$\nomenclature[4b]{$p\succeq q$}{element $p$~jest pokryciem górnym elementu $q$~lub jest mu równy} (lub $q\preceq p$) rozumiemy, że $p\succ q$ lub $p=q$.
Przez $\mH(P)=(P,\succ)$\nomenclature[6h]{$\mH(P)$}{diagram Hassego częściowego porządku $P$} oznaczamy graf skierowany zwany \textit{diagramem Hassego}\index{diagram Hassego} częściowego porządku $P$. Rysując diagram Hassego przyjmuje się często konwencję, że elementy mniejsze w~porządku $P$~znajdują się niżej niż większe, co pozwala pominąć na rysunku groty strzałek oznaczające orientacje krawędzi. Przykładowy diagram Hassego, narysowany zgodnie z~tą zasadą, przedstawia rysunek \ref{fig-diagram_hassego}.
\begin{figure}[h]
\[\xymatrix{
& x_5\ar@{-}[d]\ar@{-}[ddl]\\
& x_3\ar@{-}[d]\ar@{-}[dr] & x_4\ar@{-}[d]\ar@{-}[dl]\\
x_0 & x_1 & x_2
}\]
\caption{Diagram Hassego częściowego porządku na zbiorze $\{x_0,\ldots,x_5\}$ zadanego przez $x_0<x_5$, $x_1<x_3$, $x_1<x_4$, $x_1<x_5$, $x_2<x_3$, $x_2<x_4$, $x_2<x_5$, $x_3<x_5$.}\label{fig-diagram_hassego}
\end{figure}
Jeśli zbiór częściowo uporządkowany $P$ nie zawiera podzbioru izomorficznego ze zbiorem~\mbox{$\mN\cup\{\infty\}$} ze standardowym porządkiem lub z~porządkiem do niego dualnym, to $P$ jest jednoznacznie wyznaczony przez swój diagram Hassego $\mH(P)$. Dla dowolnych częściowych porządków nie jest to jednak prawdą (np. dla $P=\mathbb{R}$ ze zwykłym porządkiem).
Graf skierowany $\Comp(P)=(P,\sim)$\nomenclature[6g]{$\Comp(P)$}{graf porównywalności częściowego porządku $P$} nazywamy \textit{grafem porównywalności}\index{graf!porozzzwnywalnoszzzci@porównywalności} częściowego porządku $P$. Ponieważ $\sim$ jest relacją symetryczną, $\Comp(P)$ możemy, wobec uwagi \ref{uw-o-utozsamieniu}, traktować jako graf prosty.
Porządek $P$~nazywamy \textit{spójnym}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!spozzzjny@spójny}, jeżeli graf $\Comp(P)$~jest spójny; w~oczywisty sposób definiujemy \textit{składowe spójności}\index{sklzzzadowa spozzzjnoszzzci@składowa spójności!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku} porządku $P$. Mówimy, że częściowy porządek $P$~jest \textit{lokalnie skończony}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!lokalnie skonzzzczony@lokalnie skończony}, o~ile graf $\Comp(P)$ jest lokalnie skończony.
Nieskończoną ścieżkę prostą w~grafie porównywalności $\Comp(P)$ częściowego porządku $P$~nazywamy \textit{promieniem}\index{promienzzz@promień!w czeszzzciowym porzazzzdku@w częściowym porządku} w~$P$. Jeżeli $P$~nie zawiera promienia, to mówimy, że jest częściowym porządkiem \textit{bez promieni}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!bez promieni} (por.~analogiczne definicje dla grafów~\cite{Schmidt83,Halin98}; pod inną nazwą porządki bez promieni rozważał wcześniej autor rozprawy \cite{Kukiela10,Kukiela10a}). Oczywiście, jeśli $P$~jest porządkiem bez promieni, to nie zawiera nieskończonego łańcucha.
\textit{Kratą}\index{krata} nazywamy taki częściowy porządek $L$, w~którym dla wszystkich elementów $p,q\in L$ istnieją kresy $p\lor q$ oraz $p\land q$. Wynika stąd, że w~kracie $L$ istnieją kresy $\sup(A)$ oraz $\inf(A)$ każdego skończonego, niepustego zbioru $A\subseteq L$. Kratę $L$~nazywamy \textit{zupełną}\index{krata!zupelzzzna@zupełna}, o~ile dla każdego podzbioru $A\subseteq L$ istnieją w~$L$~kresy $\sup(A)$ oraz $\inf(A)$.
\begin{lem}[{\cite[Proposition 5.1.7]{Schroder03}}]\label{lem-krata_bez_nsk_lancuchow_jest_zupelna}
Krata jest zupełna wtedy i~tylko wtedy, gdy jest łańcuchowo zupełna. W~szczególności, każda krata nie zawierająca nieskończonego łańcucha jest zupełna.
\end{lem}
Jeżeli krata $L$~ma element największy, który oznaczamy przez $\ltop_L$, to $L$ nazywamy \textit{kratą z~jedynką}\index{krata!z zerem i~jedynkazzz@z zerem i jedynką}. Element najmniejszy kraty $L$, o~ile istnieje, oznaczamy symbolem $\lbottom_L$ i~mówimy w~tej sytuacji, że $L$ jest \textit{kratą z~zerem}.\nomenclature[4h]{$\ltop_L$, $\lbottom_L$}{największy i~najmniejszy element kraty $L$} Zauważmy, że każda zupełna krata ma zero i~jedynkę.
Jeśli $L$~jest kratą z~zerem i~jedynką, to \textit{ściętą kratą}\index{krata!szzzciezzzta@ścięta} powstałą z~$L$~nazywamy częściowy porządek $\check{L}=L\smallsetminus\{\ltop_L,\lbottom_L\}$.
Mówimy, że element $p$~kraty $L$~z~zerem i~jedynką jest \textit{dopełnieniem}\index{dopelzzznienie elementu kraty@dopełnienie elementu kraty} elementu $q\in L$, jeżeli $p\lor q=\ltop_L$ oraz $p\land q=\lbottom_L$. Kratę $L$~z~zerem i~jedynką nazywamy \textit{kratą bez dopełnień}\index{krata!bez dopelzzznienzzz@bez dopełnień}, jeśli istnieje element $p\in \check{L}$, który nie ma dopełnienia w~$L$.
\textit{Podzbiorem początkowym}\index{podzbiozzzr@podzbiór!poczazzztkowy@początkowy} w~częściowym porządku $P$~nazywamy taki podzbiór $Q\subseteq P$, że dla każdego elementu $p\in P$~zbiór $p\mathord{\downarrow}\cap\ Q\not=\emptyset$. Dualnie definiujemy \textit{podzbiór końcowy}\index{podzbiozzzr@podzbiór!konzzzcowy@końcowy}. Mówimy, że krata $L$~z~zerem i~jedynką \textit{ma mocne dopełnienia}, jeśli dla każdego elementu $p\in\check{L}$, każdego podzbioru początkowego $Q\subseteq \check{L}$ i~każdego podzbioru końcowego $R\subseteq \check{L}$ istnieją skończone podzbiory $Q_p\subseteq Q$, $R_p\subseteq R$ takie, że $\sup(Q_p)$ oraz $\inf(R_p)$ są dopełnieniami elementu $p$. W~przeciwnym wypadku mówimy, że $L$~jest kratą \textit{bez mocnych dopełnień}\index{krata!bez mocnych dopelzzznienzzz@bez mocnych dopełnień}. Nietrudno spostrzec, że jeśli krata $L$~nie zawiera nieskończonego łańcucha, to ma mocne dopełnienia wtedy i~tylko wtedy, gdy dla każdego elementu $p\in\check{L}$ istnieje jego dopełnienie będące kresem górnym pewnego zbioru $Q_p\subseteq \min(\check{L})$ oraz dopełnienie będące kresem dolnym pewnego zbioru $R_p\subseteq \max(\check{L})$.
%===================================================================
%===================================================================
%===================================================================
\section{Topologia ogólna}\label{sec-top_ogolna}
\textbf{Do końca podrozdziału \ref{sec-top_ogolna} niech $X, Y$ oznaczają przestrzenie topologiczne.}
Symbolem $X \approx Y$\nomenclature[1j]{$X \approx Y$}{przestrzenie topologiczne $X, Y$ są homeomorficzne} oznaczamy istnienie homeomorfizmu pomiędzy przestrzeniami $X, Y$. Domknięcie i~wnętrze podzbioru $A\subseteq X$ oznaczamy odpowiednio przez $\overline{A}^X$\nomenclature[1p]{$\overline{A}$,\ \ $\overline{A}^{X}$}{domknięcie zbioru $A$ (w~przestrzeni topologicznej $X$)}~oraz $\Int_X(A)$\nomenclature[1q]{$\Int{A}$,\ \ $\Int_X{A}$}{wnętrze zbioru $A$ (w~przestrzeni topologicznej $X$)}; jeżeli z~kontekstu wynika, w~jakiej przestrzeni rozważamy operację domknięcia lub wnętrza, piszemy krótko $\overline{A}$, $\Int(A)$.
Przestrzeń topologiczną $X$~nazywamy \textit{łukowo spójną}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!lzzzukowo spozzzjna@łukowo spójna}, jeżeli dla każdej pary elementów $(x,y)\in X\times X$ istnieje ciągłe przekształcenie $f\colon \I\to X$ takie, że $f(0)=x$ oraz $f(1)=y$. Mówimy, że $X$~jest \textit{lokalnie łukowo spójna}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!lokalnie lzzzukowo spozzzjna@lokalnie łukowo spójna}, jeśli dla każdego elementu $x\in X$ i~każdego jego otwartego otoczenia $U\subseteq X$ istnieje otwarte otoczenie $V\subseteq U$ punktu $x$~będące przestrzenią łukowo spójną. \textit{Składową łukowej spójności}\index{sklzzzadowa lzzzukowej spozzzjnoszzzci@składowa łukowej spójności} przestrzeni $X$~nazywamy każdy maksymalny łukowo spójny podzbiór tej przestrzeni.
Przez \textit{zwartą}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!zwarta} przestrzeń topologiczną rozumiemy przestrzeń, której dowolne pokrycie otwarte zawiera skończone podpokrycie; nie zakładamy, że przestrzeń ta jest Hausdorffa. Mówimy, że przestrzeń $X$ jest \textit{$\sigma$-zwarta}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!sigma-zwarta@$\sigma$-zwarta}, o~ile $X$ jest sumą przeliczalnej rodziny swoich zwartych podzbiorów.
Mówimy, że podzbiór $A\subseteq X$ jest w~przestrzeni $X$:
\begin{compactitem}
\item[---]\textit{ograniczony}\index{podzbiozzzr@podzbiór!ograniczony@ograniczony}, gdy $\overline{A}^X$ jest zbiorem zwartym;
\item[---]\textit{nieograniczony}\index{podzbiozzzr@podzbiór!nieograniczony@nieograniczony}, o~ile nie jest on ograniczony w~$X$;
\item[---]\textit{koograniczony}\index{podzbiozzzr@podzbiór!koograniczony@koograniczony}, jeżeli jego dopełnienie $X\smallsetminus A$ jest zbiorem ograniczonym w~$X$.
\end{compactitem}
Przestrzeń $X$ nazywamy \textit{lokalnie zwartą}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!lokalnie zwarta@lokalnie zwarta}, jeżeli dla każdego $x\in X$ istnieje ograniczone w~$X$~otoczenie otwarte $U\subseteq X$ punktu $x$.
Mówimy, że ciągłe odwzorowanie $f\colon X\to Y$ jest \textit{zwarte}\index{odwzorowanie!zwarte}, jeżeli jego obraz $f(X)$~jest ograniczonym podzbiorem $Y$.
\textit{Continuum}\index{continuum}~to z~definicji zwarta, spójna przestrzeń topologiczna Hausdorffa; jeśli jest ona dodatkowo metryzowalna i~lokalnie spójna, nazywamy ją \textit{continuum Peano}\index{continuum!Peano}. \textit{Uogólnionym continuum}\index{continuum!uogozzzlnione@uogólnione} nazywamy spójną, lokalnie spójną, lokalnie zwartą, \mbox{$\sigma$-zwartą} przestrzeń Hausdorffa. Metryzowalne uogólnione continuum nazywamy \textit{uogólnionym\index{continuum!uogozzzlnione Peano@uogólnione Peano} continuum Peano}.
Ciąg $(C_i)_{\in\in\mN}$ zwartych podzbiorów przestrzeni~$X$ taki, że $C_i\subseteq \Int(C_{i+1})$ oraz $\bigcup_{i\in\mN} C_i=X$, nazywamy \textit{ciągiem wyczerpującym}\index{ciazzzg@ciąg!wyczerpujazzzcy przestrzenzzz topologicznazzz@wyczerpujący przestrzeń topologiczną}\footnote{ang. \textit{exhausting sequence}} przestrzeń $X$.
\begin{lem}[{\cite[p. 58]{Baues01}}]\label{lem-istnieje_ciag_wyczerpujacy}
Jeżeli $X$~jest uogólnionym continuum, to istnieje ciąg wyczerpujący przestrzeń $X$.
\end{lem}
\begin{lem}\label{lem-sigma_zwarta_kazdy_zwarty_w_wyczerpujacym}
Niech $(C_i)_{i\in\mN}$ będzie ciągiem wyczerpującym przestrzeń $X$, zaś $K\subseteq X$ zbiorem zwartym. Istnieje wówczas liczba $i_0\in\mN$ taka, że $K\subseteq C_{i_0}$.
\end{lem}
\begin{proof}
Rodzina $\{\Int(C_i)\}_{i\in\mN}$ jest otwartym pokryciem zbioru $K$. Wobec zwartości $K$~istnieje $i_0\in\mN$ takie, że $K\subseteq \bigcup_{i<i_0}\Int(C_i)$. Ale $\bigcup_{i<i_0}\Int(C_i)\subseteq C_{i_0}$, czyli $K\subseteq C_{i_0}$.
\end{proof}
\begin{comment}
\begin{lem}\label{lem-sigma_zwarta_jest_osrodkowa}
Jeżeli przestrzeń metryczna~jest $\sigma$-zwarta, to jest ośrodkowa.
\end{lem}
\begin{proof}
Każda $\sigma$-zwarta przestrzeń topologiczna ma własność Lindel{\"o}fa (tzn.~każde otwarte pokrycie tej przestrzeni zawiera przeliczalne podpokrycie). Metryzowalna przestrzeń Lindel{\"o}fa jest ośrodkowa.
\end{proof}
\end{comment}
\begin{lem}\label{lem-spojna_lok_zwarta_jest_sigma_zwarta}
Jeśli przestrzeń metryczna jest spójna i~lokalnie zwarta, to jest $\sigma$-zwarta.
\end{lem}
\begin{proof}
Zgodnie z~twierdzeniem Stone'a każda przestrzeń metryczna jest parazwarta \cite[Twierdzenie 5.1.3]{Engelking75}. Spójna, lokalnie zwarta, parazwarta przestrzeń Hausdorffa jest $\sigma$-zwarta \cite[Appendix A to Chapter 1]{Spivak99}.
\end{proof}
\begin{lem}[{\cite[Lemma 9.5]{Baues01}}]\label{lem-malo_nieogr_skl}
Niech $X$~będzie uogólnionym continuum, zaś $C\subseteq X$ jego zwartym podzbiorem. Wówczas liczba składowych spójności zbioru $X\smallsetminus C$ będących nieograniczonymi podzbiorami w~$X$~jest skończona.
\end{lem}
\begin{lem}[{\cite[Theorem 3-9]{Hocking61}}]\label{lem-hocking-young-lok-spojnosc}
Niech $X$~będzie spójną, lokalnie spójną i~lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas dla każdego zwartego podzbioru $C\subseteq X$ i~każdego otwartego podzbioru $U\subseteq X$~zawierającego $C$~wszystkie, z~wyjątkiem skończonej liczby, składowe spójności zbioru $X\smallsetminus C$ są zawarte w~$U$.
\end{lem}
\begin{lem}\label{lem-dorzucanie_skladowych_a_zwartosc}
Niech $X$~będzie uogólnionym continuum, zaś $C\subseteq X$ jego zwartym podzbiorem. Wówczas zwarty jest również zbiór \[C'=C\cup\bigcup\{S:S\text{ jest ograniczoną w } X \text{ składową spójności zbioru } X\smallsetminus C\}.\]
\end{lem}
\begin{proof}
Na podstawie lematów \ref{lem-istnieje_ciag_wyczerpujacy}, \ref{lem-sigma_zwarta_kazdy_zwarty_w_wyczerpujacym} istnieje zwarty podzbiór $K\subseteq X$~taki, że $C\subseteq \Int(K)$. Wobec lematu \ref{lem-hocking-young-lok-spojnosc} wszystkie, z~wyjątkiem skończonej liczby, składowe spójności zbioru $X\smallsetminus C$ są zawarte w~$\Int(K)$. Zbiór \[K'=K\cup \bigcup\{\overline{S}:S\text{ jest ograniczoną w } X \text{ składową spójności zbioru } X\smallsetminus C\}\] jest zatem zwarty, jako skończona suma zbiorów zwartych. Zbiór $C'$~zawiera się w~$K'$ i~jest domknięty, jest więc zwarty.
\end{proof}
\index{funkcja|see{odwzorowanie}}
\index{przekształcenie|see{odwzorowanie}}
Ciągłą funkcję $f\colon X\to Y$ nazywamy \textit{właściwą}\index{odwzorowanie!wlzzzaszzzciwe@właściwe}, o ile dla każdego zwartego podzbioru $C\subseteq Y$ jego przeciwobraz $f^{-1}(C)$ jest zwarty.
Ośrodkową przestrzeń metryczną $X$ nazywamy \textit{metrycznym \mbox{ANR-em}}\footnote{Skrót ANR pochodzi od ang.~\textit{absolute neighbourhood retract}.}\index{ANR}, lub po prostu \textit{\mbox{ANR-em}}, jeżeli dla każdej przestrzeni metrycznej $Y$ i każdego włożenia $j\colon X\hookrightarrow Y$ takiego, że $j(X)$ jest domkniętym podzbiorem $Y$, istnieje zbiór otwarty $U\subseteq Y$ o~tej własności, że $j(X)$ jest retraktem $U$.
\begin{stw}[{\cite[Theorem IV.11.3.4]{Granas03}}]\label{stw-anr_lok_spojny}
Metryczny ANR jest przestrzenią lokalnie ściągalną.
\end{stw}
Ponieważ lokalna ściągalność implikuje lokalną spójność, wobec lematu \ref{lem-spojna_lok_zwarta_jest_sigma_zwarta} oraz stwierdzenia \ref{stw-anr_lok_spojny} lokalnie zwarty, spójny, metryczny ANR jest uogólnionym continuum Peano.\label{ANR_jest_continuum}
\textit{Uzwarceniem}\index{uzwarcenie} przestrzeni topologicznej $X$ nazywamy włożenie $i\colon X\hookrightarrow Y$ tej przestrzeni na gęsty podzbiór $i(X)$ zwartej przestrzeni $Y$.
(Zazwyczaj w~oznaczeniach pomijać będziemy włożenie $i$, mówiąc po prostu, że $Y$~jest uzwarceniem przestrzeni $X$, zaś $X$~utożsamiając z~podzbiorem $i(X)$ przestrzeni $Y$.)
Mówimy, że dwa uzwarcenia $i\colon X\hookrightarrow Y$ oraz $i'\colon X\hookrightarrow Y'$ tej samej przestrzeni $X$~są \textit{izomorficzne}\index{uzwarcenie!izomorfizm uzwarcenzzz@izomorfizm uzwarceń}, o~ile istnieje homeomorfizm $h\colon Y\to Y'$ taki, że $h\circ i=i'$.
Jeśli $X$~jest niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, to jej \textit{jednopunktowym uzwarceniem Aleksandrowa}\index{uzwarcenie!Aleksandrowa (jednopunktowe)} nazywamy zbiór $X^\infty=X\cup\{\infty^X\}$\nomenclature[1t]{$X^\infty$}{uzwarcenie jednopunktowe Aleksandrowa lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa $X$}, gdzie $\infty^X$~jest punktem nie należącym do $X$, z~topologią zadaną poprzez następującą bazę zbiorów otwartych:
\[\bigl\{U:U\subseteq X \text{ jest otwarty}\bigr \}\cup \left\{(X\smallsetminus K)\cup \left\{\infty^X\right\}:K\subseteq X\text{ jest zwarty}\right\}.\]
\begin{lem}[{\cite[Twierdzenie 3.5.11]{Engelking75}}]\label{lem-iloraz_homeomorficzny_jednopunktowemu}
Jeśli $X$~jest niezwartą, lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, zaś $i\colon X\to Y$ jest jej uzwarceniem, to przestrzeń ilorazowa $Y\big/ (Y\smallsetminus i(X))$ jest uzwarceniem izomorficznym uzwarceniu $X^\infty$.
\end{lem}
Dla przestrzeni topologicznych $X,Y$ oraz podzbiorów $A\subseteq X, B\subseteq Y$ przez $[A,B]$ oznaczamy zbiór tych ciągłych przekształceń $f\colon X\to Y$, które spełniają warunek $f(A)\subseteq B$. Symbolem $\Cont(X,Y)$\nomenclature[1r]{$\Cont(X,Y)$}{przestrzeń ciągłych przekształceń $X$~w~$Y$ z~topologią zwarto-otwartą} oznaczmy \textit{przestrzeń ciągłych odwzorowań}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!ciazzzglzzzych odwzorowanzzz@ciągłych odwzorowań} przestrzeni $X$~w~$Y$~z~\textit{topologią zwarto-otwartą}\index{topologia zwarto-otwarta}, generowaną przez następującą podbazę zbiorów otwartych: \[\left\{[K,U]:K\text{ jest zwarty w } X, U\text{ jest otwarty w }Y\right\}.\]
\textit{Promieniem}\index{promienzzz@promień!w przestrzeni topologicznej@w przestrzeni topologicznej} w~przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy jej domknięty podzbiór $A\subseteq X$ taki, że $A\approx [0,\infty)$. Jeżeli nie istnieje promień w~$X$, to mówimy, że $X$~jest przestrzenią \textit{bez promieni}.\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!bez promieni@bez promieni}
%===================================================================
%===================================================================
%===================================================================
\section{Topologia algebraiczna}
Zakładamy, że Czytelnik zna podstawowe pojęcia i~fakty związane z~pojęciem homotopii oraz funktorami grup homotopii, homologii singularnych i~symplicjalnych. Dobre źródło informacji na ten temat stanowi np.~książka Spaniera \cite{Spanier81}, na której w~dużej mierze opiera się niniejszy podrozdział.
