1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
1629
1630
1631
1632
1633
1634
1635
1636
1637
1638
1639
1640
1641
1642
1643
1644
1645
1646
1647
1648
1649
1650
1651
1652
1653
1654
1655
1656
1657
1658
1659
1660
1661
1662
1663
1664
1665
1666
1667
1668
1669
1670
1671
1672
1673
1674
1675
1676
1677
1678
1679
1680
1681
1682
1683
1684
1685
1686
1687
1688
1689
1690
1691
1692
1693
1694
1695
1696
1697
1698
1699
1700
1701
1702
1703
1704
1705
1706
1707
1708
1709
1710
1711
1712
17131
00:00:00,000 --> 00:00:04,407
Izinkan saya mengeluarkan buku teks persamaan diferensial lama yang saya pelajari
2
00:00:04,407 --> 00:00:08,600
di perguruan tinggi, dan mari kita beralih ke latihan kecil yang lucu di sini
3
00:00:08,600 --> 00:00:11,395
yang meminta pembaca untuk menghitung E pangkat di,
4
00:