Niech $(X,A), (Y,B)$ będą parami przestrzeni topologicznych. Istnienie homotopii pomiędzy ciągłymi odwzorowaniami $f, g\colon (X,A)\to (Y,B)$ względem podzbioru $A\subseteq X$ oznaczamy symbolem $f \simeq g\ \operatorname{rel} A$\nomenclature[1l]{$f \simeq g\ \operatorname{rel} A$}{odwzorowania $f,g$ są homotopijne względem zbioru $A$}\index{homotopia!wzglezzzdem zbioru@względem zbioru}; przez $(X,A)\simeq (Y,B)$\nomenclature[1k]{$(X,A)\cofka\simeq\cofka(Y,B)$}{pary przestrzeni topologicznych $(X,A), (Y,B)$ są homotopijnie równoważne}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność}\index{rozzzwnowazzzznoszzzczzz@równoważność!homotopijna|see{homotopijna równoważność}} oznaczamy fakt, że pary przestrzeni topologicznych $(X,A), (Y,B)$ są homotopijnie równoważne. Jeżeli $A=\emptyset$, to parę $(X,A)$ oznaczamy krótko przez $X$. Dla homotopii $H\colon X\times \I\to Y$ oraz $t\in \I$ przez $H_t\colon X\to Y$ oznaczamy odwzorowanie zadane dla $x\in X$ wzorem $H_t(x)=H(x,t)$.
Niech $A$~będzie podzbiorem przestrzeni topologicznej $X$, zaś $i\colon A\hookrightarrow X$ włożeniem. Mówimy, że odwzorowanie $r\colon X\to A$ jest \textit{mocną retrakcją deformacyjną}\index{retrakcja!mocna deformacyjna}, o~ile $r$~jest retrakcją oraz $i\circ r\simeq \id_X\ \operatorname{rel} A$.
\textit{Zawieszeniem}\index{zawieszenie} przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy przestrzeń \[\Sigma X=X\times \I\big/\sim,\]\nomenclature[1s]{$\Sigma X$}{zawieszenie przestrzeni topologicznej $X$}gdzie $\sim$~jest najmniejszą relacją równoważności na $X\times \I$ taką, że $(x,0)\sim (y,0)$ oraz $(x,1)\sim (y,1)$ dla wszystkich $x,y\in X$.
Dla liczb naturalnych $n\geq 1$ symbolem $\pi_n$\nomenclature[1yd]{$\pi_n$}{funktor $n$-tej grupy homotopii} oznaczamy funktor $n$-tej grupy homotopii, działający z~kategorii przestrzeni topologicznych z~punktem wyróżnionym w~kategorię grup; symbol $\pi_0$ oznacza natomiast funktor przyporządkowujący przestrzeni topologicznej zbiór jej składowych łukowej spójności.
Ciągłe odwzorowanie przestrzeni topologicznych $f\colon X\to Y$ nazywamy \textit{słabą homotopijną równoważnością}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność!slzzzaba@słaba}, jeżeli $\pi_0(f)\colon \pi_0(X)\to \pi_0(Y)$ jest bijekcją oraz dla każdego punktu $x_0\in X$ i~każdej liczby naturalnej $n\geq 1$ homomorfizm $\pi_n(f)\colon \pi_n(X,x_0)\to \pi_n(Y,f(x_0))$ jest izomorfizmem.
\begin{comment}
Niech $R$~będzie pierścieniem z~jedynką. \textit{Kompleksem łańcuchowym nad $R$}\index{kompleks lzzzanzzzcuchowy@kompleks łańcuchowy} nazywamy ciąg $C_*=(C_i,\partial_i)_{i\in\mZ}$ taki, że $C_i$~jest $R$-modułem, $\partial_{i}\colon C_{i}\to C_{i-1}$ jest homomorfizmem $R$-modułów oraz $\partial_{i+1}\circ \partial_i=0$ dla każdego $i\in\mZ$. Zazwyczaj rozpatrywać będziemy kompleksy łańcuchowe o~tej własności, że $C_i=0$ dla $i<0$; pisać będziemy wówczas $C_*=(C_i,\partial_i)_{i\in\mN}$. \textit{Odwzorowaniem łańcuchowym}\index{odwzorowanie!lzzzanzzzcuchowe@łańcuchowe} między kompleksami łańcuchowymi $C_*=\left(C_i,\partial^C_i\right)_{i\in\mN}$, $D_*=\left(D_i,\partial^D_i\right)_{i\in\mN}$ nad tym samym pierścieniem $R$~nazywamy ciąg $f_*=\left(f_i\colon C_i\to D_i\right)_{i\in\mN}$ homomorfizmów $R$-modułów taki, że $f_i\circ \partial^C_{i+1}=\partial_{i+1}^D\circ f_{i+1}$ dla wszystkich $i\in\mN$. Mówimy, że kompleksy łańcuchowe $C_*, D_*$ są \textit{łańcuchowo homotopijnie równoważne}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność!lzzzanzzzcuchowa@łańcuchowa}, jeśli istnieją odwzorowania łańcuchowe $f_*\colon C_*\to D_*$, $g_*\colon D_*\to C_*$ (zwane \textit{łańcuchowymi homotopijnymi równoważnościami}) oraz dla każdego $i\in \mN$ istnieją homomorfizmy $R$-modułów $\phi_{i,i+1}\colon C_{i}\to C_{i+1}$, $\psi_{i,i+1}\colon D_{i}\to D_{i+1}$ takie, że \begin{align*}
(g_i\circ f_i)-\id_{C_i}&=\left(\partial_{i+1}^C\circ \phi_{i,i+1}\right)+\left(\phi_{i-1,i}\circ \partial_i^C\right),\\
(f_i\circ g_i)-\id_{D_i}&=\left(\partial_{i+1}^D\circ \psi_{i,i+1}\right)+\left(\psi_{i-1,i}\circ \partial_i^D\right)
\end{align*}
dla wszystkich $i\in\mN$.
\end{comment}
Symbolem $H_n$\nomenclature[1ya]{$H_*$}{funktor homologii singularnych lub symplicjalnych, zazwyczaj o~współczynnikach wymiernych lub całkowitoliczbowych} oznaczamy, dla $n\in\mN$,\index{homologie} funktor $n$-tej grupy homologii singularnych (w~zależności od kontekstu o~współczynnikach w~pierścieniu liczb całkowitych bądź w~ciele liczb wymiernych, chyba że wyraźnie będzie zaznaczone inaczej), działający z~kategorii par przestrzeni topologicznych w~kategorię grup abelowych (bądź przestrzeni wektorowych, o~ile rozpatrujemy homologie o~współczynnikach w~ciele). Tego samego symbolu używamy do oznaczenia funktora homologii symplicjalnych oraz funktora homologii określonego na kategorii kompleksów łańcuchowych.
\begin{comment}
Przez $\tilde{H}_n$\nomenclature[funktor-grup-homologii-zredukowanych]{$\tilde{H}_n$}{funktor $n$-tej grupy zredukowanych homologii singularnych lub symplicjalnych}\index{funktor!homologii!zredukowanych} oznaczamy homologie zredukowane.
\end{comment}
Dla $i\in \mN$ przez $\beta_i(X)$\nomenclature[1y]{$\beta_i(X)$}{$i$-ta liczba Bettiego przestrzeni topologicznej $X$} oznaczamy $i$-tą liczbę Bettiego przestrzeni $X$\index{liczba!Bettiego}. Symbolem $\chi(X)$ oznaczamy charakterystykę Eulera przestrzeni topologicznej $X$, o~ile jest ona określona.\index{charakterystyka Eulera}
\begin{comment}
Będziemy niekiedy korzystać z~faktu, że zredukowane homologie singularne $\tilde{H}_n(\emptyset)=0$ dla wszystkich $n\geq 0$ oraz $\tilde{H}_{-1}(\emptyset)=\mathbb{Z}$.
\end{comment}
\begin{comment}
\begin{lem}[{\cite[Theorem 4.1.7]{Spanier81}}]\label{lem-homologie_przemienne_z_kogranicami}
Funktor homologii określony na kategorii kompleksów łańcuchowych jest przemienny ze skierowanymi~granicami prostymi.
\end{lem}
\end{comment}
Jeśli $A$~jest domkniętym podzbiorem przestrzeni topologicznej $X$, to włożenie $A\hookrightarrow X$ nazywamy \textit{korozwłóknieniem}\index{korozwlzzzozzzknienie@korozwłóknienie}, o~ile dla każdej przestrzeni topologicznej $Z$, każdego ciągłego odwzorowania $g\colon X\to Z$ i~każdej homotopii $h\colon A\times \I\to Z$ o~tej własności, że $h_0=g\big|_A$, istnieje homotopia $H\colon X\times \I\to Z$ taka, że $H_0=g$ oraz $H\big|_{A\times \I}=h$.
\begin{lem}[{\cite[Corollary 7.15]{Kozlov08}}]\label{lem-wlozenie_hom_rown_to_retrakcja_sdr}
Jeżeli $A$~jest domkniętym podzbiorem przestrzeni topologicznej $X$~o~tej własności, że włożenie $i\colon A\hookrightarrow X$ jest korozwłóknieniem i~homotopijną równoważnością, to $A$~jest mocnym retraktem deformacyjnym $X$.
\end{lem}
\begin{stw}[{\cite[Corollary IV.11.6.6]{Granas03}}]\label{stw-domkniety_podzbior_anr_jest_korozwloknieniem}
Niech $A,X$ będą ANR-ami takimi, że $A$~jest domkniętym podzbiorem $X$. Wówczas włożenie $A\hookrightarrow X$ jest korozwłóknieniem.
\end{stw}
\begin{stw}[{\cite[Proposition 2.22]{Hatcher02}}]\label{stw-homologie_ilorazu}
Niech $A$~będzie domkniętym podzbiorem przestrzeni topologicznej $X$ takim, że włożenie $A\hookrightarrow X$ jest korozwłóknieniem. Istnieje wówczas naturalny izomorfizm $H_*(X,A)\cong {H}_*(X\big/A,\{A\})$ (gdzie $\{A\}\subseteq X\big/A$ jest obrazem zbioru $A$~poprzez odwzorowanie ilorazowe $X\to X\big/A$).
\end{stw}
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{CW kompleksy}
Przestrzeń topologiczną $X$~nazywamy \textit{CW kompleksem}\index{CW kompleks}, jeśli można ją przedstawić w postaci sumy
\[X=\bigcup_{n\in\mN}\bigcup_{i\in I_n} \sigma^{(n)}_{i}\]
rozłącznych zbiorów $\sigma^{(n)}_i$, zwanych $n$-wymiarowymi \textit{komórkami}\index{komozzzrka CW kompleksu@komórka CW kompleksu}, gdzie $I_n$, $n\in \mN$, są rozłącznymi zbiorami indeksów, oraz dla każdej liczby $n\in \mN$ i~każdego indeksu $i\in I_n$ istnieje odwzorowanie $\phi_i\colon \D^n \rightarrow X$, zwane \textit{odwzorowaniem charakterystycznym}\index{odwzorowanie!charakterystyczne komozzzrki CW kompleksu@charakterystyczne komórki CW kompleksu} komórki $\sigma_i^{(n)}$ takie, że spełnione są następujące warunki:
\begin{compactitem}
\item[---] $\phi_i(\Int(\D^n))=\sigma^{(n)}_i$ oraz odwzorowanie $\phi_i\big|_{\Int(\D^n)}\colon \Int(\D^n)\to \sigma^{(n)}_i$ jest homeomorfizmem;
\item[---] zbiór $\overline{\sigma}^{(n)}_i\smallsetminus \sigma^{(n)}_i$, gdzie $\overline{\sigma}^{(n)}_i$ oznacza domknięcie zbioru $\sigma^{(n)}_i$ w~$X$, zawiera się w~sumie skończonej liczby komórek niższego wymiaru;
\item[---] podzbiór $A$~jest domknięty w~$X$~wtedy i~tylko wtedy, gdy dla wszystkich $m\in\mN$, $j\in I_m$ zbiór $\phi_j^{-1}(A)$ jest domknięty w~$\D^m$.
\end{compactitem}
Zależnie od kontekstu przez CW kompleks rozumieć będziemy albo samą przestrzeń topologiczną $X$, albo przestrzeń $X$~wraz z~ustalonym podziałem na komórki oraz rodziną odwzorowań charakterystycznych (tzn.~ze \textit{strukturą komórkową}\index{struktura komozzzrkowa@struktura komórkowa} na przestrzeni~$X$).
CW kompleks $X$~nazywamy \textit{regularnym}\index{CW kompleks!regularny}, jeżeli dla każdej komórki tego kompleksu jej odwzorowanie charakterystyczne jest homeomorfizmem na obraz.
Jeżeli $\sigma,\sigma'$ są komórkami CW kompleksu $X$~oraz $\sigma'\subseteq \overline{\sigma}$, to mówimy, że $\sigma'$~jest \textit{ścianą}\index{szzzciana@ściana!komozzzrki CW kompleksu@komórki CW kompleksu XXX} komórki $\sigma$; jeżeli dodatkowo $\sigma\not=\sigma'$, to ścianę tę nazywamy właściwą.
\begin{lem}[{\cite[Theorem 1.2]{Forman98}}]\label{lem-miedzy_komorkami_leza_dwie_komorki}
Niech $\rho,\sigma,\tau$ będą komórkami regularnego CW kompleksu $X$~takimi, że $\rho$~jest właściwą ścianą $\sigma$~oraz $\sigma$~jest właściwą ścianą $\tau$. Wówczas istnieje komórka $\sigma'\not=\sigma$ tego kompleksu taka, że $\rho$~jest właściwą ścianą $\sigma'$ oraz $\sigma'$~jest właściwą ścianą $\tau$.
\end{lem}
Mówimy, że regularny CW kompleks jest \textit{lokalnie skończony}\index{CW kompleks!regularny!lokalnie skonzzzczony@lokalnie skończony}, jeżeli każda jego komórka jest ścianą co najwyżej skończenie wielu innych komórek tego kompleksu.
\textit{Podkompleksem}\index{podkompleks!CW kompleksu} CW kompleksu $X$~nazywamy taki CW kompleks $Y$, że $Y$~jest domkniętym podzbiorem $X$~oraz zbiory komórek i~odwzorowań charakterystycznych CW kompleksu $Y$~zawierają się w~odpowiadających im zbiorach pochodzących ze struktury komórkowej kompleksu $X$.
\begin{lem}[{\cite[Proposition A.1]{Hatcher02}}]\label{lem-cw_zwarty_podzbior_w_skonczonym_podkompleksie}
Niech $X$~będzie CW kompleksem. Jeżeli podzbiór $A\subseteq X$ jest zwarty, to istnieje podkompleks $Y\subseteq X$ o~skończonej liczbie komórek i~taki, że $A\subseteq Y$.
\end{lem}
Dla $n\in \mN$ \textit{szkieletem $n$-wymiarowym}\index{szkielet n-wymiarowy@szkielet $n$-wymiarowy} CW kompleksu $X$~nazywamy następujący jego podkompleks: \[X^{(n)}=\bigcup_{k\leq n}\bigcup_{i\in I_k}\sigma^{(k)}_i.\]\nomenclature[2i]{$X^{(n)}$}{szkielet $n$-wymiarowy CW kompleksu $X$}Przez \textit{wymiar}\index{wymiar!CW kompleksu} CW kompleksu $X$~rozumiemy liczbę \[\dim(X)=\min\bigl\{n\in\mN:X=X^{(n)}\bigr\},\]\nomenclature[2ia]{$\dim(X)$}{wymiar CW kompleksu (lub kompleksu symplicjalnego) $X$} o~ile to minimum istnieje; w~przeciwnym wypadku przyjmujemy $\dim(X)=\infty$.
Ciągłe odwzorowanie CW kompleksów $f\colon X\to Y$ nazywamy \textit{komórkowym}\index{odwzorowanie!komozzzrkowe@komórkowe}, jeśli $f\bigl(X^{(n)}\bigr)\subseteq Y^{(n)}$ dla każdej liczby naturalnej $n$.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 4.8]{Hatcher02}}]\label{tw-o_aproksymacji_komorkowej}
Niech $X,Y$ będą CW kompleksami, $A\subseteq X$ podkompleksem $X$, zaś $f'\colon X\to Y$ ciągłym odwzorowaniem o~tej własności, że przekształcenie $f'\big |_{A}\colon A\to Y$ jest komórkowe. Wówczas istnieje komórkowe odwzorowanie $f\colon X\to Y$ takie, że $f\simeq f' \operatorname{rel} A$.
\end{tw}
Niech $(X,A)$, $(Y,B)$ będą parami przestrzeni topologicznych, zaś $f\colon B\to A$ ciągłym odwzorowaniem. Mówimy, że $X$~powstaje z~$A$~poprzez \textit{doklejenie}\index{doklejanie} przestrzeni $Y$~wzdłuż odwzorowania $f$, co zapisujemy symbolicznie $X=A\cup_{f} Y$, jeżeli $X=A\sqcup Y\big/\!\sim$, gdzie $\sim$~jest najmniejszą relacją równoważności na $A\sqcup Y$~taką, że $y\sim f(y)$ dla wszystkich $y\in B$. Nadużywając nieco notacji będziemy również pisać $X=A\cup_{f} Y$ w~sytuacji, gdy istnieje homeomorfizm $h\colon X\to A\sqcup Y\big/\!\sim$ taki, że $h(a)=[a]_\sim$ dla wszystkich $a\in A$.
Jeśli w~powyższej sytuacji para $(Y,B)$~jest, dla pewnej liczby $n\in\mN$ oraz pewnego (być może pustego) zbioru indeksów $I$, postaci $(Y,B)=\coprod_{i\in I}\left(\D^n,\S^{n-1}\right)$, to mówimy, że $X$~powstaje z~$A$~przez doklejenie rodziny $n$-wymiarowych komórek.
Pojęcie doklejania komórek pozwala podać następującą charakteryzację CW kompleksów.
\begin{stw}[{\cite[Appendix]{Hatcher02}}]
Przestrzeń topologiczna $X$~jest CW kompleksem wtedy i~tylko wtedy, gdy istnieje wstępujący ciąg $\bigl(X^{(n)}\bigr)_{n\in\mN}$ jej domkniętych podprzestrzeni o~następujących własnościach:
\begin{compactitem}
\item[---] $X=\bigcup_{n\in\mN} X^{(n)}$;
\item[---] $X^{(0)}$ jest przestrzenią dyskretną;
\item[---] dla każdej liczby $n\geq 1$ przestrzeń $X^{(n)}$ powstaje z~przestrzeni $X^{(n-1)}$ przez doklejenie rodziny $n$-wymiarowych komórek;
\item[---] podzbiór $A\subseteq X$ jest domknięty wtedy i~tylko wtedy, gdy zbiór $A\cap X^{(n)}$ jest domknięty w~$X^{(n)}$ dla każdego $n\in\mN$.
\end{compactitem}
\end{stw}
W~kategorii CW kompleksów i~ich ciągłych odwzorowań pojęcia homotopijnej równoważności oraz słabej homotopijnej równoważności są równoważne, o~czym mówi następujące twierdzenie J.H.C.~Whiteheada.
\begin{tw}[{\cite[Corollary 7.6.24]{Spanier81}}]\label{tw-twierdzenie_whiteheada}
Jeżeli $X,Y$ są CW kompleksami, to ciągłe odwzorowanie $X\to Y$ jest homotopijną równoważnością wtedy i~tylko wtedy, gdy jest słabą homotopijną równoważnością.
\end{tw}
Następujące, ważne twierdzenie Westa \cite{West77} potwierdziło postawioną w~1954 przez K.~Borsuka hipotezę.
\begin{tw}[{\cite[Corollary 5.3]{West77}}]\label{tw-westa}
Jeżeli $X$~jest zwartym ANR-em, to przestrzeń $X$~jest homotopijnie równoważna pewnemu zwartemu CW kompleksowi.
\end{tw}
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Kompleksy symplicjalne}
\textit{Kompleksem symplicjalnym}\index{kompleks symplicjalny} nazywamy parę $K=(V,S)$, gdzie $V$~jest pewnym zbiorem, zwanym \textit{zbiorem wierzchołków}\index{zbiozzzr@zbiór!wierzcholzzzkozzzw@wierzchołków!kompleksu symplicjalnego} kompleksu $K$, zaś $S$~rodziną niepustych, skończonych podzbiorów $V$, zwaną \textit{zbiorem sympleksów}\index{zbiozzzr@zbiór!sympleksozzzw kompleksu symplicjalnego@sympleksów kompleksu symplicjalnego} kompleksu $K$, o~następujących własnościach:
\begin{compactitem}
\item[---] $\{v\}\in S$ dla wszystkich $v\in V$;
\item[---] jeśli $\sigma\not=\emptyset$, $\sigma\subseteq \tau$ oraz~$\tau\in S$, to $\sigma\in S$.
\end{compactitem}
Sympleksy $\sigma\in S$ kompleksu symplicjalnego $K$~nazywamy również \textit{ścianami}\index{szzzciana@ściana!kompleksu symplicjalnego} tego kompleksu. Ponadto, jeżeli $\sigma\in S$ oraz $\rho\subseteq \sigma$, to $\rho$~nazywamy \textit{ścianą sympleksu}\index{szzzciana@ściana!sympleksu} $\sigma$.
Zauważmy, że w~przyjętej definicji kompleksu symplicjalnego zbiór wierzchołków jest w~zasadzie nadmiarowy, gdyż wyznacza go w~sposób jednoznaczny zbiór sympleksów; uwzględniamy go w~definicji dla wygody.
\textit{Podkompleksem}\index{podkompleks!kompleksu symplicjalnego} kompleksu symplicjalnego $K=(V,S)$ nazywamy każdy kompleks symplicjalny $L=(W,T)$ taki, że $W\subseteq V$ oraz $T\subseteq S$. Jeżeli dodatkowo $T=\{\sigma\in S:\sigma\subseteq W\}$, to podkompleks $L$~nazywamy \textit{pełnym}\index{podkompleks!kompleksu symplicjalnego!pelzzzny@pełny} podkompleksem $K$~rozpiętym na zbiorze wierzchołków $W$, co zapisujemy symbolicznie $L=K\big|_W$\nomenclature[2a]{$K\big\pion_W$}{pełny podkompleks kompleksu symplicjalnego $K$~rozpięty na zbiorze wierzchołków $W$}.
Jeżeli $K=(V,S)$~jest kompleksem symplicjalnym, zaś $\sigma\in S$ jego sympleksem, to przez \textit{wymiar sympleksu}\index{wymiar!sympleksu} $\sigma$~rozumiemy liczbę naturalną $\dim(\sigma)=\moc{\sigma}+1$\nomenclature[2ib]{$\dim(\sigma)$}{wymiar sympleksu $\sigma$}. \textit{Wymiarem kompleksu symplicjalnego}\index{wymiar!kompleksu symplicjalnego} $K$~nazywamy liczbę\nomenclature[2iax]{$\dim(X)$}{wymiar kompleksu symplicjalnego XXX do CW wymiaru } \[\dim(K)=\sup\{\dim(\sigma):\sigma\in S\}.\]
\textit{Odwzorowaniem symplicjalnym}\index{odwzorowanie!symplicjalne} między kompleksami symplicjalnymi $K=(V,S)$ oraz $L=(W,T)$ nazywamy funkcję $\varphi\colon V\to W$ o~tej własności, że $\varphi(\sigma)\in T$ dla każdego sympleksu $\sigma\in S$.
Niekiedy pomijać będziemy w~zapisie zbiory wierzchołków i~sympleksów, używając symboli $v\in K$, $\sigma\in K$, $\varphi\colon K\to L$ do oznaczenia odpowiednio przynależności wierzchołka $v$~do zbioru wierzchołków kompleksu $K$, przynależności sympleksu $\sigma$ do zbioru sympleksów kompleksu $K$ oraz odwzorowania symplicjalnego z~$K$~do $L$.
Dla kompleksów symplicjalnych $K=(V,S)$, $L=(W,T)$, podzbioru $A\subseteq V$ oraz sympleksu $\sigma\in K$ definiujemy następujące kompleksy symplicjalne:
\begin{compactitem}
\item[---] $\lk_K(\sigma)$\nomenclature[2d]{$\lk_K(\sigma)$}{złącze sympleksu $\sigma$~w~kompleksie symplicjalnym $K$} jest podkompleksem $K$, zwanym \textit{złączem}\index{zlzzzazzzcze sympleksu@złącze sympleksu} $\sigma$ w~$K$, wyznaczonym przez rodzinę sympleksów \[\{\tau\in S: \sigma\not\subseteq\tau \text{ oraz } \tau\cup\sigma\in S\};\]
\item[---] $\st_K(\sigma)$\nomenclature[2e]{$\st_K(\sigma)$}{gwiazda sympleksu $\sigma$~w~kompleksie symplicjalnym $K$} jest podkompleksem $K$, zwanym \textit{gwiazdą}\index{gwiazda sympleksu} $\sigma$ w~$K$, wyznaczonym przez rodzinę sympleksów \[\{\tau\in S: \tau\cup\sigma\in S\};\]
\item[---] $K-A=K\big|_{V\smallsetminus A}$;\nomenclature[2b]{$K-A$}{pełny podkompleks kompleksu symplicjalnego $K$~indukowany na dopełnieniu podzbioru $A$~zbioru wierzchołków tego kompleksu}
\item[---] $K\cup L=(V\cup W, S\cup T)$;\nomenclature[2f]{$K\cup L$}{suma kompleksów symplicjalnych $K$ oraz $L$}
\item[---] $K\cap L=(V\cap L, S\cap T)$.\nomenclature[2g]{$K\cap L$}{część wspólna kompleksów symplicjalnych $K$ oraz $L$}
\end{compactitem}
Ponadto, jeżeli $v$~jest wierzchołkiem kompleksu $K$, stosujemy skrócone oznaczenia: $\lk_K(v)=\lk_K(\{v\})$, $\st_K(v)=\st_K(\{v\})$ oraz $K-v=K-\{v\}$.
Mówimy, że kompleks symplicjalny $K$~jest \textit{lokalnie skończony}\index{kompleks symplicjalny!lokalnie skonzzzczony@lokalnie skończony}, o~ile dla każdego wierzchołka $v\in K$ zbiór sympleksów $\{\sigma\in K:v\in\sigma\}$ jest skończony.
Niech $K=(V,S)$~będzie kompleksem symplicjalnym. Rozważmy zbiór
\[\underline{K}=\left\{\alpha\colon V\to \I: \{v\in K:\alpha(v)\not=0\}\in S \text{ oraz } \sum_{v\in K}\alpha(v)=1\right\}.\]
Na zbiorze tym istnieje metryka, zadana dla $\alpha,\beta\in \underline{K}$ wzorem \[d(\alpha,\beta)=\sqrt{\sum_{v\in K}\bigl(\alpha(v)-\beta(v)\bigr)^2}.\]
Jeżeli $\sigma\in K$, to rozważać możemy \textit{domknięty sympleks}\index{sympleks!domkniezzzty@domknięty}\nomenclature[2hb]{$\pion\sigma\pion$}{sympleks domknięty} \[|\sigma|=\left\{\alpha\in\underline{K}:\{v\in V:\alpha(v)\not=0\}\subseteq \sigma\right\}\] z~topologią indukowaną przez powyższą metrykę. Jest on homeomorficzny ze standardowym, $\dim(\sigma)$-wymiarowym sympleksem domkniętym\index{sympleks!domkniezzzty@domknięty!standardowy} \[\Delta^{\dim(\sigma)}=\left\{\left(x_0,\ldots,x_{\dim(\sigma)}\right)\in \I^{\dim(\sigma)+1}: \sum_{i=0}^{\dim(\sigma)}x_i=1\right\}.\]\nomenclature[0h]{$\Delta^n$}{$n$-wymiarowy, standardowy sympleks domknięty}Przez \textit{realizację geometryczną}\index{realizacja geometryczna} $|K|$\nomenclature[2h]{$\pion K\pion$, $\pion\phi\pion$}{realizacja geometryczna kompleksu symplicjalnego $K$~i~odwzorowania symplicjalnego $\phi$}~kompleksu symplicjalnego $K$~rozumiemy zbiór $\underline{K}$~z~topologią zadaną w~ten sposób, że podzbiór $A\subseteq\underline{K}$ jest domknięty wtedy i~tylko wtedy, gdy $A\cap |\sigma|$ jest zbiorem domkniętym dla każdego sympleksu $\sigma\in K$. (Jeżeli kompleks $K$~nie jest lokalnie skończony, topologia ta różni się od indukowanej przez metrykę $d$. Odwzorowanie identycznościowe $|K|\to \underline{K}$, gdzie przez $\underline{K}$~rozumiemy przestrzeń z~topologią indukowaną przez metrykę, jest jednak zawsze homotopijną równoważnością.)
Niech $\phi\colon K\to L$ będzie odwzorowaniem symplicjalnym. Funkcję ciągłą $|\phi|\colon |K|\to |L|$, zwaną \textit{realizacją geometryczną odwzorowania} $\phi$, określamy dla $\alpha\in |K|$ oraz wierzchołka $w\in L$ przyjmując: \[|\phi|(\alpha)(w)=\sum_{v\in\phi^{-1}(w)}\alpha(v).\]
Przyporządkowanie $|\cdot|$ nazywamy funktorem \textit{realizacji geometrycznej}, działającym z~kategorii kompleksów i~odwzorowań symplicjalnych w~kategorię przestrzeni topologicznych i~przekształceń ciągłych.
Jeśli nie będzie to prowadziło do nieporozumień, będziemy czasem oznaczać realizację geometryczną kompleksu (lub odwzorowania) symplicjalnego tym samym symbolem, co ten kompleks (lub odwzorowanie), tzn.~pomijać w~zapisie symbol funktora realizacji geometrycznej $|\cdot|$.
Jeżeli $K$~jest kompleksem symplicjalnym, zaś $\sigma\in K$ jego sympleksem, określić możemy \textit{otwarty sympleks}\index{sympleks!otwarty}\nomenclature[2hb]{$(\sigma)$}{sympleks otwarty} \[(\sigma)=\bigl\{\alpha\in |K|:\{v\in V:\alpha(v)\not=0\}=\sigma\bigr\}.\]Jest on homeomorficzny ze standardowym, $\dim(\sigma)$-wymiarowym sympleksem otwartym\index{sympleks!otwarty!standardowy}, tj.~ze zbiorem \[\left\{\left(x_0,\ldots,x_{\dim(\sigma)}\right)\in (0,1]^{\dim(\sigma)+1}: \sum_{i=0}^{\dim(\sigma)}x_i=1\right\},\]
a~zatem również z~otwartym dyskiem $\Int\bigl(\D^{\dim(\sigma)}\bigr)$. Nietrudno spostrzec, iż na realizacji geometrycznej kompleksu symplicjalnego $K$~istnieje struktura regularnego CW kompleksu, którego komórkami są otwarte sympleksy $K$. Ponadto, sympleks $\sigma\in K$ jest ścianą sympleksu $\tau\in K$ wtedy i~tylko wtedy, gdy komórka $(\sigma)$ regularnego CW kompleksu $|K|$ jest ścianą komórki $(\tau)$ tego CW kompleksu.
\textit{Triangulacją}\index{triangulacja} przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy parę $(K,h)$ składającą się z~kompleksu symplicjalnego $K$~oraz homeomorfizmu $h\colon |K|\to X$; na ogół pomijać będziemy homeomorfizm $h$, mówiąc krótko, że kompleks symplicjalny $K$~jest triangulacją $X$. Jeżeli istnieje triangulacja~$X$, to przestrzeń tę nazywamy \textit{wielościanem}\index{wieloszzzcian@wielościan}. Każdy lokalnie zwarty wielościan jest metrycznym ANR-em.
Jeśli $K=(V,S)$~jest kompleksem symplicjalnym, to zbiór częściowo uporządkowany $\mP(K)=(S,\subseteq)$ nazywamy \textit{uporządkowanym zbiorem ścian} kompleksu symplicjalnego $K$ (lub po prostu \textit{stowarzyszonym z~$K$~częściowym porządkiem}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!stowarzyszony z!kompleksem symplicjalnym}). Jeżeli $\varphi\colon K\to L$ jest odwzorowaniem symplicjalnym, to funkcja $\mP(\varphi)\colon \mP(K)\to \mP(L)$ zadana dla $\sigma\in \mP(K)$ wzorem $\mP(\varphi)(\sigma)=\varphi(\sigma)$ jest odwzorowaniem zachowującym porządek. Przyporządkowanie $\mP$ z~kategorii kompleksów symplicjalnych i~odwzorowań symplicjalnych w~kategorię częściowych porządków i~odwzorowań zachowujących porządek jest funktorialne.\nomenclature[6e]{$\mP$}{funktor uporządkowanego zbioru ścian}
Niech $X$~będzie CW kompleksem. Przez $\mP(X)$ oznaczmy zbiór komórek tego kompleksu uporządkowany przez relację bycia ścianą. Zauważmy, że $\mP(X)$ jest częściowym porządkiem z~gradacją, o~skończonych ideałach głównych. Jeśli $K$~jest kompleksem symplicjalnym, to częściowy porządek $\mP(|K|)$, gdzie $|K|$~traktujemy jako regularny CW kompleks ze strukturą wyznaczoną przez kompleks symplicjalny $K$, jest izomorficzny z~porządkiem $\mP(K)$.
Załóżmy, że $(P,\leq)$~jest częściowym porządkiem. Kompleks symplicjalny \[\mK(P)=\bigl(P,\{C\subseteq P:C\text{ jest niepustym, skończonym łańcuchem}\}\bigr),\] nazywamy \textit{kompleksem symplicjalnym skończonych łańcuchów w~$P$} (lub po prostu \textit{stowarzyszonym z~$P$~kompleksem symplicjalnym}\index{kompleks symplicjalny!stowarzyszony z czezzzszzzciowym porzazzzdkiem@stowarzyszony z częściowym porządkiem}). Dla odwzorowania $f\colon P\to Q$ zachowującego porządek przez $\mK(f)\colon \mK(P)\to \mK(Q)$ oznaczamy odwzorowanie symplicjalne zadane na wierzchołkach $p\in P$ wzorem $\mK(f)(p)=f(p)$. Przyporządkowanie $\mK$\nomenclature[6c]{$\mK$}{funktor kompleksu symplicjalnego stowarzyszonego z~częściowym porządkiem} z~kategorii częściowych porządków w~kategorię kompleksów symplicjalnych jest funktorialne.
Jeśli $X$~jest regularnym CW kompleksem (w~tym, gdy $X=|K|$~dla pewnego kompleksu symplicjalnego $K$), to kompleks symplicjalny $\mK(\mP(X))$ nazywamy \textit{podziałem barycentrycznym $X$}\index{podzialzzz barycentryczny@podział barycentryczny}. Przestrzeń $|\mK(\mP(X))|$ oraz regularny CW kompleks $X$~są homeomorficzne \cite[Proposition 5.3.8]{Geoghegan08}.
Jeżeli $K$~jest kompleksem symplicjalnym, to homeomorfizm $|\mK(\mP(K))|\approx |K|$ opisać można prostym wzorem (podając go opieramy się na książce Kozlova \cite{Kozlov08}). Dla dowolnego elementu $\alpha\in |\mK(\mP(K))|$ istnieją sympleksy \[\sigma_n\subsetneq \sigma_{n-1}\subsetneq \ldots \subsetneq \sigma_0=\{v_0,\ldots,v_m\}\] kompleksu $K$~takie, że $\alpha(\sigma_i)\not=0$ dla $i=1,\ldots,n$, oraz $\alpha(\sigma)=0$ dla wszystkich $\sigma\in \mP(K)\smallsetminus\{\sigma_i\}_{i=1}^{n}$. Dla $i=0,\ldots,m$ niech $k_i=\max\{0\leq k\leq n: v_i\in \sigma_k\}$. Określmy odwzorowanie $h_K\colon |\mK(\mP(K))|\to |K|$, dla wierzchołka $v\in K$ przyjmując \[h_K(\alpha)(v)=\begin{cases}\sum_{i=0}^{k_j}\frac{\alpha(v_i)}{|\sigma_i|}\ , & \text{jeżeli } v=v_j \text{ dla pewnego } 0\leq j\leq m,\\
0 & \text{w przeciwnym wypadku.}\end{cases}\]
Przekształcenie $h_K$~jest homeomorfizmem. Ponadto dla dowolnego odwzorowania symplicjalnego $\phi\colon K\to L$ kwadrat
\begin{equation}\xymatrix@C=2.2cm{|\mK(\mP(K))|\ar[d]^{h_K}\ar[r]^{|\mK(\mP(\phi))|} & |\mK(\mP(L))|\ar[d]^{h_L}\\ |K|\ar[r]^{|\phi|} & |L|}\label{kwadrat_o_realizacji_geom}\end{equation}
jest, co nietrudno sprawdzić, przemienny. Przestrzenie $|\mK(\mP(K))|$ oraz $|K|$ będziemy ze sobą utożsamiać.
Korzystając z~funktora $\mcK$~możemy określić \textit{homologie zbioru częściowo uporządkowanego}\index{homologie!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku} $P$~jako symplicjalne homologie stowarzyszonego z~nim kompleksu symplicjalnego: $H_*(P)=H_*(\mK(P))$.
\begin{lem}\label{lem-porządek_bez_promieni_wtw_podzial_barycentryczny}
Częściowy porządek $P$~zawiera promień wtedy i~tylko wtedy, gdy $\mP(\mK(P))$ zawiera promień.
\end{lem}
\begin{proof}
Ustalmy częściowy porządek $P$. Jeżeli $(p_i)_{i\in\mN}$ jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(P)$, to ciąg \[\left(\{p_0\},\{p_0,p_1\},\{p_1\},\{p_1,p_2\},\{p_2\},\ldots\right)\] jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(\mP(\mK(P)))$.
Z~drugiej strony, załóżmy, że $(C_i)_{i\in\mN}$ jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(\mP(\mK(P)))$; każdy z~elementów tej ścieżki jest skończonym, niepustym łańcuchem w~$P$. Dla każdej liczby $n\in \mN$ zdefiniujemy indukcyjnie nieskończoną ścieżkę $\left(C_i^n\right)_{i\in\mN}$ w~grafie~$\Comp(\mP(\mK(P)))$, jednocześnie wybierając elementy $c_n\in P$, które utworzą nieskończoną ścieżkę prostą w~$\Comp(P)$.
Dla $i\in\mN$ niech $C_i^0=C_i$. Ustalmy $n\geq 1$~i~załóżmy, że określona jest nieskończona ścieżka $\bigl(C_i^{n-1}\bigr)_{i\in\mN}$ w~grafie $\Comp(P)$ o~tej własności, że \[\moc{\left\{j\in\mN:C_i^{n-1}=C_j^{n-1}\right\}}\leq 2^{n-1}\] dla każdego $i\in \mN$. Wybierzmy dowolny element $c_{n-1}\in C_0^{n-1}$. Jeżeli zbiór \[\left\{i\in \mN:C_i^{n-1}=\{c_{n-1}\}\right\}\] (z~założenia indukcyjnego co najwyżej $(2^{n-1})$-elementowy) jest niepusty, niech $i_n$~oznacza jego największy element; w~przeciwnym wypadku $i_n=-1$. (Zauważmy, że w~każdym przypadku $c_{n-1}\in C^{n-1}_{i_n+1}$.) Dla $i\in\mN$ przyjmujemy $C_i^n=C^{n-1}_{i_n+1+i}\smallsetminus\{c_{n-1}\}$.
Jest jasne, że $C_i^n\not=\emptyset$ dla każdego $i\in\mN$, oraz że $(C_i^n)_{i\in\mN}$~jest nieskończoną ścieżką w~$\mP(\mK(P))$, w~której każdy z~elementów powtarza się co najwyżej $2^n$ razy.
Ciąg $(c_n)_{n\in\mN}$ jest oczywiście różnowartościowy. Ustalmy $n\geq 1$. Jak zauważyliśmy, $c_{n-1}\in C^{n-1}_{i_n+1}$. Z~definicji $c_{n}\in C^{n}_0=C^{n-1}_{i_n+1}\smallsetminus\{c_{n-1}\}$. Ponieważ zbiór $C^{n-1}_{i_n+1}$~jest łańcuchem w~$P$, elementy $c_{n-1}$, $c_{n}$ są porównywalne w~$P$. Wobec tego $(c_i)_{i\in\mN}$ jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(P)$.
\end{proof}
\begin{stw}\label{stw-porzadek_bez_promieni_wtw_kompleks_symplicjalny}
Częściowy porządek $P$~jest bez promieni wtedy i~tylko wtedy, gdy $|\mK(P)|$ jest przestrzenią topologiczną bez promieni.
\end{stw}
\begin{proof}
Ustalmy częściowy porządek $P$. Jeżeli $(p_i)_{i\in\mN}$ jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(P)$, to \[\left(\{p_i\}_{i\in\mN},\ \big\{\{p_0\},\{p_0,p_1\},\{p_1\},\{p_1,p_2\},\ldots\big\}\right)\] jest podkompleksem $\mK(P)$, którego realizacja geometryczna jest domkniętym podzbiorem $|\mK(P)|$~homeomorficznym z~półprostą $[0,\infty)$.
Załóżmy, że istnieje domknięty podzbiór $R\subseteq |\mK(P)|$ oraz homeomorfizm $h\colon [0,\infty)\to R$. Niech $t_0=0$, zaś $\sigma_0\in K$ niech oznacza jedyny sympleks o~tej własności, że $h(t_0)\in (\sigma_0)$. Ustalmy $n>0$ i~załóżmy, że $t_j\in\mathbb{R}$ oraz $\sigma_j\in K$ są ustalone dla wszystkich $j< n$ w~ten sposób, że $(\sigma_j)_{j<n}$ jest ścieżką prostą w~$\Comp(\mP(\mK(P)))$ oraz $h\bigl((t_j,\infty)\bigr)\cap |\sigma_i|=\emptyset$ dla wszystkich $i<j<n$. Niech \[t_n=\sup\{t\in [0,\infty):h(t)\in |\sigma_{n-1}|\}.\] Ponieważ $|\sigma_{n-1}|$~jest zbiorem zwartym, jego część wspólna ze zbiorem domkniętym $R$~jest zwarta. Przeciwobraz $h^{-1}(|\sigma_{n-1}|\cap R)\subseteq [0,\infty)$ jest zatem zwarty, a~więc domknięty i~ograniczony. Wobec tego $t_n<\infty$ oraz $h(t_n)\in |\sigma_{n-1}|$. Niech $\tau\in K$~oznacza jedyny sympleks taki, że $h(t_n)\in (\tau)$. Jeśli $\tau\subsetneq \sigma_{n-1}$ (co~intuicyjnie oznacza, że promień $R$~opuszcza w~momencie $t_n$~sympleks domknięty $|\sigma_{n-1}|$ przez ścianę niższego wymiaru), przyjmujemy $\sigma_n=\tau$. W~przeciwnym wypadku (tzn.~gdy promień w~momencie $t_n$~przechodzi z~$|\sigma_{n-1}|$ do sympleksu wyższego wymiaru) za $\sigma_{n}$ przyjmujemy którykolwiek z~sympleksów $K$~o~tej własności, że $h\bigl((t_n,\infty)\bigr)\cap (\sigma_n)\not=\emptyset$ oraz $\sigma_{n-1}\subsetneq \sigma_{n}$.
Ciąg $(\sigma_n)_{n\in\mN}$ jest nieskończoną ścieżką prostą w~$\Comp(\mP(\mK(P)))$. Na podstawie lematu \ref{lem-porządek_bez_promieni_wtw_podzial_barycentryczny} częściowy porządek $P$~zawiera promień.
\end{proof}
Mówimy, że kompleks symplicjalny $K$~jest \textit{bez promieni}\index{kompleks symplicjalny!bez promieni}, o~ile jego realizacja geometryczna $|K|$~jest przestrzenią topologiczną bez promieni. Korzystając ze stwierdzenia \ref{stw-porzadek_bez_promieni_wtw_kompleks_symplicjalny} nietrudno jest wykazać, że warunek ten jest równoważny brakowi promieni w~częściowym porządku $\mP(K)$.
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Lematy o typie homotopijnym}
\begin{lem}[{\cite[Theorem 7.5.7]{Brown06}}]\label{lem-gluing_lemma_for_adjunction_spaces}
Niech będzie dany przemienny diagram przestrzeni topologicznych i~ich ciągłych odwzorowań
\[
\xymatrix@!{
A \ar[rr]\ar[dd]_{i} & & B\ar'[d][dd]
\\
& C \ar@{<-}[ul]_{\phi_0}\ar[rr]\ar[dd]_(.35){j} & & D \ar@{<-}[ul]_{\phi_1}\ar[dd]
\\
X \ar'[r][rr] & & Q
\\
& Y \ar[rr]\ar@{<-}[ul]^{\phi_2} & & R \ar@{<-}[ul]_{\phi}
}
\]
taki, że $i\colon A\to X$, $j\colon C\to Y$ są korozwłóknieniami, oraz w~którym przedni i~tylny kwadrat są kokartezjańskie\footnote{Używając anglojęzycznej terminologii powiedzielibyśmy, że są one \textit{pushoutami}.}. Jeżeli $\phi_0,\phi_1,\phi_2$ są homotopijnymi równoważnościami, to również odwzorowanie $\phi\colon Q\to R$ wyznaczone (z~własności uniwersalności) przez funkcje $\phi_0,\phi_1,\phi_2$ jest homotopijną równoważnością.
\end{lem}
\begin{lem}[{\cite[Theorem 11.11]{Kozlov08}, por. \cite[Lemmata 3.6, 3.7]{Milnor63}}]\label{lem-doklejanie_komorek_po_homotopijnych_odwzorowaniach}
Niech $X_1,X_2$ będą przestrzeniami topologicznymi, $h\colon X_1\to X_2$ homotopijną równoważnością, $k$~dodatnią liczbą naturalną, zaś $f_1\colon \S^{k-1}\to X_1$, $f_2\colon \S^{k-1}\to X_2$ ciągłymi przekształceniami. Jeżeli istnieje homotopia $H\colon \S^{k-1}\times I\to X_2$ pomiędzy odwzorowaniami $h\circ f_1$ oraz $f_2$, to istnieje homotopijna równoważność $g\colon X_1\cup_{f_1}\D^{k}\to X_2\cup_{f_2}\D^k$ taka, że $g\big |_{X_1}=h$.
\end{lem}
\begin{lem}\label{lem-cw-kompleks-po-doklejeniu}
Jeśli $X$ jest CW kompleksem, $k>0$ liczbą naturalną, zaś $f'\colon \S^{k-1}\to X$ ciągłym przekształceniem, to istnieją odwzorowanie $f\colon \S^{k-1}\to X$ takie, że $f\bigl(\S^{k-1}\bigr)\subseteq X^{(k-1)}$, oraz homotopijna równoważność $g\colon X\cup_{f} \D^k \to X\cup_{f'} \D^k$ o~tej własności, że $g\big |_X=\id_X$. Ponadto przestrzeń $X\cup_{f} \D^k$ jest CW kompleksem.
\end{lem}
\begin{proof}
Szukane odwzorowanie $f$~niech będzie aproksymacją komórkową (patrz twierdzenie \ref{tw-o_aproksymacji_komorkowej}) funkcji $f'$. Tezę otrzymujemy przyjmując w~lemacie \ref{lem-doklejanie_komorek_po_homotopijnych_odwzorowaniach}: \[X_1=X_2=X,\quad h=\id_{X},\quad f_1=f,\quad f_2=f'.\qedhere\]
\end{proof}
\begin{lem}[{\cite[Lemma 3.4]{Barmak13}}]\label{lem-barmak_two_subcomplexes_lemma}
Jeżeli $K_1$, $K_2$ są ściągalnymi kompleksami symplicjalnymi, to kompleks symplicjalny $K_1\cup K_2$~jest homotopijnie równoważny zawieszeniu $\Sigma(K_1\cap K_2)$.
\end{lem}
\begin{lem}[{\cite[Lemma 2.11]{Minian12}}]\label{lem-punkt_posetu_ma_sciagalny_link_to_sdr_do_kompleksu_bez_tego_punktu}
Niech $P$~będzie częściowym porządkiem oraz niech $p\in P$. Jeżeli co najmniej jeden z~kompleksów symplicjalnych $\mK(\hat{p}\mathord{\downarrow})$, $\mK(\hat{p}\mathord{\uparrow})$ jest ściągalny, to włożenie $\mK(P\smallsetminus \{p\})\hookrightarrow \mK(P)$ jest homotopijną równoważnością.
\end{lem}
\begin{lem} %YYY czy to skads mozna zacytowac?
\label{lem-ciag_wstepujacy_homotopijnych_rownowaznosci_cw_kompleksow}
Niech $\alpha$~będzie liczbą porządkową oraz dla $i\in\{0,1\}$ niech $X^i$~będzie CW~kompleksem, natomiast~$\bigl(X^i_\phi\bigr)_{\phi<\alpha}$ pozaskończonym ciągiem wstępującym jego podkompleksów o~tej własności, że $\bigcup_{\phi<\alpha}X^i_\phi=X^i$. Jeśli $\bigl(f_\phi\colon X^0_\phi\to X^1_\phi\bigr)_{\phi<\alpha}$ jest pozaskończonym ciągiem homotopijnych równoważności oraz $f_{\psi}\subseteq f_{\phi}$ dla wszystkich liczb porządkowych $\psi\leq \phi<\alpha$, to funkcja $f=\bigcup_{\phi<\alpha}f_\phi\colon X^0\to X^1$ jest homotopijną równoważnością.
\end{lem}
\begin{proof}
Wykażemy, że $f$~jest słabą homotopijną równoważnością, co wobec twierdzenia Whiteheada \ref{tw-twierdzenie_whiteheada} zakończy dowód.
Ustalmy $k\in\mN$ oraz $x_0\in X^0$. Niech $[p]\in\pi_k\bigl(X^0,x_0\bigr)$ będzie klasą abstrakcji odwzorowania $p\colon \S^k\to X^0$. Zauważmy, że $p\bigl(\S^k\bigr)$ jest zbiorem zwartym, a~zatem $p\bigl(\S^k\bigr)\subseteq X^0_{\phi_0}$ dla pewnej liczby porządkowej $\phi_0<\alpha$ na podstawie lematu \ref{lem-cw_zwarty_podzbior_w_skonczonym_podkompleksie}. Przypuśćmy, że $\pi_k(f)([p])=0$, to znaczy istnieje homotopia $H\colon \S^k\times \I\to X^1$ pomiędzy odwzorowaniem $f\circ p\colon \S^k\to X^1$ a~funkcją stałą $\S^k\to X^1$ równą $f(x_0)$, zachowująca punkt wyróżniony $f(x_0)$. Ponieważ zbiór $H\bigl(\S^k\times \I\bigr)$ jest zwarty, $H\bigl(\S^k\times \I\bigr)\subseteq X^1_{\phi_1}$ dla pewnej liczby porządkowej $\phi_1<\alpha$ na podstawie lematu \ref{lem-cw_zwarty_podzbior_w_skonczonym_podkompleksie}. Niech $\phi=\max(\phi_0,\phi_1)$. Odwzorowanie $f_\phi\colon X^0_\phi\to X^1_\phi$ jest z~założenia homotopijną równoważnością. Z~wyboru $\phi$ mamy $\pi_k\bigl(f_\phi\bigr)([p])=0$. Stąd $[p]=0$ w~$\pi_k\bigl(X^0_\phi,x_0\bigr)$, czyli $p\colon \S^k\to X^{0}_\phi$~jest homotopijne z~odwzorowaniem stałym w~$X^0_\phi\subseteq X^0$. Ale to oznacza, że $[p]=0$ również w~$\pi_k\bigl(X^0,x_0\bigr)$. Homomorfizm $\pi_k(f)$ jest zatem różnowartościowy.
Ustalmy teraz $[q]\in\pi_k\bigl(X^1,f(x_0)\bigr)$. Obraz odwzorowania $q\colon \S^k\to X^1$ jest, wobec lematu \ref{lem-cw_zwarty_podzbior_w_skonczonym_podkompleksie}, zawarty w~$X^1_\psi$ dla pewnej liczby porządkowej $\psi<\alpha$. Ponieważ homomorfizm $\pi_k\bigl(f_\psi\bigr)\colon \pi_k\bigl(X^0_\psi,x_0\bigr)\to \pi_k\bigl(X^1_\psi,f_\psi(x_0)\bigr)$ jest izomorfizmem, istnieje ciągłe przekształcenie $\tilde{q}\colon \S^k\to X^0_\psi$ takie, że $[f_\psi\circ \tilde{q}]=[q]$ w~grupie $\pi_k\bigl(X^1_\psi,f_\psi(x_0)\bigr)$, a~zatem również w~$\pi_k\bigl(X^1,f(x_0)\bigr)$. Homomorfizm $\pi_k(f)\colon \pi_k\bigl(X^0,x_0\bigr)\to \pi_k\bigl(X^1,f(x_0)\bigr)$ jest więc surjekcją.
Wobec~dowolności wyboru punktu $x_0\in X^0$~oraz liczby $k\in\mN$~odwzorowanie $f$~jest słabą homotopijną równoważnością.
\end{proof}
\begin{lem} %YYY czy to skads mozna zacytowac? czy lepiej ogólniej?
\label{lem-o_nieskonczonym_skladaniu_homotopijnych_rownowaznosci}
Niech $\alpha$~będzie liczbą porządkową, zaś $(X_\phi)_{\phi\leq \alpha}$ pozaskończonym ciągiem wstępującym podkompleksów pewnego CW kompleksu~$X$, mającym tę własność, że $X_\psi=\bigcup_{\phi<\psi}X_\phi$ dla każdej granicznej liczby porządkowej $\psi\leq\alpha$. Jeśli wszystkie włożenia $i_{\phi,\phi+1}\colon X_\phi\hookrightarrow X_{\phi+1}$, $\phi<\alpha$, są homotopijnymi równoważnościami, to dla wszystkich liczb porządkowych $\phi_0\leq\phi_1\leq \alpha$ włożenie $i_{\phi_0,\phi_1}\colon X_{\phi_0}\hookrightarrow X_{\phi_1}$ jest homotopijną równoważnością.
\end{lem}
\begin{proof}
Wystarczy udowodnić lemat dla $\phi_0=0$.
Wykażemy stosując indukcję pozaskończoną, że włożenie $i_{0,\phi}\colon X_0\hookrightarrow X_{\phi}$ jest homotopijną równoważnością dla każdej liczby porządkowej $\phi\leq \alpha$. Oczywiście jest tak, gdy $\phi=0$. Ustalmy $0<\phi\leq \alpha$ i~załóżmy, że włożenia $i_{0,\psi}\colon X_0\hookrightarrow X_{\psi}$ są homotopijnymi równoważnościami dla wszystkich $\psi<\phi$.
Jeśli $\phi$~jest następnikiem, $\phi=\psi+1$, to $i_{0,\phi}=i_{\psi,\psi+1}\circ i_{0,\psi}$~jest homotopijną równoważnością jako złożenie homotopijnych równoważności.
Jeżeli natomiast $\phi$~jest graniczną liczbą porządkową, przyjmijmy \[Y^0=X_0,\quad Y^1=X_{\phi},\quad Y^0_\psi=X_0,\quad Y^1_\psi=X_{\psi}\] dla wszystkich $\psi\leq\phi$. Na podstawie lematu \ref{lem-ciag_wstepujacy_homotopijnych_rownowaznosci_cw_kompleksow}, zastosowanego do kompleksów $Y^0,Y^1$, ciągów ich podkompleksów $\bigl(Y^0_\psi\bigr)_{\psi\leq \phi}$, $\bigl(Y^1_\psi\bigr)_{\psi\leq\phi}$ oraz ciągu włożeń $(i_{0,\psi})_{\psi\leq\phi}$, włożenie $X_0\hookrightarrow X_{\phi}$ jest homotopijną równoważnością.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Prosty typ homotopijny}
Niech $X$~będzie regularnym CW kompleksem, zaś $Y$~jego podkompleksem. Mówimy, że $Y$~powstaje z~$X$~przez \textit{elementarne zgniecenie}, co zapisujemy symbolicznie $X\elcoll Y$\nomenclature[7a]{$X\elcoll Y$}{podkompleks $Y$~powstaje z~regularnego CW kompleksu $X$~przez elementarne zgniecenie }, jeżeli istnieją komórki $\sigma$,~$\tau$~kompleksu $X$~takie, że:
\begin{compactitem}
\item[---] $\mP(Y)=\mP(X)\smallsetminus \{\sigma, \tau\}$;
\item[---] $\sigma$~jest właściwą ścianą $\tau$;
\item[---] $\sigma$~nie jest właściwą ścianą żadnej innej niż $\tau$~komórki CW kompleksu $X$.
\end{compactitem}
Jeżeli istnieje skończony ciąg $(X_i)_{i=0}^{n}$ regularnych CW kompleksów taki, że $X_i\elcoll X_{i+1}$ dla wszystkich $i=0,\ldots,n-1$, to mówimy, że CW kompleks $X_0$~jest \textit{zgniatalny do podkompleksu $X_n$}\index{CW kompleks!regularny!zgniatalny}\index{zgniecenie}, co oznaczamy za pomocą symbolu $X_0\searrow X_n$.\nomenclature[7b]{$X\searrow Y$}{regularny CW kompleks $X$~jest zgniatalny do podkompleksu $Y$} Jeśli ponadto $X_n$~składa się z~pojedynczej, $0$-wymiarowej komórki, mówimy że regularny CW kompleks $X_0$~jest \textit{zgniatalny} i~piszemy $X_0\searrow *$.\nomenclature[7c]{$X\searrow *$}{regularny CW kompleks $X$~jest zgniatalny (do punktu)}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=80mm]{img/elementary-collapse.eps}
\caption{Elementarne zgniecenie.}\label{fig-elementary-collapse}
\end{figure}
Nietrudno spostrzec (zob.~rysunek \ref{fig-elementary-collapse}), że jeżeli $X\elcoll Y$, to $Y$~jest mocnym retraktem deformacyjnym $X$; co więcej, jeśli $\mP(Y)=\mP(X)\smallsetminus \{\sigma,\tau\}$, gdzie $\sigma$~jest właściwą ścianą $\tau$, to mocną retrakcję deformacyjną $r\colon X\to Y$ można wybrać w~ten sposób\label{mocna_retr_def_przy_el_zgnieceniu_ze_jest_fajna}, że \[r(\sigma\cup\tau)\subseteq \bigcup\{\rho\in \mP(Y):\rho \text{ jest ścianą } \tau \text{ w } X\}.\]
Mówimy, że regularne CW kompleksy $X$, $Y$ mają ten sam \textit{prosty typ homotopijny}\index{typ homotopijny!prosty} (lub że są \textit{prosto homotopijnie równoważne}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność!prosta}), i~piszemy $X\simplehe Y$\nomenclature[7d]{$X\simplehe Y$}{regularne CW kompleksy $X$, $Y$ mają ten sam prosty typ homotopijny}, o~ile istnieje ciąg regularnych CW kompleksów $(X_i)_{i=0}^{n}$ taki, że $X_0=X$, $X_n=Y$ oraz dla każdego indeksu $i=0,\ldots,n-1$ zachodzi jeden z~warunków: $X_{i}\searrow X_{i+1}$ lub $X_{i+1}\searrow X_{i}$. Prosto homotopijnie równoważne CW kompleksy są, wobec obserwacji poczynionych w~poprzednim akapicie, homotopijnie równoważne.
Dobre wprowadzenie do interesującego fragmentu topologii algebraicznej, jaki stanowią zagadnienia związane z~prostym typem homotopijnym, stanowi książka Cohena \cite{Cohen73}.
Ponieważ każdy kompleks symplicjalny można utożsamiać z~pewnym regularnym CW kompleksem, możemy mówić o~prostym typie homotopijnym (oraz zgnieceniach itp.) kompleksów symplicjalnych.
Zdefiniujemy indukcyjnie związaną ze zgniatalnością kompleksów symplicjalnych własność, wywodzącą się z~teorii złożoności \cite{Kahn84}. Mówimy, że skończony kompleks symplicjalny $K$~jest \textit{non-evasive}\index{kompleks symplicjalny!non-evasive@\textit{non-evasive}}, jeśli $K$~składa się z~pojedynczego wierzchołka lub istnieje wierzchołek $v\in K$ taki, że kompleksy symplicjalne $\lk_K(v)$ oraz $K-v$ są \textit{non-evasive}. Jeżeli kompleks symplicjalny ma własność \mbox{\textit{non-evasiveness}}, to jest zgniatalny~\cite{Kahn84}.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 2.10]{Welker99}}]\label{tw_welkera_o_zgniatalnosci_podzialu}
Jeśli skończony kompleks symplicjalny $K$~jest zgniatalny, to kompleks symplicjalny $\mK(\mP(K))$ ma własność \textit{non-evasiveness}.
\end{tw}
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\begin{comment}
\section{Geometria metryczna}\label{sec-geometria_metryczna}
Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Określamy odległość punktu $x\in X$~od zbioru $A\subseteq X$ jako $d(x,A)=\inf\{a\in A:d(x,a)\}$.
\textit{Krzywą geodezyjną} (albo po prostu \textit{geodezyjną}) łączącą punkty $x,y\in X$ nazywamy odwzorowanie ciągłe $c\colon [0,l]\to X$ takie, że $c(0)=x, c(l)=y$ oraz $d(c(t),c(t'))=|t-t'|$ dla wszystkich $t,t'\in [0,l]$. W~szczególności mamy $l=d(x,y)$. \textit{Odcinkiem geodezyjnym} o~końcach $x,y$ nazywamy zbiór $c([0,l])\subseteq X$. Odcinek taki oznaczać będziemy czasem symbolem $[x,y]$. Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy geodezyjnymi w~$X$~a~parami $(x,\alpha)$, gdzie $\alpha$~jest odcinkiem geodezyjnym w~$X$~o~końcu $x$.
Mówimy, że przestrzeń $(X,d)$ jest \textit{geodezyjna}, jeśli dla każdej pary punktów $x,y\in X$ istnieje krzywa geodezyjna je łącząca. Dla $r>0$ przestrzeń $X$~nazywamy \textit{$r$-geodezyjną}, jeśli dla każdej pary punktów $x,y\in X$ takiej, że $d(x,y)<r$, istnieje geodezyjna je łącząca.
Podzbiór $C$~geodezyjnej przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy \textit{wypukłym}, jeśli każdą parę punktów $x,y\in C$ można połączyć geodezyjną w~$X$ oraz obraz każdej geodezyjnej łączącej te punkty zawiera się w~zbiorze $C$. \textit{Otoczką wypukłą} podzbioru geodezyjnej przestrzeni metrycznej nazywamy część wspólną wszystkich zbiorów wypukłych zawierających ten podzbiór.
Mówimy, że przestrzeń metryczna $(X,d)$ jest \textit{właściwa}, jeśli dla każdego $r\geq 0$ i~każdego $x\in X$ kula domknięta $D(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}$ jest zbiorem zwartym w~$X$. Przypomnijmy, że przestrzeń $(X,d)$ nazywamy \textit{zupełną}, gdy każdy ciąg Cauchy'ego w~$X$~jest zbieżny.
\textit{Średnicą} podzbioru $A\subseteq X$ przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy liczbę $\operatorname{diam}(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}$.\nomenclature[ozn_srednica]{$\operatorname{diam}(A)$}{średnica zbioru $A$}
Dla $x,y\in\mR^n$ niech \[\langle x,y\rangle=\sum_{i=0}^{n-1}x_i y_i,\quad \langle\!\langle x,y\rangle\!\rangle=-x_{n-1}y_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}x_i y_i\] oraz niech $\|x\|=\sqrt{\langle x, x\rangle}$
Zdefiniujemy dla $\kappa\in \mR$ oraz $n\in\mN$, $n\geq 1$ tzw.~\textit{przestrzenie modelowe} $M_\kappa^n$. Jeśli $\kappa>0$, to za $M_\kappa^n$ przyjmujemy sferę $\S^n$ z~metryką \[d(x,y)=\frac{1}{\sqrt{\kappa}} \operatorname{arccos}\left(\langle x,y\rangle\right)=\frac{2}{\sqrt{\kappa}} \operatorname{arcsin}\left(\frac{\|x-y\|}{2}\right).\]
Jeżeli $\kappa=0$, to $M^n_\kappa=\mathbb{R}^n$ z~metryką zadaną przez normę $\|\cdot\|$. Jeśli natomiast $\kappa<0$, to definiujemy $M^n_\kappa$ jako zbiór \[\mathbf{H}^n=\{x\in \mR^{n+1}:\langle\!\langle x,x\rangle\!\rangle=-1, x_{n}>0\}\] z~metryką zadaną dla $x,y\in \mathbf{H}^n$ wzorem \[d(x,y)=\frac{1}{\sqrt{-\kappa}}\operatorname{arccosh} (-\langle\!\langle x,y\rangle\!\rangle).\]
\textit{Trójkątem geodezyjnym} $\Delta([x,y],[y,z],[z,x])$ w~przestrzeni metrycznej $(X,d)$ nazywamy układ trzech punktów $x,y,z\in X$ oraz łączących je odcinków geodezyjnych $[x,y], [y,z], [z,x]\subseteq X$. \textit{Trójkątem porównawczym} dla danego trójkąta geodezyjnego $\Delta([x,y],[y,z],[z,x])$ w~przestrzeni modelowej $M^2_\kappa$ nazywamy taki trójkąt geodezyjny $\Delta([\bar{x},\bar{y}],[\bar{y},\bar{z}],[\bar{z},\bar{x}])$ w~przestrzeni $M^2_\kappa$, że $d(x,y)=d(\bar{x},\bar{y})$, $d(y,z)=d(\bar{y},\bar{z})$, $d(z,x)=d(\bar{z},\bar{x})$. Trójkąt taki istnieje, o~ile zachodzi następująca nierówność dla długości obwodu tego trójkąta \[d(x,y)+d(y,z)+d(x,z)<2\operatorname{diam}(M^2_\kappa)=\begin{cases}\frac{2\pi}{\sqrt{\kappa}} & \text{dla } \kappa>0,\\\infty & \text{dla } \kappa\leq 0.\end{cases}\] Dla $p\in [x,y]$ \textit{punktem porównwawczym} w~trójkącie porównawczym $\Delta([\bar{x},\bar{y}],[\bar{y},\bar{z}],[\bar{z},\bar{x}])$ nazywamy taki element $\bar{p}\in [\bar{x},\bar{y}]$, że $d(x,p)=d(\bar{x},\bar{p})$; podobnie definiujemy punkty porównwacze dla elementów odcinków $[y,z],[z,x]$. Mówimy, że trójkąt geodezyjny $\Delta([x,y],[y,z],[z,x])$ spełnia \textit{nierówność $\CAT(\kappa)$}, jeśli długość obwodu tego trójkąta jest mniejsza niż $2\operatorname{diam}(M^2_\kappa)$ oraz dla wszystkich punktów $p,q\in [x,y]\cup [y,z]\cup [z,x]$ zachodzi nierówność $d(p,q)\leq d(\bar{p},\bar{q})$, gdzie $\bar{p},\bar{q}$ są punktami porównawczymi dla $p,q$ należącymi do trójkąta porównawczego dla trójkąta $\Delta([x,y],[y,z],[z,x])$ w~przestrzeni $M^2_\kappa$.
Jeśli $\kappa\leq 0$, to przestrzeń metryczną $X$~nazywamy \textit{przestrzenią $\CAT(\kappa)$}, jeżeli jest przestrzenią geodezyjną i~wszystkie trójkąty geodezyjne w~$X$~spełniają nierówność $\CAT(\kappa)$. Jeśli natomiast $\kappa>0$, to $X$~nazywamy \textit{przestrzenią $\CAT(\kappa)$}, gdy $X$~jest przestrzenią $\operatorname{diam}(M^2_\kappa)$-geodezyjną oraz wszystkie trójkąty geodezyjne w~$M^2_\kappa$ o~długości obwodu mniejszej niż $2\operatorname{diam}(M^2_\kappa)$ spełniają nierówność $\CAT(\kappa)$. Nazwa ,,$\CAT(\kappa)$'' została zaproponowana przez Gromova \cite{Gromov87} i~pochodzi od nazwisk E.~Cartana, A.D.~Aleksandrowa oraz V.A.~Toponogova.
\begin{stw}[{\cite[Proposition II.1.4]{Bridson99}}]
Jeżeli $X$~jest przestrzenią $\CAT(\kappa)$, gdzie $\kappa\leq 0$ lub $\kappa>0$ oraz $\operatorname{diam}(X)<\frac{\pi}{\sqrt{\kappa}}$, to przestrzeń $X$~jest ściągalna.
\end{stw}
\begin{lem}[{\cite[Proposition II.2.4, Exercise II.2.6(1)] {Bridson99}}]\label{lemat-bridsona-o-jedynym-punkcie}
Niech $X$~będzie spójną przestrzenią $\CAT(\kappa)$, $x\in X$ jej elementem, zaś $C\subseteq X$ wypukłym, zupełnym podzbiorem. Jeżeli $\kappa\leq 0$ lub $\kappa\geq 0$ oraz $d(x,C)<\frac{\pi}{2\sqrt{\kappa}}$, to istnieje dokładnie jeden element $c\in C$ taki, że $d(x,c)=d(x,C)$.
\end{lem}
Niech $n\leq m$ będą dodatnimi liczbami naturalnymi oraz niech $\kappa\in\mathbb{R}$. \textit{Geodezyjnym $n$-wymiarowym sympleksem w~przestrzeni $M^m_\kappa$} nazywamy zbiór $S\subseteq M^m_\kappa$ będący otoczką wypukłą $n+1$ punktów $\{v_0,\ldots,v_n\}$ należących do $M^m_\kappa$ i~znajdujących się w~położeniu ogólnym, tzn.~nie zawierających się w~żadnej podprzestrzeni $M^m_\kappa$ izometrycznej z~$M^{n-1}_\kappa$, przy czym jeśli $\kappa>0$, to wymagamy dodatkowo, aby zbiór $\{v_0,\ldots,v_n\}$ zawierał się w~otwartej półsferze sfery $M^{m}_\kappa$. Elementy $v_0,\ldots,v_n\in M^m_\kappa$ nazywamy \textit{wierzchołkami} geodezyjnego sympleksu~$S$. Dla każdego punktu $s\in S$ określimy jego \textit{współrzędne barycentryczne} $b_0(s),\ldots,b_n(s)\in \I$. Jeżeli $\kappa=0$, to wierzchołki $v_0,\ldots,v_m$ są wektorami przestrzeni $M^m_\kappa=\mathbb{R}^{m}$. Współrzędne barycentryczne punktu $s$~określamy w~tym przypadku jako jedyne liczby z~odcinka jednostkowego $\I$ spełniające warunek \[x=b_0(s) v_0+\ldots+b_n(s) v_n.\] Jeśli $\kappa>0$, to $M^m_\kappa=\S^{m}\subseteq \mathbb{R}^{m+1}$. Otoczka wypukła wierzchołków $v_0,\ldots,v_n$ jest sympleksem $S'$ w~$\mathbb{R}^{m+1}$. Ponadto $0\not\in S'$, ponieważ wierzchołki te zawierają się w~otwartej półsferze sfery $\S^m$. Odwzorowanie $p\colon S\to S'$ zadane dla $x\in S'$ wzorem $p(x)=\frac{x}{\|x\|}$ jest bijekcją. Jako współrzędne barycentryczne punktu $s$~przyjmujemy współrzędne barycentryczne punktu $p^{-1}(s)$ w~sympleksie $S'$. Podobnie postępujemy dla $\kappa<0$. Współrzędne barycentryczne wyznaczają element $s\in S$ w~sposób jednoznaczny; możemy zatem $s$~utożsamiać z~funkcją $\tilde{s}\colon \{v_0,\ldots,v_n\}\to \I$ taką, że $\tilde{s}(v_i)=b_i(s)$.
Jeżeli $S, S'$ są $n$-wymiarowymi sympleksami geodezyjnymi odpowiednio w~$M^m_\kappa$ oraz $M^{m'}_{\kappa'}$, o~zbiorach wierzchołków $\{v_0,\ldots,v_n\}$ oraz $\{v_0',\ldots,v_{n}'\}$, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie $S\to S'$ zachowujące współrzędne barycentryczne i~przeprowadzające $v_i$ na $v_i'$ dla wszystkich $i=1,\ldots,n$. Podobnie, $\sigma\in K$ jest \mbox{$n$-wymiarowym} sympleksem kompleksu symplicjalnego $K$, $\sigma=\{v_0'',\ldots,v_n''\}$, to istnieje dokładnie jedno odwzorowanie $f\colon S\to |\sigma|$ z~sympleksu $S$~w~domknięty sympleks $|\sigma|\subseteq |K|$ takie, że $f(s)(v_i'')=\tilde{s}(v_i)$ dla $s\in S$ oraz wszystkich $i=1,\ldots,n$. Odwzorowania te, zwane \textit{afinicznymi}, są homeomorfizmami.
Kompleksem $M_\kappa$-symplicjalnym nazywamy trójkę \[\mathbb{K}=\left(K,\ \Shapes(\mathbb{K}),\ \{f_\sigma\colon S_\sigma\to |\sigma|\}_{\sigma\in K}\right),\] gdzie $K$~jest kompleksem symplicjalnym, $\Shapes(\mathbb{K})$ pewnym zbiorem geodezyjnych sympleksów w~przestrzeniach $M^{n}_\kappa$, $n\in\mN$, dla każdego sympleksu $\sigma$~istnieje geodezyjny, $\dim(\sigma)$-wymiarowy sympleks $S_\sigma\in \Shapes(\mathbb{K})$, a~$f_\sigma\colon S_\sigma\to |\sigma|$~jest afinicznym homeomorfizmem tego sympleksu na domknięty sympleks $|\sigma|\subseteq |K|$, przy czym jeżeli $\sigma,\tau\in K$ oraz $\sigma\subseteq \tau$, to odwzorowanie $f_\tau^{-1}\circ f_\sigma\colon S_\sigma \to S_\tau$ jest izometrią na obraz.
\textit{Nicią} w~kompleksie $M_\kappa$-symplicjalnym pomiędzy elementami $x,y\in |K|$ nazywamy ciąg $\Sigma=(x=x_0,x_1,\ldots,x_{n(\Sigma)}=y)$ elementów $K$~o~tej własności, że dla każdego $i=0,\ldots,n(\Sigma)-1$ istnieje sympleks $\sigma_i\in K$ taki, że $x_i,x_{i+1}\in |\sigma|$. \textit{Długością} nici $\Sigma$ nazywamy liczbę \[l(\Sigma)=\sum_{i=0}^{n(\Sigma)-1}d_{S_{\sigma_i}}\left(f_{\sigma_i}^{-1}(x_i),f_{\sigma_i}^{-1}(x_{i+1})\right),\]
gdzie $d_{S_{\sigma_i}}\colon S_{\sigma_i}\times S_{\sigma_i}\to \mathbb{R}$ jest funkcją odległości w~sympleksie $S_{\sigma_i}$. Jeśli kompleks symplicjalny $K$~jest spójny, określić można pewną funkcję $d_\mathbb{K}\colon |K|\times |K|\to \mathbb{R}$, dla $x,y\in |K|$ zadaną wzorem
\[d_\mathbb{K}(x,y)=\inf\{l(\Sigma): \Sigma\text{ jest nicią z } x \text{ do } y\}.\]
Na ogół tak zdefiniowana funkcja $d_\mathbb{K}$~nie jest metryką na $|K|$.
\begin{tw}[Bridsona, {\cite[Theorem I.7.19, Exercise I.7.62]{Bridson99}}]\label{tw-bridsona}
Jeżeli $\mathbb{K}=\left(K,\ \Shapes(\mathbb{K}),\ \{f_\sigma\}_{\sigma\in K}\right)$ jest kompleksem $M_\kappa$-symplicjalnym takim, że kompleks symplicjalny $K$~jest spójny oraz dla wszystkich $x\in |K|$ oraz $n\in \mN$ zbiór \[\bigl\{S_\sigma\in \Shapes(K):\sigma\in K,\ |\sigma|\subseteq \{y\in |K|: d_K(x,y)\leq n\}\bigr\}\] jest skończony, to $(|K|,d_\mathbb{K})$ jest zupełną przestrzenią geodezyjną.
% oraz zbiór $\Shapes(K)$~jest skończony, to $(|K|,d_\mathbb{K})$ jest zupełną przestrzenią geodezyjną.
% Teza twierdzenia zachodzi również przy słabszym założeniu, że dla wszystkich $x\in |K|$ oraz $n\in \mN$ zbiór \[\bigl\{S_\sigma\in \Shapes(K):\sigma\in K,\ |\sigma|\subseteq \{y\in |K|: d_K(x,y)\leq n\}\bigr\}\] jest skończony.
\end{tw}
Kompleks $M_0$-symplicjalny $\mathbb{K}$~nazywamy \textit{regularnym}, o~ile długość wszystkich krawędzi każdego sympleksu $S\in\Shapes(\mathbb{K})$ wynosi $1$.
\end{comment}
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\section{Topologia w nieskończoności}\label{sec-top_w_nsk}
\textbf{Do końca podrozdziału \ref{sec-top_w_nsk} zakładamy, że $X$, $Y$~są przestrzeniami topologicznymi będącymi sumami rozłącznymi skończonej liczby uogólnionych continuów.}
Podrozdział opiera się w~dużej mierze na książkach Bauesa i~Quintero~\cite{Baues01} oraz Hughesa i~Ranickiego \cite{Hughes96}.
\subsection{Właściwy typ homotopijny}
Jeżeli $f,g\colon X\to Y$ są właściwymi odwzorowaniami, to mówimy, że odwzorowania te są \textit{homotopijne w~sposób właściwy}, co oznaczamy przez $f\overset{p}{\simeq} g$\nomenclature[1m]{$f \overset{p}{\simeq} g$}{właściwe odwzorowania $f, g$ są homotopijne w~sposób właściwy}, jeżeli istnieje homotopia $H\colon X\times \I\to Y$ pomiędzy $f$ oraz~$g$ będąca właściwym odwzorowaniem (tzn.~\textit{właściwa homotopia}). Przestrzenie $X,Y$ nazywamy \textit{homotopijnie równoważnymi w~sposób właściwy}, jeżeli istnieje \textit{właściwa homotopijna równoważność}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność!wlzzzaszzzciwa@właściwa}\index{typ homotopijny!wlzzzaszzzciwy@właściwy} $X\to Y$, to znaczy takie właściwe odwzorowanie $f\colon X\to Y$, że dla pewnego właściwego odwzorowania $g\colon Y\to X$ istnieją właściwe homotopie $f\circ g\overset{p}{\simeq}\id_Y$ oraz~$g\circ f\overset{p}{\simeq}\id_X$.
Mówimy, że przestrzeń $X$~będąca ANR-em jest \textit{ściągalna w~sposób właściwy}\index{szzzciazzzgalnoszzzczzz w~sposozzzb wlzzzaszzzciwy@ściągalność w~sposób właściwy}\index{ANR!szzzciazzzgalny w~sposozzzb wlzzzaszzzciwy@ściągalny w~sposób właściwy}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!szzzciazzzgalna w~sposozzzb wlzzzaszzzciwy@ściągalna w~sposób właściwy}, jeżeli przestrzeń $X$~jest homotopijnie równoważna w~sposób właściwy realizacji geometrycznej $1$-wymiarowego, lokalnie skończonego, spójnego i~acyklicznego kompleksu symplicjalnego (czyli drzewa).
\subsection{Zbiór końców}
Przez \textit{koniec}\index{koniec!przestrzeni topologicznej} przestrzeni $X$~rozumiemy odwzorowanie \[\varepsilon\colon \{K\subseteq X:K\text{ jest zwarty}\}\to 2^X\smallsetminus \{\emptyset\}\] takie, że dla wszystkich zbiorów zwartych $K,L\subseteq X$ spełnione są poniższe dwa warunki:
\begin{compactenum}
\item zbiór $\varepsilon(K)$ jest składową spójności przestrzeni $X\smallsetminus K$;
\item jeżeli $L\subseteq K$, to $\varepsilon(K)\subseteq \varepsilon(L)$.
\end{compactenum}
Symbolem $\E(X)$ oznaczamy zbiór wszystkich końców przestrzeni $X$\index{zbiozzzr@zbiór!konzzzcozzzw@końców!przestrzeni topologicznej}.
Podana definicja końca przestrzeni topologicznej pochodzi z~pracy Milnora \cite{Milnor68} i~dla uogólnionych continuów jest równoważna innym znanym definicjom końca (por.~\cite[Chapter~1]{Hughes96}).
\begin{ex}\noindent
\begin{compactenum}
\item Uogólnione continuum $X$~jest zwartą przestrzenią topologiczną wtedy i~tylko wtedy, gdy $\E(X)=\emptyset$.
\item Prosta rzeczywista $\mR$ ma dokładnie dwa końce, natomiast każda z przestrzeni $\mR^n$ dla $n\geq 2$ ma dokładnie jeden koniec.
\item Dla każdej liczby $n\in\mN$ przestrzeń \[X_n=\bigl( [0,\infty)\times \{0\} \bigr) \cup \bigl(\{0,\ldots,n-1\}\times [0,\infty)\bigr)\subseteq \mathbb{R}^2\] z~topologią indukowaną z~płaszczyzny $\mathbb{R}^2$ ma dokładnie $n+1$~końców. Ponadto zbiór końców przestrzeni $\bigcup_{n\in\mN} X_n$ jest przeliczalnie nieskończony.
\item Zbiór końców nakrycia uniwersalnego bukietu dwóch okręgów jest nieprzeliczalny.
\end{compactenum}
\end{ex}
Dla właściwego odwzorowania $f\colon X\to Y$ określimy indukowaną przez nie funkcję $\E(f)\colon \E(X)\to \E(Y)$. Jeżeli $\varepsilon\in \E(X)$ oraz $K\subseteq Y$ jest zbiorem zwartym, przyjmujemy za $\E(f)(\varepsilon)(K)$ tę spójną składową przestrzeni $Y\smallsetminus K$, dla której \[f\left(\varepsilon\left(f^{-1}(K)\right)\right)\subseteq \E(f)(\varepsilon)(K).\] Nietrudno zauważyć, że taka spójna składowa istnieje i~jest tylko jedna \cite[Proposition 1.22]{Hughes96}; ponadto $\E(f)(\varepsilon)\in \E(Y)$. Funkcja $\E(f)\colon \E(X)\to \E(Y)$ jest więc dobrze określona. Co więcej, łatwo sprawdza się, iż przyporządkowanie $\E$\nomenclature[6a]{$\E$}{funktor zbioru końców przestrzeni topologicznej (lub częściowego porządku)} jest funktorem z~kategorii przestrzeni topologicznych będących sumami rozłącznymi skończonej liczby uogólnionych continuów oraz ich właściwych odwzorowań w~kategorię zbiorów i~funkcji, oraz że jeśli właściwe odwzorowania $f,g\colon X\to Y$ są homotopijne w~sposób właściwy, to $\E(f)=\E(g)$ (zob.~\cite[Proposition 1.22]{Hughes96}).
Następujący lemat stanowi prosty wniosek z~lematu \ref{lem-sigma_zwarta_kazdy_zwarty_w_wyczerpujacym}.
\begin{lem}\label{lem-co_wyznacza_koniec_w_sigma_zwartej}
Załóżmy, że $(C_i)_{i\in\mN}$ jest ciągiem wyczerpującym przestrzeń $X$. Niech $Z$~oznacza zbiór funkcji $\delta\colon \{C_i\}_{i\in\mN}\to 2^X\smallsetminus \{\emptyset\}$ takich, że dla każdego $i\in\mN$ zbiór $\delta(C_i)$~jest nieograniczoną składową spójności przestrzeni $X\smallsetminus C_i$ oraz $\delta(C_j)\subseteq \delta(C_i)$ dla $j\geq i$. Funkcja $\E(X)\to Z$ przyporządkowująca końcowi $\varepsilon\in \E(X)$ jego ograniczenie $\varepsilon\big |_{\{C_i\}_{i\in\mN}}$ jest bijekcją.
\end{lem}
\begin{lem}\label{lem-istnieje_koniec_w_strone_danej_skladowej}
Niech $K$~będzie zwartym podzbiorem $X$, zaś~$S$ nieograniczoną w~$X$~składową spójności zbioru $X\smallsetminus K$. Istnieje wówczas koniec $\varepsilon\in\E(X)$ taki, że $\varepsilon(K)=S$.
\end{lem}
\begin{proof}
Na podstawie lematu \ref{lem-istnieje_ciag_wyczerpujacy} istnieje wyczerpujący przestrzeń $X$~ciąg $(C_i)_{i\in\mN}$ taki, że $C_0=K$. Określimy pewną funkcję $\delta\colon \{C_i\}_{i\in \mN}\to 2^X\smallsetminus\{\emptyset\}$. Niech $\delta(C_0)=S$. Ustalmy $n>0$ i~załóżmy, że dla wszystkich liczb naturalnych $i<n$ określone są zbiory $\delta(C_i)\in 2^X\smallsetminus\{\emptyset\}$, przy czym $\delta(C_i)$ jest nieograniczoną składową spójności $X\smallsetminus C_i$ oraz $\delta(C_j)\subseteq \delta(C_i)$ dla wszystkich $i\leq j<n$. Za $\delta(C_{n})$ przyjmujemy dowolną nieograniczoną składową spójności zbioru $X\smallsetminus C_{n}$ zawartą w~$\delta(C_{n-1})$.
Wobec lematu \ref{lem-co_wyznacza_koniec_w_sigma_zwartej} istnieje koniec $\varepsilon\in \E(X)$ taki, że $\varepsilon\big|_{\{C_i\}_{i\in\mN}}=\delta$. W~szczególności $\varepsilon(K)=\delta(K)=S$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Uzwarcenie Freudenthala}
Dla końca $\varepsilon\in \E(X)$ oraz zwartego zbioru $K\subseteq X$ przyjmijmy oznaczenia \begin{align*}B(\varepsilon,K)&=\{\varepsilon'\in \E(X): \varepsilon(K)=\varepsilon'(K)\},\\N(\varepsilon,K)&=\varepsilon(K)\cup B(\varepsilon,K).\end{align*}
\textit{Uzwarceniem Freudenthala}\index{uzwarcenie!Freudenthala} \cite{Freudenthal31, Raymond60} przestrzeni $X$~nazywamy przestrzeń $\F X=X\cup \E(X)$ z~topologią zadaną przez następujące bazy otoczeń otwartych: dla $x\in X$ jako bazę otoczeń otwartych przyjmujemy dowolną bazę otoczeń otwartych tego punktu w~przestrzeni $X$, natomiast dla końca $\varepsilon\in\E(X)$ bazą otoczeń otwartych jest rodzina $\{N(\varepsilon,K): K\subseteq X\text{ jest zbiorem zwartym}\}$.
Niech $f\colon X\to Y$ będzie właściwym odwzorowaniem. Określmy funkcję $\F f\colon \F X\to \F Y$ dla elementu $a\in \F X$ przyjmując \[\F f(a)=\begin{cases}f(a), &\text{jeżeli } a\in X,\\ \E(f)(a), & \text{jeżeli } a\in\E(X).\end{cases}\]
\begin{stw}[{\cite[Proposition I.9.11]{Baues01}}]\label{stw-funkcja_freudenthala_ciagla}
Jeśli $f\colon X\to Y$ jest właściwym odwzorowaniem, to funkcja $\F f\colon \F X\to \F Y$ jest ciągła.
\end{stw}
Wobec stwierdzenia \ref{stw-funkcja_freudenthala_ciagla} przyporządkowanie $\F$ jest funktorem\nomenclature[6b]{$\F$}{funktor uzwarcenia Freudenthala} z~kategorii przestrzeni topologicznych będących sumami rozłącznymi skończonej liczby uogólnionych continuuów i~ich właściwych odwzorowań w~kategorię przestrzeni topologicznych i~funkcji ciągłych.
\begin{comment}
Uzwarcenie Freudenthala można scharakteryzować w~następujący sposób.
\begin{tw}[\cite{Raymond60}]\label{tw-raymonda}
Niech $X^*$ będzie uzwarceniem przestrzeni $X$ o~następujących własnościach:
\begin{compactenum}
\item przestrzeń $X^*$ jest spójna;
\item $X$ jest otwartym podzbiorem $X^*$;
\item przestrzeń $X^*\smallsetminus X$ jest całkowicie niespójna;
\item jeśli $p\in X^*\smallsetminus X$ oraz $U$~jest spójnym otoczeniem otwartym punktu $p$, to zbiór $U\smallsetminus (X^*\smallsetminus X)$ jest spójny.
\end{compactenum}
Wówczas uzwarcenie $X^*$ jest izomorficzne z~uzwarceniem Freudenthala $\F X$.
\end{tw}
\end{comment}
\begin{lem}[{\cite[Addendum I.9.9]{Baues01}}]\label{lem-uzwarcenie_jest_metryczne}
Jeżeli $X$~jest uogólnionym continuum, to $\F X$~jest continuum. Jeśli $X$~jest uogólnionym continuum Peano, to $\F X$~jest continuum Peano.
\end{lem}
\begin{comment}
\begin{lem}\label{lem-iloraz_homeomorficzny_jednopunktowemu}
Jeśli przestrzeń $X$~jest niezwarta, to przestrzeń ilorazowa $\F X\big/\E(X)$ jest homeomorficzna $X^\infty$.
\end{lem}
\begin{proof}
Ustalmy niezwartą przestrzeń $X$~będącą sumą rozłączną skończonej liczby uogólnionych continuów. Rozważmy funkcję $f\colon \F X\to X^\infty$ zadaną dla $a\in \F X$ wzorem \[f(a)=\begin{cases} a, & \text{jeżeli } a\in X,\\ \infty^X, &\text{jeżeli } a\in \E(X).\end{cases}\]
Oczywiście $\E(X)\not=\emptyset$, więc $f$~jest surjekcją. Jeżeli $U=\bigl\{\infty^X\bigr\}\cup (X\smallsetminus K)$ dla pewnego zbioru zwartego $K\subseteq X$, to \[f^{-1}(U)=(X\smallsetminus K)\cup \E(X)=(X\smallsetminus K)\cup \bigcup_{\varepsilon\in \E(X)}N(\varepsilon,K)\] jest zbiorem otwartym w~$\F X$. Wobec przyjętej definicji topologii na przestrzeni $X^\infty$ przekształcenie $f$~jest więc ciągłe. Wykażemy, że $f$~jest odwzorowaniem ilorazowym, tzn.~że topologia na $X^\infty$ jest najbogatszą spośród topologii na tym zbiorze, przy których funkcja $f$~jest ciągła, co będzie oznaczało, że $X^\infty\approx \F X\big/\E(X)$.
Rozważmy w~tym celu taki podzbiór $U\subseteq X^\infty$, że zbiór $f^{-1}(U)\subseteq \F X$ jest otwarty. Jeżeli $\infty^X\not\in U$, to $f^{-1}(U)=U\subseteq X$ jest zbiorem otwartym w~$X$, a~zatem również w~$X^\infty$. Jeśli natomiast $\infty^X\in U$, to $\E(X)\subseteq f^{-1}(U)$. Możemy więc przedstawić zbiór $f^{-1}(U)$ jako sumę \[f^{-1}(U)=V\cup \bigcup_{\varepsilon\in \E(X)}\bigcup_{K\in \mathfrak{K}(\varepsilon)} N(\varepsilon, K),\] gdzie $V$~jest otwartym podzbiorem $X$, zaś $\mathfrak{K}(\varepsilon)\subseteq 2^{X}$ jest, dla każdego końca $\varepsilon\in\E(X)$, pewną rodziną zwartych podzbiorów przestrzeni $X$. Ponieważ $X$~jest otwartym podzbiorem zwartej przestrzeni $\F X $, zbiór $\E(X)=\F X\smallsetminus X$ jest zwarty. Rodzina \[\left\{N(\varepsilon,K):\varepsilon\in\E(X), K\in\mathfrak{K}(\varepsilon)\right\}\] jest otwartym pokryciem $\E(X)$. Można zatem wybrać końce $\varepsilon_1,\ldots, \varepsilon_n\in \E(X)$ oraz zbiory zwarte $K_i\in\mathfrak{K}(\varepsilon_i)$, $i=1,\ldots, n$, o~tej własności, że skończona rodzina $\{N(\varepsilon_i,K_{i})\}_{i=1}^{n}$ jest otwartym pokryciem zbioru $\E(X)$. W~szczególności, dla każdego końca $\delta\in \E(X)$ istnieje indeks $i_\delta\in \{1,\ldots, n\}$ taki, że $\delta\in N\left(\varepsilon_{i_\delta},K_{i_\delta}\right)$, to znaczy $\delta\left(K_{i_\delta}\right)=\varepsilon_{i_\delta}\left(K_{i_\delta}\right)$. Zbiór $\bigcup_{i=1}^{n}K_i\subseteq X$ jest zwarty jako skończona suma zbiorów zwartych. Na podstawie lematu \ref{lem-dorzucanie_skladowych_a_zwartosc} istnieje zwarty podzbiór $\hat{K}\subseteq X$ zawierający $\bigcup_{i=1}^{n}K_i$ oraz~taki, że każda składowa spójności zbioru $X\smallsetminus \hat{K}$ jest nieograniczona w~$X$. Dla dowolnego końca $\delta\in \E(X)$ mamy \[\delta\left(\hat{K}\right)\subseteq \delta\left(K_{i_\delta}\right)=\varepsilon_{i_\delta}\left(K_{i_\delta}\right)\subseteq B\left(\varepsilon_{i_\delta},K_{i_\delta}\right)\subseteq U.\] Ponadto, na podstawie lematu \ref{lem-istnieje_koniec_w_strone_danej_skladowej} każda składowa spójności zbioru $X\smallsetminus \hat{K}$ jest postaci $\delta\left(\hat{K}\right)$ dla pewnego końca $\delta\in \E(X)$. Wobec tego $X\smallsetminus \hat{K}\subseteq U$. Zbiór $f^{-1}(U)$ możemy przedstawić jako poniższą sumę:
\[f^{-1}(U)=V\cup \left(\left(X\smallsetminus \hat{K}\right)\cup \E(X)\right)\cup \bigcup_{\varepsilon\in \E(X)}\bigcup_{K\in \mathfrak{K}(\varepsilon)} \varepsilon(K).\]
Ale zbiór \[V\cup \bigcup_{\varepsilon\in \E(X)}\bigcup_{K\in \mathfrak{K}(\varepsilon)} \varepsilon(K)\] jest otwarty w~$X$. Wobec tego \[U=\left(V\cup \bigcup_{\varepsilon\in \E(X)}\bigcup_{K\in \mathfrak{K}(\varepsilon)} \varepsilon(K)\right)\cup \left(\left(X\smallsetminus \hat{K}\right)\cup \left\{\infty^X\right\}\right)\] jest otwartym podzbiorem $X^\infty$, co kończy dowód lematu.
\end{proof}
\end{comment}
%--------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
%-------------------------------------------------------------------
\subsection{Oswojoność}
Przestrzeń $X$ nazywamy \textit{oswojoną na zewnątrz}\footnote{ang. \textit{outward tame}}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!oswojona na zewnazzztrz@oswojona na zewnątrz} \cite{Quinn88,Hughes96}, jeżeli istnieje domknięty, koograniczony podzbiór $V\subseteq X$ taki, że włożenie $V\times \{0\}\hookrightarrow X$ (dla $v\in V$ zadane wzorem $(v,0)\mapsto v$) rozszerza się do właściwego odwzorowania $V\times [0,\infty)\to X$.
Mówimy, że przestrzeń $X$~\textit{ma kołnierzyk na zewnątrz}\footnote{ang. \textit{is outward collared}} \cite{Hughes96}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!ma kolzzznierzyk na zewnazzztrz@ma kołnierzyk na zewnątrz}, jeżeli istnieje domknięty, koograniczony podzbiór $V\subseteq X$ będący ANR-em i~taki, że włożenie $V\times\{0\}\hookrightarrow V$ rozszerza się do właściwego odwzorowania $V\times [0,\infty)\to V$. (Oczywiście każda przestrzeń z~kołnierzykiem na zewnątrz jest oswojona na zewnątrz.)
\begin{comment}
\begin{tw}[{\cite[Proposition 7.2]{Hughes96}}]\label{tw-kolnierzyk_na_zewnatrz_a_brzeg_waldhausena}
Niech $X$~będzie przestrzenią z~kołnierzykiem na zewnątrz oraz niech podzbiór $V\subseteq X$ ma własności jak w~powyższej definicji. Istnieją wówczas homotopijne równoważności $e(X)\simeq e(V)\simeq V$.
\end{tw}
\end{comment}
\begin{ex}[{\cite[Example 7.3]{Hughes96}}]\noindent
\begin{compactenum}
\item Niech $M$~będzie zwartą rozmaitością z~brzegiem $\partial M$. Wówczas przestrzeń $X=M\smallsetminus \partial M$ ma kołnierzyk na zewnątrz. % oraz $e(X)\simeq \partial M$.
\item Niech $\left(f_j\colon X_j\to X_{j+1}\right)_{j\in\mN}$ będzie systemem prostym przekształceń pomiędzy zwartymi ANR-ami. \textit{Teleskopem} tego systemu nazywamy przestrzeń \[\operatorname{Tel}\left(f_j\right)_{j\in\mN}=\left(\coprod_{j=0}^{\infty} (X_j\times \I)\right)\big/\sim\ ,\] gdzie $\sim$~jest najmniejszą relacją równoważności na zbiorze $\coprod_{j=0}^\infty (X_j\times \I)$ taką, że $(x_j,1)\sim (f_j(x_j),0)$ dla wszystkich $x_j\in X_j$, $j\in\mN$. Teleskop $\operatorname{Tel}\left(f_j\right)_{j\in\mN}$ ma kołnierzyk na zewnątrz.
\item Niech $X$~będzie przestrzenią topologiczną, $A\subseteq X$ jej podzbiorem, $U\subseteq X$ otoczeniem $A$ oraz niech $V\subseteq U$. Mówimy, że zbiór~$V$~jest \textit{I-kompresowalny} w~$U$ w~kierunku $A$, jeżeli dla każdego otoczenia $W\subseteq X$ zbioru $A$~istnieje izotopia $(h_t)_{t\in \I}$ taka, że \[h_0=\id_X,\quad h_1(V)\subseteq W, \quad h_t\big|_{Z\cup X\smallsetminus U}=\id_{Z\cup X\smallsetminus U}\] dla pewnego otoczenia $Z$~zbioru $A$~oraz wszystkich $t\in \I$. Jeśli dla każdego otoczenia $U$~zbioru $A\subseteq X$ istnieje otoczenie $V\subseteq U$~tego zbioru o~tej własności, że $V$~jest I-kompresowalne w~$U$~w~kierunku $A$, to mówimy, że $A$~ma \textit{otoczenie I-regularne} w~$X$ (zob. \cite{Siebenmann73}).
Niech $A$~będzie zwartym podzbiorem wnętrza zwartej rozmaitości $M$. Jeśli $A$~ma I-regularne otoczenie w~$M$, to przestrzeń $M\smallsetminus A$ jest oswojona na zewnątrz. Jest tak w~szczególności, gdy przestrzeń $A$~ma typ homotopijny (czy ogólniej kształt) CW kompleksu i~jest 1-LCC zanurzona w~$M$ (tzn.~dla każdego $a\in A$ i~otwartego otoczenia $U$~tego punktu w~$M$ istnieje otoczenie otwarte $a\in V\subseteq U$ takie, że każde ciągłe przekształcenie $\S^1\to V\smallsetminus A$ rozszerza się do ciągłego odwzorowania $\D^2\to U\smallsetminus A$).
\item Więcej przykładów przestrzeni oswojonych na zewnątrz odnaleźć można w~książce Hughesa i~Ranickiego \cite{Hughes96}.
\end{compactenum}
\end{ex}
Przestrzeń $X$~nazywamy \textit{oswojoną do wewnątrz}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!oswojona do wewnazzztrz@oswojona do wewnątrz}\footnote{ang. \textit{inward tame}}\label{def-osw_do_wew} \cite{Chapman76,Hughes96}, o~ile dla każdego koograniczonego podzbioru $U\subseteq X$ istnieją koograniczony w~$X$~podzbiór $V\subseteq U$ oraz homotopia $h\colon X\times \I\to X$ o~następujących własnościach:
\begin{compactitem}
\item[---] $h_0=\id_X$;
\item[---] $h(x,t)=x$ dla wszystkich $x\in X\smallsetminus U$, $t\in \I$;
\item[---] $h(U\times \I)\subseteq U$;
\item[---] $h_1(X)\subseteq X\smallsetminus V$.
\end{compactitem}
Mówimy, że przestrzeń $X$~\textit{ma kołnierzyk do wewnątrz}\footnote{ang. \textit{is inward collared}}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!ma kolzzznierzyk do wewnazzztrz@ma kołnierzyk do wewnątrz} \cite{Hughes96}, jeśli dla każdego koograniczonegu podzbioru $U\subseteq X$ istnieje koograniczony w~$X$~podzbiór $V\subseteq U$ o~tej własności, że $U\smallsetminus V$ jest mocnym retraktem deformacyjnym $U$. Przestrzeń mająca kołnierzyk do wewnątrz jest oswojona do wewnątrz.
\begin{tw}[{\cite[Proposition 8.5]{Hughes96}}]\label{tw-charakteryzacja_kolnierzyka_do_wewnatrz}
Przestrzeń $X$~będąca ANR-em ma kołnierzyk do wewnątrz wtedy i~tylko wtedy, gdy istnieje wstępujący ciąg $(K_i)_{i=0}^{\infty}$ zwartych ANR-ów taki, że $X=\bigcup_{n\in\mN} K_n$ oraz każde z~włożeń $K_n\hookrightarrow X$, $n\in\mN$, jest homotopijną równoważnością.
\end{tw}
\begin{ex}[\cite{Guilbault13,Hughes96}]\label{przyklady-oswojonych-do-wewnatrz}\noindent
\begin{compactenum}
\item Niech $X$~będzie ANR-em. Domknięty podzbiór $A\subseteq X$~ nazywamy \mbox{\textit{$\mathcal{Z}$-zbiorem}} w~$X$, jeżeli dla każdego otwartego zbioru $U\subseteq X$ włożenie $U\smallsetminus A\hookrightarrow U$ jest homotopijną równoważnością. Przykładowo, każdy domknięty podzbiór brzegu rozmaitości $M$~jest $\mathcal{Z}$-zbiorem w~$M$. Uzwarcenie $X^*$~przestrzeni $X$~takie, że $X^*\smallsetminus X$ jest $\mathcal{Z}$-zbiorem w~$X^*$, nazywamy \textit{\mbox{$\mathcal{Z}$-uzwarceniem}}\index{uzwarcenie!zuzwarcenie@$\mathcal{Z}$-uzwarcenie}\index{zuzwarcenie@$\mathcal{Z}$-uzwarcenie}. Każdy ANR mający $\mathcal{Z}$-uzwarcenie jest przestrzenią oswojoną do wewnątrz.
\item W~szczególności, przestrzenie postaci $M\smallsetminus \partial M$, gdzie $M$~jest zwartą rozmaitością z~brzegiem, są oswojone do wewnątrz. Co więcej, przestrzenie tego typu mają kołnierzyk do wewnątrz \cite[Example 8.3]{Hughes96}.
\item Dla $n\geq 4$ istnieją zwarte, asferyczne, $n$-wymiarowe rozmaitości bez brzegu, których nakrycia uniwersalne nie są homeomorficzne z~$\mR^n$. Sztandarowym przykładem są tzw.~rozmaitości Davisa \cite{Guilbault13}. Rozmaitości Davisa nie są postaci $M\smallsetminus \partial M$ dla żadnej zwartej rozmaitości $M$. Istnieją jednak ich \mbox{$\mathcal{Z}$-uzwarcenia}, przy czym narosty tych uzwarceń nie są ANR-ami. Rozmaitości Davisa są oswojone do wewnątrz.
\item Rozważmy system odwrotny $\left(f_j\colon X_{j+1}\to X_j\right)_{j\in\mN}$ ciągłych odwzorowań pomiędzy zwartymi ANR-ami. \textit{Odwrotnym teleskopem} tego systemu nazywamy przestrzeń \[\operatorname{InvTel}\left(f_j\right)_{j\in\mN}=\left(\coprod_{j=0}^{\infty}(X_j\times \I)\right)\big/\sim\ ,\]
gdzie $\sim$~jest najmniejszą relacją równoważności na sumie rozłącznej $\coprod_{j=0}^{\infty}(X_j\times \I)$ taką, że $(x_j,0)\sim (f_j(x_j),1)$ dla wszystkich $x_j\in X_j$, $j\in\mN$. Przestrzeń $\operatorname{InvTel}\left(f_j\right)_{j\in\mN}$ ma kołnierzyk do wewnątrz. (Ma ona również \mbox{$\mathcal{Z}$-uzwarcenie}.)
\item Każda przestrzeń metryczna $X$, której metryka jest właściwa (tzn.~domknięte, ograniczone względem tej metryki podzbiory przestrzeni $X$~są zwarte) i~ma tzw.~własność $\CAT(0)$ \cite{Bridson99}, jest oswojona do wewnątrz. (Co więcej, przestrzenie takie mają \mbox{$\mathcal{Z}$-uzwarcenia} \cite[Example 17.5.5]{Geoghegan08}.)
\item Inne przykłady przestrzeni oswojonych do wewnątrz odnaleźć można w~książce Hughesa i~Ranickiego \cite{Hughes96}.
\end{compactenum}
\end{ex}
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Homologie lokalnie skończone i~homologie w~nieskończoności}
Ustalmy $n\in \mN$. Przypomnijmy, że \mbox{$n$-wymiarowym} \textit{sympleksem singularnym}\index{sympleks!singularny} w~przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy ciągłe przekształcenie $\sigma\colon \Delta^n\to X$ standardowego, $n$-wymiarowego sympleksu domkniętego w~tę przestrzeń. Wszystkie $n$-wymiarowe sympleksy singularne w~przestrzeni $X$~tworzą zatem zbiór elementów przestrzeni $\Cont(\Delta^n,X)$.
Dla każdej liczby $n\in\mN$~na zbiorze wszystkich funkcji $\Cont(\Delta^n,X)\to \mathbb{Q}$ istnieje naturalna struktura przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych (z~działaniami ,,po współrzędnych''). Rozważmy jej podprzestrzeń liniową $S^{\lf}_n(X)$, której elementami są funkcje $z\colon \Cont(\Delta^n,X)\to \mathbb{Q}$ mające tę własność, że dla każdego elementu $x\in X$ istnieje jego otwarte otoczenie $U\subseteq X$ takie, że zbiór \[\left\{\sigma\in \Cont(\Delta^n,X): \sigma(\Delta^n)\cap U\not=\emptyset,\ z(\sigma)\not=0\right\}\] jest skończony. Przestrzeń liniową $S^\lf_n(X)$ nazywamy przestrzenią \textit{\mbox{$n$-wymiarowych}, lokalnie skończonych łańcuchów singularnych}~$X$~(o~współczynnikach wymiernych).
Dla $n\in \mN$ oraz $0\leq i\leq n+1$ przez $e^i_{n+1}\colon \Delta^n\to \Delta^{n+1}$ oznaczamy ciągłe odwzorowanie zadane dla $(x_0,\ldots,x_n)\in \Delta^n$ wzorem \[e^i_{n+1}(x_0,\ldots,x_n)=(x_0,\ldots,x_{i-1},0,x_{i},\ldots,x_{n}).\] Istnieje homomorfizm liniowy $d_{n+1}^\lf\colon S^\lf_{n+1}(X)\to S^\lf_n(X)$ zadany dla $z\in S^\lf_{n+1}(X)$ oraz $\tau\in \Cont(\Delta^n,X)$ wzorem
\[d_{n+1}^\lf(z)(\tau)=\sum_{i=0}^{n+1}\ \sum_{\substack{\sigma\in \Cont(\Delta^{n+1},X),\\ \sigma \circ e^i_{n+1}=\tau}} (-1)^i z(\sigma).\] Nietrudno sprawdzić, że homomorfizm ten jest dobrze określony, a~ponadto dla każdego $n\geq 1$ zachodzi równość $d^\lf_n\circ d^\lf_{n+1}=0$.
\index{kompleks!lokalnie skonzzzczonych lzzzannncuchozzzw@lokalnie skończonych łańcuchów}\textit{Kompleksem lokalnie skończonych łańcuchów singularnych przestrzeni topologicznej $X$}~nazywamy kompleks łańcuchowy $S^{\lf}_*(X)=\left(S^{\lf}_n(X),d^\lf_n\right)_{n\in\mN}$. \textit{Lokalnie skończonymi homologiami singularnymi przestrzeni $X$}\index{homologie!lokalnie skonzzzczone@lokalnie skończone}~\cite[Definition 3.1]{Hughes96}~nazywamy przestrzeń wektorową z~gradacją $H_*^{\lf}(X)$ (nad ciałem liczb wymiernych) uzyskaną przez zadziałanie na kompleksie łańcuchowym $S_*^{\lf}(X)$ funktorem homologii: \[H_*^{\lf}(X)=H_*\left(S_*^{\lf}(X)\right).\]
Właściwe odwzorowanie $X\to Y$ indukuje homomorfizm grup homologii lokalnie skończonych \cite[Proposition 3.2]{Hughes96}; fakt ten podano w~książce Hughesa i~Ranickiego bez dowodu. Dla wygody Czytelnika przedstawiamy go poniżej.
Następujący lemat jest prostą konsekwencją definicji zbioru zwartego.
\begin{lem}\label{lem-lok_sk_lancuch_ze_zb_zwartym_sie_tnie}
Jeżeli $z\in S^{\lf}_n(X)$ dla pewnego $n\in\mN$ oraz zbiór $K\subseteq X$ jest zwarty, to istnieje otwarty podzbiór $U\subseteq X$ taki, że $K\subseteq U$ oraz zbiór \[\{\sigma\in \Cont(\Delta^n,X):\sigma(\Delta^n)\cap U\not=\emptyset,\ z(\sigma)\not=0\}\] jest skończony.
\end{lem}
Jeżeli $f\colon X\to Y$ jest właściwym odwzorowaniem, to dla każdego $n\in\mN$ istnieje homomorfizm liniowy $S_n^{\lf}(f)\colon S_n^{\lf}(X)\to S_n^{\lf}(Y)$, zadany dla $z\in S^{\lf}_n(X)$ oraz $\tau\in \Cont(\Delta^n,Y)$ wzorem \begin{equation}S_n^{\lf}(f)(z)(\tau)=\sum_{\substack{\sigma\in \Cont(\Delta^n,X),\\f\circ\sigma=\tau}} z(\sigma).\label{eq-homomorfizm_indukowany_na_h_lf}\end{equation}
Należy wykazać, że homomorfizm ten jest dobrze określony, tzn.~suma w~powyższym wzorze jest skończona dla wszystkich $z\in S^{\lf}_n(X)$, $\tau\in\Cont(\Delta^n,X)$ oraz dla każdego punktu $y\in Y$~istnieje jego otwarte otoczenie $U\subseteq Y$ takie, że zbiór \[\left\{\tau\in \Cont(\Delta^n,Y):\tau(\Delta^n)\cap U\not=\emptyset,\ S^\lf_n(f)(z)(\tau)\not=0\right\}\] jest skończony.
Ustalmy w~tym celu $z\in S^\lf_n(X)$ oraz $\tau\in \Cont(\Delta^n,Y)$. Odwzorowanie $f$~jest właściwe, więc zbiór $f^{-1}(\tau(\Delta^n))\subseteq X$ jest zwarty. Na podstawie lematu \ref{lem-lok_sk_lancuch_ze_zb_zwartym_sie_tnie} zbiór \[\left\{\sigma\in\Cont(\Delta^n,X):\sigma(\Delta^n)\cap f^{-1}(\tau(\Delta^n))\not=\emptyset,\ z(\sigma)\not=0\right\}\] jest skończony. Ze skończoności tego zbioru oraz zawierania \[\left\{\sigma\in\Cont(\Delta^n,X):f\circ\sigma=\tau\right\}\subseteq \left\{\sigma\in\Cont(\Delta^n,X):\sigma(\Delta^n)\subseteq f^{-1}(\tau(\Delta^n))\right\}\] wynika, że suma we wzorze (\ref{eq-homomorfizm_indukowany_na_h_lf}) jest skończona. Przestrzeń $Y$~jest lokalnie zwarta, więc dla każdego elementu $y\in Y$ istnieje jego otwarte otoczenie $U\subseteq Y$ o~zwartym domknięciu. Zbiór $f^{-1}\left(\overline{U}\right)\subseteq X$ jest zwarty, gdyż funkcja $f$~jest właściwa; wobec lematu \ref{lem-lok_sk_lancuch_ze_zb_zwartym_sie_tnie} zbiór \[A=\left\{\sigma\in\Cont(\Delta^n,X):\sigma(\Delta^n)\cap f^{-1}\left(\overline{U}\right)\not=\emptyset,\ z(\sigma)\not=0\right\}\] jest skończony, a~zatem skończony jest też zbiór \[\left\{\tau\in\Cont(\Delta^n,Y):\tau(\Delta^n)\cap U\not=\emptyset,\ S^\lf_n(f)(z)(\tau)\not=0\right\}\subseteq \left\{(f\circ \sigma)
:\sigma\in A\right\}.\]
Jak nietrudno sprawdzić, ciąg $\left(S^{\lf}_n(f)\right)_{n\in\mN}$ jest homomorfizmem kompleksów łańcuchowych $S_*^\lf(f)\colon S_*^\lf(X)\to S_*^\lf(Y)$, a~zatem indukuje homomorfizm $H^\lf_*(f)\colon H_*^{\lf}(X)\to H_*^\lf(Y)$. Przyporządkowanie $H_*^{\lf}~$\nomenclature[1yb]{$H_*^{\lf}$}{funktor lokalnie skończonych homologii} jest funktorem z~kategorii przestrzeni lokalnie zwartych i~ich właściwych odwzorowań w~kategorię przestrzeni wektorowych~z~gradacją (nad ciałem liczb wymiernych) i~homomorfizmów liniowych zachowujących gradację. Ponieważ nie będziemy rozważać innych niż singularne homologii lokalnie skończonych, funktor lokalnie skończonych homologii singularnych nazywać będziemy krótko funktorem \textit{lokalnie skończonych homologii}.
Część autorów stosuje odmienną terminologię, funktor $H_*^{\lf}$~nazywając funktorem homologii Borela-Moore'a.\index{homologie!Borela-Moore'a} Zdarza się, że nazwa ta jest rezerwowana dla funktorów zdefiniowanych w~inny sposób; możliwości jest kilka (przykładowo, definicja pochodząca z~pracy Borela i~Moore'a \cite{Borel60} korzysta z~teorii snopów). Dla ,,dostatecznie dobrych'' przestrzeni wszystkie te funktory są równoważne \cite[Section 2.6]{Chriss10}. Autor sądzi, że nazwa ,,homologie lokalnie skończone'' dobrze wyraża, jaki funktor mamy na myśli, i~pozwala uniknąć zamieszania wynikającego z~niejednoznaczności terminologii związanej z~homologiami Borela-Moore'a.
\begin{comment}
Niech $C=(C_*,d^C_*)$, $D=(D_*,d^D_*)$ będą kompleksami łańcuchowymi. \textit{Algebraicznym stożkiem} odwzorowania łańcuchowego $f\colon C\to D$ nazywamy kompleks łańcuchowy $\mathscr{C}(f)=\left(\mathscr{C}(f)_*,d^{\mathscr{C}(f)}_*\right)$ zadany wzorami:
\begin{align*}
\mathscr{C}(f)_*& =D_r\oplus C_{*-1},\\
d^{\mathscr{C}(f)}_*&=\left[\begin{matrix}d^D_* & (-1)^{*-1} f_{*-1}\\ 0 & d^C_{*-1}\end{matrix}\right]\colon \mathscr{C}(f)_*\to \mathscr{C}(f)_{*-1}.
\end{align*}
Przez $S(X)$ oznaczmy klasyczny (nie lokalnie skończony!) kompleks łańcuchów singularnych przestrzeni topologicznej $X$. Oczywiście jest on podkompleksem $S^\lf(X)$; niech $i\colon S(X)\hookrightarrow S^{\lf}(X)$ oznacza włożenie. \textit{Kompleksem łańcuchów singularnych w~nieskończoności} przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy kompleks łańcuchowy $S^\infty(X)=\left(S^\infty_*(X),d^\infty_*\right)$ taki, że \begin{align*}S^\infty_*(X)&=\mathscr{C}(i)_{*+1},\\d^\infty_*&=d^{\mathscr{C}(f)}_{*+1}.\end{align*}
\textit{Homologiami singularnymi w~nieskończoności} przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy przestrzeń liniową z~gradacją $H^\infty(X)$ (nad ciałem liczb wymiernych) uzyskaną przez zadziałanie funktorem homologii na kompleksie łańcuchów singularnych w~nieskończoności przestrzeni $X$: \[H_*^{\infty}(X)=H_*(S^\infty(X)).\]
%\begin{lem}[{\cite[Lemma 3.7]{Hughes96}}]
%Niech $f\colon C\to D$ będzie odwzorowaniem kompleksów łańcuchowych nad ciałem $k$ takim, że funkcje $f_r\colon C_r\to D_r$, dla wszystkich $r\in\mZ$, są różnowartościowe. Niech $E=\coker(f)$, wobec czego dany jest następujący \[0\longrightarrow C\overset{f}{\longrightarrow} D\overset{p}{\longrightarrow} E \longrightarrow 0\] krótki ciąg dokładny. Rzutowanie $q\colon \mathscr{C}(f)\to E$, $q(x,y)=[p(x)]$ jest wówczas równoważnością łańcuchową.
%\end{lem}
\begin{stw}[por.~{\cite[Lemma 3.7]{Hughes96}}]
Kompleks łańcuchowy $S_*^\infty(X)$ jest łańcuchowo równoważny w~sposób naturalny kompleksowi łańcuchowemu $S_{*+1}^\lf(X)/S_{*+1}(X)$.
\end{stw}
\end{comment}
Przez $S_*(X)$ oznaczmy kompleks łańcuchów singularnych przestrzeni topologicznej $X$. Oczywiście jest on podkompleksem kompleksu $S_*^\lf(X)$. Niech $\widetilde{S}_*(X)=\bigl(\widetilde{S}_n(X),\widetilde{d}_n\bigr)_{n\in\mN}=S_*^\lf(X)\big/S_*(X)$ będzie ilorazowym kompleksem łańcuchowym.
Kompleks łańcuchowy $S_*^\infty(X)=\left(S^\infty_n(X),d^\infty_n\right)_{n\geq -1}$ taki, że \begin{align*}S_n^\infty(X)=\widetilde{S}_{n+1}(X),\quad d^\infty_n&=\widetilde{d}_{n+1}\quad \text{dla } n\geq-1\end{align*} nazywamy \textit{kompleksem łańcuchów singularnych w~nieskończoności} przestrzeni topologicznej $X$.\footnote{Hughes i~Ranicki \cite[Definition 3.8]{Hughes96} podają nieco bardziej skomplikowaną definicję kompleksu łańcuchów singularnych w~nieskończoności, korzystającą z~pojęcia algebraicznego stożka przekształcenia. Istnieje naturalna łańcuchowa równoważność pomiędzy kompleksem określonym w~niniejszej rozprawie a~pochodzącym z~ich książki, por.~\cite[Lemma 3.7]{Hughes96}. Podejście podobne do przyjętego w~rozprawie prezentuje w~swojej książce Geoghegan \cite{Geoghegan08}.}
\textit{Homologiami singularnymi w~nieskończoności}\index{homologie!w nieskonzzzczonoszzzci@w nieskończoności} przestrzeni topologicznej $X$~nazywamy przestrzeń liniową z~gradacją $H_*^\infty(X)$ (nad ciałem liczb wymiernych) uzyskaną przez zadziałanie funktorem homologii na kompleksie łańcuchów singularnych w~nieskończoności przestrzeni $X$: \[H_*^{\infty}(X)=H_*(S_*^\infty(X)).\]
Przyporządkowanie $H_*^\infty$\nomenclature[1yc]{$H_*^\infty$}{funktor homologii w~nieskończoności} jest funktorem z~kategorii lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa i~ich właściwych odwzorowań w~kategorię przestrzeni wektorowych z~gradacją i~homomorfizmów, który krótko nazywać będziemy funktorem \textit{homologii w nieskończoności}.
Na ogół $H^\infty_{-1}(X)\not=0$ \cite[Example 3.18]{Hughes96}. Jeżeli jednak $X$~jest lokalnie łukowo spójnym uogólnionym continuum, to $H_{-1}^\infty(X)=0$. Dowód tego faktu opiera się na podobnym pomyśle, co związane z~analogicznym zagadnieniem rozumowanie z~książki Geoghegana \cite[Proposition 11.4.2]{Geoghegan08}.
W~przeciwieństwie do klasycznych homologii singularnych, homologie lokalnie skończone i~homologie w~nieskończoności nie są niezmiennikami homotopijnymi. Jeśli jednak $f,g\colon X\to Y$ są właściwymi przekształceniami oraz $f\overset{p}{\simeq} g$, to $H_*^\lf(f)=H_*^\lf(g)$ oraz~$H_*^\infty(f)=H_*^\infty(g)$ (por.~\cite{Hughes96}). Homologie lokalnie skończone i~homologie w~nieskończoności są zatem niezmiennikami właściwego typu homotopijnego.
\begin{stw}[{\cite[Proposition 3.9]{Hughes96}}]\label{stw-ciag_dokladny_homologii}
Istnieje naturalny długi ciąg dokładny
\[\xymatrix{\cdots\ar[r] & H_n^\infty(X)\ar[r]& H_n(X)\ar[r] & H_n^{\lf}(X)\ar[r] & H_{n-1}^\infty(X)\ar[r] & \cdots,}\]
wiążący grupy homologii singularnych, homologii lokalnie skończonych oraz homologii w~nieskończoności.
\end{stw}
\begin{tw}[{\cite[Proposition 7.15]{Hughes96}}]\label{tw-ranicki-hughes-izo-miedzy-homologiami-lf-a-uzwarcenia}
Jeżeli przestrzeń $X$~jest oswojonym na zewnątrz ANR-em, to istnieje naturalny\footnote{Hughes i~Ranicki \cite[Proposition 7.15]{Hughes96} nie wspominają o~naturalności tego izomorfizmu; wynika ona jednak z~podanego przez nich dowodu.} izomorfizm $H_*^{\lf}(X)\cong H_*\bigl(X^\infty,\bigl\{\infty^X\bigr\}\bigr)$.
\end{tw}
\begin{lem}[{\cite[Proposition 3.13]{Hughes96}}]\label{lem-wlozenie_kozwartego_indukuje_izomorfizm}
Niech $V\subseteq X$ będzie domkniętym, koograniczonym podzbiorem przestrzeni topologicznej $X$. Wówczas włożenie $V\hookrightarrow X$ indukuje izomorfizm $H_*^\infty(V)\cong H_*^\infty(X)$.
\end{lem}
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\section{Teoria punktów stałych}\label{sec-fixed_point_theory}
Niniejszy podrozdział opiera się w~dużym stopniu na pracy Górniewicza \cite{Gorniewicz05} oraz książce Granasa i~Dugundji \cite{Granas03}.
Niech $A$~będzie zbiorem, zaś $f\colon A\to A$ funkcją. \textit{Punktem stałym}\index{punkt!stalzzzy@stały!odwzorowania} funkcji $f$~nazywamy każdy element $a\in A$ taki, że $f(a)=a$. \textit{Zbiór punktów stałych}\index{zbiozzzr@zbiór!punktozzzw stalzzzych@punktów stałych!odwzorowania} funkcji $f$~oznaczamy symbolem $\Fix(f)$.\nomenclature[3a]{$\Fix(f)$}{zbiór punktów stałych funkcji $f$}
Mówimy, że przestrzeń topologiczna $X$~ma \textit{własność punktu stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!punktu stalzzzego@punktu stałego!przestrzeni topologicznej}\index{przestrzenzzz topologiczna@przestrzeń topologiczna!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!punktu stalzzzego@punktu stałego}, co zapisujemy symbolicznie przez $X\in \FPP$\nomenclature[3k]{$X\in\FPP$}{przestrzeń topologiczna (lub częściowy porządek) $X$~ma własność punktu stałego}, o~ile każda ciągła funkcja $X\to X$ ma punkt stały.
Nietrudno zauważyć, że jeżeli $X$~jest przestrzenią Hausdorffa, to dla każdego ciągłego odwzorowania $f\colon X\to X$ zbiór $\Fix(f)\subseteq X$ jest domknięty.
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Klasyczna i~uogólniona liczba Lefschetza}
\textbf{Do końca podrozdziału \ref{sec-fixed_point_theory} przez przestrzeń wektorową rozumiemy przestrzeń wektorową nad
ciałem liczb wymiernych.}
Przestrzeń wektorową z~gradacją $V_*$ nazywamy \textit{przestrzenią skończonego typu}\index{przestrzenzzz wektorowa z gradacjazzz@przestrzeń wektorowa z gradacją!skonzzzczzzonego typu@skończonego typu}, o~ile każda spośród przestrzeni $V_n$, $n\in\mN$, ma skończony wymiar oraz $V_n=0$ dla prawie wszystkich $n\in\mN$. (Mówimy w~szczególności, że przestrzeń topologiczna $X$~ma \textit{homologie skończonego typu}\index{homologie!skonzzzczonego typu@skończonego typu}, jeżeli przestrzeń wektorowa nad $\mathbb{Q}$~z~gradacją $H_*(X)$ jest skończonego typu.)
Jeśli $V_*$ jest przestrzenią skończonego typu, zaś $f_*\colon V_*\to V_*$ jest homomorfizmem liniowym zachowującym gradację, to przez \textit{liczbę Lefschetza}\index{liczba!Lefschetza} funkcji $f_*$ rozumiemy naprzemienną sumę śladów: \[\lambda(f_*)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\tr(f_n).\]
\nomenclature[3d]{$\lambda(f)$}{liczba Lefschetza odwzorowania $f$}
\nomenclature[3g]{$\tr(f)$}{ślad homomorfizmu liniowego $f$}
\begin{tw}[{\cite[Theorem 4.7.6]{Spanier81}}]\label{tw-lefschetza-hopfa}
Niech $C_*=(C_n,d_n)_{n\in\mN}$ będzie kompleksem łańcuchowym (nad ciałem liczb wymiernych), zaś $f\colon C_*\to C_*$ niech będzie odwzorowaniem łańcuchowym. Jeśli przestrzeń $C_*$ jest skończonego typu, to ma miejsce równość \[\lambda(f_*)=\lambda(H_*(f)).\]
\end{tw}
Przedstawiona niżej definicja uogólnionej liczby Lefschetza, oparta na uogólnionych śladach, pochodzi od J.~Leraya \cite{Leray57}.
Niech $V$ będzie przestrzenią wektorową, zaś $f\colon V\to V$ homomorfizmem liniowym. \textit{Uogólnionym jądrem}\index{jazzzdro@jądro!uogozzzlnione homomorfizmu@uogólnione homomorfizmu} homorfizmu $f$~nazywamy przestrzeń wektorową $N(f)=\bigcup_{n\in\mN}\ker(f^n)$\nomenclature[3f]{$N(f)$}{uogólnione jądro homomorfizmu liniowego $f$}. Mówimy, że homomorfizm liniowy $f\colon V\to V$ jest \textit{dopuszczalny}\index{homomorfizm!dopuszczalny}, o~ile przestrzeń ilorazowa $V\big/N(f)$ ma skończony wymiar. Ponieważ $f(N(f))\subseteq N(f)$, istnieje indukowany przez $f$~endomorfizm przestrzeni ilorazowej $\tilde{f}\colon V\big/N(f)\to V\big/N(f)$. \textit{Uogólnionym śladem}\index{szzzlad uogozzzlniony homomorfizmu@ślad uogólniony homomorfizmu} homomorfizmu $f$, oznaczanym przez $\Tr(f)$\nomenclature[3h]{$\Tr(f)$}{uogólniony ślad homomorfizmu liniowego $f$}, nazywamy ślad homomorfizmu $\tilde{f}$: \[\Tr(f)=\tr(\tilde{f}).\] Można udowodnić, że że uogólniony ślad ma wiele spośród własności klasycznego śladu, a~jeśli $\dim V<\infty$, to $\Tr(f)=\tr(f)$.
Niech $V_*$ będzie przestrzenią wektorową z~gradacją, zaś $f_*\colon V_*\to V_*$ endomorfizmem liniowym tej przestrzeni zachowującym gradację. Mówimy, że endomorfizm $f_*$ jest \textit{dopuszczalny}, jeżeli każde spośród odwzorowań $f_n\colon V_n\to V_n$, $n\in \mN$, jest dopuszczalne i~ponadto $N(f_n)=V_n$ dla prawie wszystkich $n\in\mN$. Wówczas określona jest \textit{uogólniona liczba Lefschetza}\index{liczba!Lefschetza!uogozzzlniona@uogólniona} odwzorowania $f_*$: \[\Lambda(f_*)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \Tr(f_n).\]\nomenclature[3e]{$\Lambda(f)$}{uogólniona liczba Lefschetza odwzorowania $f$}Jeżeli przestrzeń $V_*$ jest skończonego typu, to $\Lambda(f_*)=\lambda(f_*)$.
\begin{lem}[{\cite[Proposition 1.3]{Bowszyc68}}]\label{lem-1szy_lemat_o_liczbie_lefschetza}
Jeśli następujący diagram przestrzeni wektorowych z~gradacją i~odwzorowań liniowych zachowujących gradację
\[\xymatrix{V\ar[r]^f\ar[d]_F & W\ar[d]^G\ar[dl]^g \\ V\ar[r]_f & W}\]
jest przemienny, to homomorfizm $F=g\circ f$ jest dopuszczalny wtedy i~tylko wtedy, gdy homomorfizm $G=f\circ g$ jest dopuszczalny; ponadto zachodzi wówczas równość $\Lambda(F)=\Lambda(G)$.
\end{lem}
\begin{lem}[{\cite[Proposition 1.4]{Bowszyc68}}]\label{lem-2gi_lemat_o_liczbie_lefschetza}
Niech będzie dany następujący diagram przemienny przestrzeni wektorowych i~ich homomorfizmów
\[\xymatrix{\cdots\ar[r]& V_n'\ar[r]\ar[d]^{f_n'}& V_n\ar[r]\ar[d]^{f_n}& V_n''\ar[r]\ar[d]^{f_n''}& V_{n-1}'\ar[r]\ar[d]^{f_{n-1}'}& \cdots \\
\cdots\ar[r]& V_n'\ar[r]& V_n\ar[r]& V_n''\ar[r]& V_{n-1}'\ar[r]& \cdots}\]
o dokładnych wierszach. Jeżeli homomorfizmy $f_*\colon V_*\to V_*$ oraz $f'_*\colon V_*'\to V_*'$ są dopuszczalne, to homomorfizm $f_*''\colon V_*''\to V_*''$ jest również dopuszczalny i~zachodzi równość \[\Lambda(f'')=\Lambda(f)-\Lambda(f').\]
\end{lem}
\begin{lem}\label{lem-permutowanie_podprzestrzeni_a_liczba_lefschetza}
Niech przestrzeń wektorowa $V=\bigoplus_{i\in I}V_i$ będzie sumą prostą rodziny swoich podprzestrzeni $\{V_i\}_{i\in I}$, zaś $f\colon V\to V$ niech będzie dopuszczalnym homomorfizmem liniowym o~tej własności, że dla każdego indeksu $i\in I$ istnieje indeks $i'\in I\smallsetminus\{i\}$ taki, że $f(V_i)\subseteq V_{i'}$. Wówczas~$\Tr(f)=0$.
\end{lem}
\begin{proof}
Dla każdego $i\in I$ ustalmy bazę $B_i=\{b_j^i\}_{j\in J_i}$ przestrzeni $V_i$. Zbiór $B=\bigcup_{i\in I} B_i=\{b_j\}_{j\in J}$ jest bazą przestrzeni $V$. Przez $p_i\colon V\to V_i$ oznaczmy rzutowanie przestrzeni $V$~na współrzędne wyznaczone przez bazę $B_i$. Dla $j\in J$ niech $\tilde{b}_j=b_j+N(f)$. Zbiór $\left\{\tilde{b}_j\right\}_{j\in J}$ zawiera pewną bazę $\tilde{B}=\left\{\tilde{b}_1,\ldots,\tilde{b}_n\right\}$ przestrzeni $V\big/N(f)$. Oznaczmy przez $\tilde{f}\colon V\big/N(f)\to V\big/N(f)$ homomorfizm indukowany przez $f$~na przestrzeni $V\big/N(f)$. Ustalmy element $\tilde{b}_k\in \tilde{B}$; dla ustalenia uwagi niech $k=1$.
Przypuśćmy, że \[\tilde{f}\left(\tilde{b}_1\right)=\alpha_1 \tilde{b}_1+\sum_{i=2}^{n}\alpha_i \tilde{b}_i\] dla pewnych skalarów $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{Q}$, przy czym $\alpha_1\not=0$. Oznacza to, że \[f(b_1+N(f))=\alpha_1 b_1+N(f)+\sum_{i=2}^{n}(\alpha_i b_i+N(f)),\] czyli \[\alpha_1 b_1+\sum_{i=2}^{n}\alpha_i b_i - f(b_1)\in N(f).\] Istnieje zatem liczba naturalna $m\in\mN$ taka, że \[f^{m}\left(\alpha_1 b_1+\sum_{i=2}^{n}\alpha_i b_i - f(b_1)\right)=0.\] Stąd otrzymujemy równość \[f^{m+1}(b_1)=\alpha_1 f^{m}(b_1)+\sum_{i=2}^{n} \alpha_i f^{m}(b_i).\]
Niech $i_1\in I$ będzie indeksem o~tej własności, że $f^{m+1}(b_1)\in V_{i_1}$. (Istnienie takiego indeksu wynika z~założenia o~funkcji $f$.) Wówczas \[f^{m+1}(b_1)=p_{i_1}\left(f^{m+1}(b_1)\right)=p_{i_1}\left( \alpha_1 f^{m}(b_1)+\sum_{i=2}^{n} \alpha_i f^{m}(b_i)\right )=\sum_{f^m(b_i)\in V_{i_1}} \alpha_i f^{m}(b_i).\] Ale $f^m(b_1)\not\in V_{i_1}$ z~założenia o~funkcji $f$. Wobec tego, od ostatniej równości cofając się przez kolejne kroki dowodu, otrzymujemy \[\tilde{f}\left(\tilde{b}_1\right)=\sum_{j=2}^{n}\alpha_i' \tilde{b}_i\] dla pewnych skalarów $\alpha_2',\ldots,\alpha_n'\in\mathbb{Q}$, co jest sprzeczne z~jednoznacznością przedstawienia wektora $\tilde{f}\left(\tilde{b}_1\right)$ jako kombinacji liniowej elementów bazowych.
Liczba $\alpha_1$ jest zatem równa $0$, co z~dowolności wyboru wektora $\tilde{b}_k$ oznacza, że \[0=\tr\left(\tilde{f}\right)=\Tr(f).\qedhere\]
\end{proof}
Niech $(X,A)$ będzie parą przestrzeni topologicznych, zaś $f\colon (X,A)\to (X,A)$ ciągłym odwzorowaniem. Odwzorowanie $f$~nazywamy \textit{dopuszczalnym}\index{odwzorowanie!dopuszczalne}, o~ile homomorfizm $H_*(f)\colon H_*(X,A)\to H_*(X,A)$ jest dopuszczalny (przez $H_*$ rozumiemy tu funktor homologii singularnych o~współczynnikach w~ciele liczb wymiernych). W~tym przypadku definiujemy \textit{uogólnioną liczbę Lefschetza ciągłego odwzorowania $f$} w~następujący sposób: \[\Lambda(f)=\Lambda(H_*(f)).\]
Następujący lemat jest natychmiastowym wnioskiem z~lematu \ref{lem-permutowanie_podprzestrzeni_a_liczba_lefschetza}.
\begin{lem}\label{lem-permutowanie-skladowych-a-liczba-lefschetza}
Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $f\colon X\to X$ ciągłym odwzorowaniem o~tej własności, że $f(S)\cap S=\emptyset$ dla każdej składowej łukowej spójności $S$~przestrzeni $X$. Jeśli liczba $\Lambda(f)$ jest dobrze określona, to $\Lambda(f)=0$.
\end{lem}
Dla $f\colon (X,A)\to (X,A)$ oznaczmy przez $f_X\colon X\to X$, $f_A\colon A\to A$ odwzorowania indukowane przez $f$. Prawdziwe jest następujące relatywne twierdzenie Lefschetza o~punkcie stałym.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 11.3]{Gorniewicz05},por. \cite[Theorem 4.5]{Bowszyc68}}]\label{tw-lefschetza_o_punkcie_stalym}
Niech $(X,A)$ będzie parą \mbox{ANR}-ów, zaś $f\colon (X,A)\to (X,A)$ będzie ciągłym odwzorowaniem o~tej własności, że odwzorowania $f_X\colon X\to X$, $f_A\colon A\to A$ są zwarte. Wówczas liczba $\Lambda(f)$ jest dobrze określona oraz jeśli $\Lambda(f)\not=0$, to $\Fix(f)\cap \overline{X\smallsetminus A}\not=\emptyset$.
\end{tw}
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Indeks punktów stałych}
Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, zaś $U\subseteq X$ jej otwartym podzbiorem. Ciągłe odwzorowanie $f\colon U\to X$ nazywamy \textit{dozwolonym}\index{odwzorowanie!dozwolone}, jeżeli zbiór $\Fix(f)$ jest zwarty. Homotopię $h\colon U\times \I\to X$ nazywamy \textit{dozwoloną}\index{homotopia!dozwolona}, gdy zbiór $\bigcup_{t\in \I}\Fix(h_t)$ jest zwarty.
Niech $\mathfrak{A}$ oznacza klasę wszystkich dozwolonych odwzorowań o~przeciwdziedzinach będących lokalnie zwartymi, metrycznymi ANR-ami.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 12.1]{Granas72}, zob. też \cite{Nussbaum93}}]\label{tw-granasa-o-indeksie}
Istnieje przyporządkowanie $\Ind\colon \mathfrak{A}\to \mathbb{Z}$~o~niżej wymienionych własnościach.
\begin{enumerate}[\normalfont (I)]\label{aksjomaty_indeksu}
\item (\textit{Wycinanie.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$, podzbiór $U'\subseteq U$ jest otwarty oraz $\Fix(f)\subseteq U'$, to zachodzi równość $\Ind(f)=\Ind\left(f\big |_{U'}\colon U'\to X\right)$.
\item (\textit{Addytywność.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$, zbiory $U_1,\ldots,U_k\subseteq U$ są otwarte, $U=\bigcup_{i=1}^{k} U_i$ oraz zbiory $\Fix(f)\cap U_i$, $i=1,\ldots,k$, są parami rozłączne, to zachodzi równość $\Ind(f)=\sum_{i=1}^{k}\Ind\left(f\big |_{U_i}\colon U_i\to X\right)$.
\item (\textit{Punkt stały.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$ oraz $\Ind(f)\not=0$, to $\Fix(f)\not=\emptyset$.
\item (\textit{Homotopia.}) Jeżeli $h\colon U\times \I\to X$ jest dozwoloną homotopią pomiędzy odwzorowaniami należącymi do $\mathfrak{A}$, to zachodzi równość $\Ind(h_0)=\Ind(h_1)$.
\item (\textit{Multiplikatywność.}) Jeśli odwzorowania $f_1\colon U_1\to X_1$, $f_2\colon U_2\to X_2$ należą do $\mathfrak{A}$, to zachodzi równość $\Ind\left(f_1\times f_2\colon U_1\times U_2\to X_1\times X_2\right)=\Ind(f_1)\Ind(f_2)$.
\item (\textit{Przemienność.}) Jeśli $X_1$, $X_2$ są lokalnie zwartymi ANR-ami, $U_1\subseteq X_1$, $U_2\subseteq X_2$ są ich otwartymi podzbiorami, zaś $f_1\colon U_1\to X_2$, $f_2\colon U_2\to X_1$ są ciągłymi odwzorwaniami o~tej własności, że jedno ze złożeń \[\left(f_1\circ f_2\big|_{f_2^{-1}(U_1)}\right)\colon f_2^{-1}(U_1)\to X_1,\quad \left(f_2\circ f_1\big|_{f_1^{-1}(U_2)}\right)\colon f_1^{-1}(U_2)\to X_2\] jest dozwolonym odwzorowaniem, to również drugie z~tych złożeń jest dozwolonym odwzorowaniem i~zachodzi równość \[\Ind\left(f_1\circ f_2\big|_{f_2^{-1}(U_1)}\right)=\Ind\left(f_2\circ f_1\big|_{f_1^{-1}(U_2)}\right).\]
\item (\textit{Normalizacja.}) Jeżeli odwzorowanie $f\colon X\to X$ należy do $\mathfrak{A}$ i~jest zwarte, to dobrze określona jest uogólniona liczba Lefschetza $\Lambda(f)$ oraz $\Ind(f)=\Lambda(f)$.
\end{enumerate}
\end{tw}
Liczbę $\Ind(f)$\nomenclature[3c]{$\Ind(f)$}{indeks punktów stałych odwzorowania $f$}~z~twierdzenia \ref{tw-granasa-o-indeksie} nazywamy \textit{indeksem punktów stałych}\index{indeks!punktozzzw stalzzzych@punktów stałych} odwzorowania $f\in\mathfrak{A}$.
\begin{lem}[{\cite[p.~316]{Granas03}}]\label{wlasnosc_viii}
Niech $(X,A)$ będzie parą lokalnie zwartych ANR-ów, przy czym $A\subseteq X$ niech będzie zbiorem domkniętym, zaś $U\subseteq X$ niech będzie zbiorem otwartym. Dla ciągłego odwzorowania $f\colon U\to X$ o~tej własności, że $f(U)\subseteq A$, zachodzi równość \[\Ind(f)=\Ind\left(f\big |_{U\cap A}\colon U\cap A\to A\right).\]
\end{lem}
\begin{comment}
Niech $\mathfrak{C}$ będzie podkategorią kategorii przestrzeni topologicznych i~ich ciągłych odwzorowań, $\mathfrak{A}$ pewną klasą wyróżnionych dozwolonych odwzorowań należących do kategorii $\mathfrak{C}$, zaś $\mathfrak{A}_h$ klasą wyróżnionych dozwolonych homotopii w~$\mathfrak{C}$ pomiędzy odwzorowaniami z~klasy $\mathfrak{A}$. \textit{Indeksem punktów stałych} na trójce $(\mathfrak{C},\mathfrak{A},\mathfrak{A}_h)$ nazywamy przyporządkowanie $\Ind\colon \mathfrak{A}\to \mathbb{Z}$\nomenclature[ozn-indeks_punktow_stalych]{$\Ind(f)$}{indeks punktów stałych odwzorowania $f$} takie, że spełnione są następujące aksjomaty.
\begin{enumerate}[(I)]\label{aksjomaty_indeksu}
\item (\textit{Wycinanie.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$, podzbiór $U'\subseteq U$ jest otwarty oraz $\Fix(f)\subseteq U'$, to ograniczenie $f'=f\big |_{U'}\colon U'\to X$ należy do $\mathfrak{A}$ oraz $\Ind(f)=\Ind(f')$.
\item (\textit{Addytywność.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$, zbiór $U=\bigcup_{i=1}^{k} U_i$ dla pewnej rodziny zbiorów otwartych $\{U_i\}_{i=1}^{k}$ oraz zbiory $\Fix(f)\cap U_i$, $i=1,\ldots,k$, są parami rozłączne, to funkcje $f_i=f\big |_{U_i}\colon U_i\to X$, $i=1,\ldots, k$, należą do $\mathfrak{A}$ oraz $\Ind(f)=\sum_{i=1}^{k}\Ind(f_i)$.
\item (\textit{Punkt stały.}) Jeżeli $f\colon U\to X$ należy do $\mathfrak{A}$ oraz $\Ind(f)\not=0$, to $\Fix(f)\not=\emptyset$.
\item (\textit{Homotopia.}) Jeżeli $h\colon U\times \I\to X$ jest homotopią należącą do $\mathfrak{A}_h$, to $\Ind(h_0)=\Ind(h_1)$.
\item (\textit{Multiplikatywność.}) Jeśli $f_1\colon U_1\to X_1$ i~$f_2\colon U_2\to X_2$ należą do $\mathfrak{A}$, to również ich iloczyn kartezjański $f_1\times f_2\colon U_1\times U_2\to X_1\times X_2$ należy do $\mathfrak{A}$ oraz $\Ind(f_1\times f_2)=\Ind(f_1)\Ind(f_2)$.
\item (\textit{Przemienność.}) Jeśli $U_1\subseteq X_1$, $U_2\subseteq X_2$ są zbiorami otwartymi, zaś $f_1\colon U_1\to X_2$, $f_2\colon U_2\to X_1$ są ciągłymi odwzorwaniami o~tej własności, że jedno ze złożeń \[(f_1\circ f_2)\colon f_2^{-1}(U_1)\to X_1,\quad (f_2\circ f_1)\colon f_1^{-1}(U_2)\to X_2\] należy do $\mathfrak{A}$, to do $\mathfrak{A}$ należy również drugie z~tych złożeń i~zachodzi równość $\Ind(f_1\circ f_2)=\Ind(f_2\circ f_1)$.
\item (\textit{Normalizacja.}) Jeżeli $f\colon X\to X$ należy do $\mathfrak{A}$, to dobrze określona jest uogólniona liczba Lefschetza $\Lambda(f)$ oraz $\Ind(f)=\Lambda(f)$.
\end{enumerate}
Przykładowo, indeks punktów stałych istnieje i~jest wyznaczony jednoznacznie, gdy za~$\mathfrak{C}$ przyjmiemy kategorię zwartych, metrycznych ANR-ów, zaś za $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_h$ odpowiednio wszystkie ciagłe odwzorowania w~tej kategorii i~wszystkie ich dozwolone homotopie. Jeżeli za $\mathfrak{C}$ przyjmiemy kategorię otwartych podzbiorów przestrzeni euklidesowych, zaś za $\mathfrak{A}$, $\mathfrak{A}_h$ klasy wszystkich dozwolonych odwzorowań i~homotopii w~$\mathfrak{C}$, to istnieje indeks spełniający aksjomaty (I)-(VI). Spełnia on~aksjomat (VII) przy dodatkowym założeniu, że odwzorowanie $f\colon X\to X$~z~tego aksjomatu jest zwarte. Wynik ten sformułowany został w~pracy Dolda \cite{Dold65} i~był później na różne sposoby uogólniany. Dla celów niniejszej rozprawy użyteczne okaże się następujące uogólnienie, pochodzące od Granasa.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 12.1]{Granas72}, zob. też \cite{Nussbaum93}}]\label{tw-granasa-o-indeksie}
Niech $\mathfrak{C}$ będzie kategorią metrycznych ANR-ów, $\mathfrak{A}$ klasą tych dozwolonych odwzorowań $f$~w~$\mathfrak{C}$, których ograniczenie $f\big |_V$ do pewnego zbioru otwartego $V$ zawierającego zbiór $\Fix(f)$ jest zwartym odwzorowaniem, zaś $\mathfrak{A}_h$ klasą tych dozwolonych homotopii $h$~pomiędzy odwzorowaniami z~$\mathfrak{A}$, dla których istnieje otwarte otoczenie $W$~zbioru $\bigcup_{t\in \I}\Fix(h_t)$ o~tej własności, że odwzorowanie $h_t\big |_W$ jest zwarte dla każdego $t\in \I$. Istnieje wówczas przyporządkowanie $\Ind\colon\mathfrak{A}\to \mathbb{Z}$ spełniające aksjomaty (I)-(V), a także aksjomat (VI) przy dodatkowym założeniu, że odwzorowanie $f_1$ jest zwarte po ograniczeniu do pewnego otwartego otoczenia zbioru $\Fix(f_2\circ f_1)$, oraz aksjomat (VII) przy dodatkowym założeniu, że odwzorowanie $f$ jest zwarte.
\end{tw}
Zauważmy, że z~powyższego twierdzenia wynika, iż przyporządkowanie $\Ind$ jest określone dla wszystkich odwzorowań dopuszczalnych $f\colon U\to X$ takich, że $U$ jest otwartym podzbiorem lokalnie zwartego ANR-u $X$.
Często użyteczna okazuje się poniższa własność (por. \cite[s.~316]{Granas03}).
\begin{enumerate}
\item[(VIII)] Niech $(X,A)$ będzie parą ANR-ów, przy czym $A\subseteq X$ niech będzie zbiorem domkniętym. Niech $U\subseteq X$ będzie zbiorem otwartym, zaś $f\colon U\to X$ odwzorowaniem dopuszczalnym i~takim, że $f(U)\subseteq A$. Przy oznaczeniu $f'=f\big |_{U\cap A}\colon U\cap A\to A$ zachodzi równość $\Ind(f)=\Ind(f')$.
\end{enumerate}
\end{comment}
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------------------------
\subsection{Punkty stałe w~częściowych porządkach i~kompleksach symplicjalnych}
Mówimy, że częściowy porządek $P$~ma \textit{własność punktu stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!punktu stalzzzego@punktu stałego!czezzzszzzciowego porzazzzdku@częściowego porządku}\index{czezzzszzzciowy porzazzzdek@częściowy porządek!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!punktu stalzzzego@punktu stałego} ze względu na funkcje zachowujące porządek, co zapisujemy symbolicznie przez $P\in \FPP$\nomenclature[3ka]{$X\in \FPP$}{wersja teorioporządkowa XXX}, o~ile każde zachowujące porządek odwzorowanie $P\to P$ ma punkt stały.
\begin{tw}[{\cite[Theorem 1.2]{Baclawski79}}]\label{tw-baclawski-bjorner}
Niech $P$~będzie skończonym zbiorem częściowo uporządkowanym, zaś $f\colon P\to P$ odwzorowaniem zachowującym porządek. Zachodzi wówczas równość liczby Lefschetza odwzorowania $f$~oraz~charakterystyki Eulera zbioru jego punktów stałych: $\lambda(f)=\chi(\Fix(f))$.
\end{tw}
\begin{tw}[Abiana-Browna, {\cite[Theorem 3.4.7]{Schroder03}}]\label{tw-abiana_browna}
Niech $P$~będzie łańcuchowo zupełnym częściowym porządkiem, zaś $f\colon P\to P$ odwzorowaniem zachowującym porządek. Jeżeli istnieje element $p\in P$ o~tej własności, że $f(p)\geq p$, to zbiór $\Fix(f)\cap p\mathord{\uparrow}$ ma element najmniejszy.
\end{tw}
Niech $P$~będzie łańcuchowo zupełnym częściowym porządkiem oraz niech $f\colon P\to P$ będzie zachowującym porządek odwzorowaniem. Jeżeli $f(p)\sim p$ dla każdego $p\in P$, to określić możemy \textit{retrakcję Abiana-Browna}\index{retrakcja!Abiana-Browna} $\AB(f)\colon P\to \Fix(f)$,\nomenclature[4j]{$\AB(f)$}{retrakcja Abiana-Browna stowarzyszona z~zachowującym porządek odwzorowaniem $f$} dla $p\in P$ przyjmując
\[\AB(f)(p)=\begin{cases}\min(\Fix(f)\cap p\mathord{\uparrow}), &\text{jeżeli } f(p)\geq p,\\\max(\Fix(f)\cap p\mathord{\downarrow}), &\text{jeżeli } f(p)\leq p.\end{cases}\] Odwzorowanie $\AB(f)$ jest, na podstawie twierdzenia \ref{tw-abiana_browna}, dobrze określone. Nietrudno sprawdzić, że jest ono zachowującą porządek retrakcją.
Ustalmy kompleks symplicjalny $K$. \textit{Sympleksem stałym}\index{sympleks!stalzzzy@stały} odwzorowania symplicjalnego $\varphi\colon K\to K$ nazywamy każdy taki sympleks $\sigma\in K$, że $\varphi(\sigma)=\sigma$. Jeśli każde odwzorowanie symplicjalne $\varphi\colon K\to K$ ma sympleks stały, to mówimy, że $K$~ma \textit{własność sympleksu stałego} i~piszemy $K\in\FSP$.\nomenclature[3i]{$K\in\FSP$}{kompleks symplicjalny $K$~ma własność sympleksu stałego}\index{wlzzzasnoszzzczzz@własność!sympleksu stalzzzego@sympleksu stałego}\index{kompleks symplicjalny!ma wlzzzasnoszzzc@ma własność!sympleksu stalzzzego@sympleksu stałego}
Dla częściowego porządku $P$~oraz kompleksu symplicjalnego $K$~oczywiste są następujące implikacje:
\begin{align}
|\mK(P)|\in\FPP \Longrightarrow \mK(P)\in\FSP \Longrightarrow P\in\FPP\label{implikacje_pierwsze}\end{align}
oraz
\begin{align}|K|\in\FPP \Longrightarrow \mP(K)\in\FPP \Longrightarrow K\in\FSP.\label{implikacje_drugie}\end{align}
Ponadto, jeżeli $\mP(K)$~nie zawiera nieskończonego łańcucha, ma miejsce równoważność \cite[Proposition 6.3.15]{Schroder03}\label{schroder-fsp-wtw-fpp}: \[\mP(K)\in\FPP \iff K\in\FSP.\] Implikacje przeciwne do pozostałych spośród podanych w~(\ref{implikacje_pierwsze}) oraz (\ref{implikacje_drugie}) nie są prawdziwe (por.~\cite[Example 2.4]{Baclawski79}, \cite[Example 6.3.6]{Schroder03} oraz \cite{13034}).
Jeżeli $\phi\colon K\to K$ jest odwzorowaniem symplicjalnym, to zbiór $\Fix(|\phi|)$ punktów stałych jego realizacji geometrycznej na ogół nie jest realizacją geometryczną żadnego podkompleksu $K$. Z~drugiej strony, jeżeli $f\colon P\to P$ jest funkcją zachowującą porządek, to jak łatwo zauważyć \[\Fix(|\mK(f)|)=|\mK(\Fix(f))|.\]
Dla odwzorowania symplicjalnego $\phi\colon K\to K$ zachodzą zatem, dzięki przemienności diagramu (\ref{kwadrat_o_realizacji_geom}), równości:
\begin{equation}\Fix(|\phi|)= \Fix(|\mK(\mP(\phi))|)=|\mK(\Fix(\mP(\phi)))|.\label{rownosc_fixpunktow_po_podziale_barycentrycznym}\end{equation}
Stosując równości (\ref{rownosc_fixpunktow_po_podziale_barycentrycznym}) otrzymujemy następujący wniosek z~twierdzenia \ref{tw-baclawski-bjorner}.
\begin{wn}\label{wn-baclawski-bjorner}
Niech $K$~będzie skończonym kompleksem symplicjalny, zaś \mbox{$\phi\colon K\to K$} odwzorowaniem symplicjalnym. Zachodzi wówczas równość liczby Lefschetza odwzorowania $|\phi|\colon |K|\to |K|$~oraz~charakterystyki Eulera zbioru jego punktów stałych: $\lambda(|\phi|)=\chi(\Fix(|\phi|))$.
\end{wn}
%====================================================================
%====================================================================
%====================================================================
\section{Działania grup}\label{sec-dzialania grup}
\textit{Działaniem grupy}\index{dzialzzzanie grupy@działanie grupy} $\Gamma$~na obiekcie $X$~pewnej kategorii nazywamy homomorfizm $\rho\colon \Gamma\to \Aut(X)$\nomenclature[1u]{$\Aut(X)$}{grupa automorfizmów obiektu $X$} grupy $\Gamma$~w~grupę automorfizmów obiektu $X$. Jeżeli $X$~jest zbiorem, być może wyposażonym w~dodatkową strukturę, np.~topologię lub porządek, zaś elementy $\Aut(X)$ są bijekcjami $X\to X$, to dla $x\in X$ oraz $g\in \Gamma$ przyjmujemy skrótowe oznaczenie $gx=\rho(g)(x)$; podobnie, jeśli $A\subseteq X$, to piszemy $g(A)=\rho(g)(A)$.
Jeżeli grupa $\Gamma$~działa na zbiorze $X$, to dla $x\in X$ przez $\Gamma x=\{gx:g\in\Gamma\}$\nomenclature[1v]{$\Gamma x$}{orbita punktu $x$~względem działania grupy $\Gamma$} oznaczamy \textit{orbitę}\index{orbita} punktu $x$~względem działania grupy $\Gamma$. Symbolem \[X\big/\Gamma=\{\Gamma x:x\in X\}\]\nomenclature[1w]{$X\big/\Gamma$}{zbiór orbit względem działania grupy $\Gamma$~na zbiorze $X$} oznaczamy zbiór wszystkich orbit względem działania grupy $\Gamma$~na przestrzeni~$X$.
\textit{Punktem stałym działania grupy}\index{punkt!stalzzzy@stały!dzialzzzania grupy@działania grupy} $\Gamma$~na zbiorze $X$~nazywamy każdy taki element $x\in X$, że $gx=x$ dla wszystkich $g\in \Gamma$. Zbiór punktów stałych działania $\Gamma$~na~$X$~oznaczamy przez $X^\Gamma$.\index{zbiozzzr@zbiór!punktozzzw stalzzzych@punktów stałych!dzialzzzania grupy@działania grupy}
Mówimy, że działanie grupy $\Gamma$~na kompleksie symplicjalnym $K$~jest \textit{dopuszczalne}\index{dzialzzzanie grupy@działanie grupy!dopuszczalne}, o~ile dla każdego elementu $g\in \Gamma$ oraz każdego sympleksu $\sigma\in K$~z~równości $g(\sigma)=\sigma$ wynika, że $gv=v$ dla wszystkich wierzchołków $v\in \sigma$. Jeżeli działanie grupy $\Gamma$~na kompleksie symplicjalnym $K$~jest dopuszczalne, to definiujemy jego podkompleks \[K^\Gamma=K\big|_{\{v\in V\ :\ gv=v \text{ dla każdego } g\in \Gamma\}}.\]\nomenclature[1x]{$K^\Gamma$}{pełny podkompleks kompleksu symplicjalnego $K$~rozpięty na zbiorze wierzchołków stałych dopuszczalnego, symplicjalnego działania grupy $\Gamma$~na $K$}
Działanie grupy $\Gamma$~na $K$~indukuje działanie $\Gamma$~na przestrzeni topologicznej $|K|$. Jeśli $\Gamma$~działa na $K$~w~sposób dopuszczalny, to \[|K|^\Gamma=|K^\Gamma|.\]
Nietrudno również spostrzec, że jeśli $\Gamma$~działa na częściowym porządku $P$, to indukowane działanie $\Gamma$~na $\mK(P)$ jest dopuszczalne, a~ponadto $\mK\bigl(P^\Gamma\bigr)=\mK(P)^\Gamma$.
Przestrzeń topologiczną z~ustalonym działaniem grupy $\Gamma$~nazywamy \mbox{\textit{$\Gamma$-przestrzenią}}\index{gzzzamma-@$\Gamma$-!-przestrzenzzz@-przestrzeń}. Parę przestrzeni topologicznych $(X,A)$~nazywamy \mbox{$\Gamma$-parą}\index{gzzzamma-@$\Gamma$-!-para}, o~ile ustalone jest działanie grupy $\Gamma$~na przestrzeni $X$~takie, że $g(A)=A$ dla każdego $g\in\Gamma$.
Ustalmy $\Gamma$-przestrzenie $X, Y$. Ciągłe przekształcenie $f\colon X\to Y$ nazywamy \textit{$\Gamma$-odwzorowaniem} (lub \textit{ekwiwariantnym odwzorowaniem})\index{gzzzamma-@$\Gamma$-!-odwzorowanie}\index{odwzorowanie!ekwiwariantne}, o~ile $f(gx)=gf(x)$ dla wszystkich $g\in \Gamma$, $x\in X$. Homotopię $h\colon X\times \I\to Y$ nazywamy \textit{$\Gamma$-homotopią} (lub \textit{ekwiwariantną homotopią}\index{gzzzamma-@$\Gamma$-!-homotopia}\index{homotopia!ekwiwariantna}), o~ile dla każdego $t\in \I$ funkcja $h_t\colon X\to Y$ jest $\Gamma$-odwzorowaniem. Ekwiwariantne odwzorowanie $f\colon X\to Y$ nazywamy \mbox{\textit{$\Gamma$-homotopijną równoważnością}} (lub \textit{ekwiwariantną homotopijną równoważnością})\index{gzzzamma-@$\Gamma$-!-homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@-homotopijna równoważność}\index{homotopijna rozzzwnowazzzznoszzzczzz@homotopijna równoważność!ekwiwariantna}\index{typ homotopijny!ekwiwariantny}, jeśli istnieje ekwiwariantne odwzorowanie $g\colon Y\to X$ o~tej własności, że złożenie $f\circ g$~jest ekwiwariantnie homotopijne z~odwzorowaniem $\id_{Y}$, zaś złożenie $g\circ f$ jest ekwiwariantnie homotopijne z~funkcją $\id_X$.
Jeżeli $(X,A)$ jest $\Gamma$-parą oraz $i\colon A\hookrightarrow X$ jest włożeniem, to retrakcję \mbox{$r\colon X\to A$} nazywamy \textit{ekwiwariantną mocną retrakcją deformacyjną}\index{retrakcja!mocna deformacyjna!ekwiwariantna}, o~ile istnieje ekwiwariantna homotopia $h\colon X\times \I\to X$ taka, że $h_0=i\circ r$, $h_1=\id_X$ oraz $h(a,t)=a$ dla wszystkich $a\in A$ , $t\in I$.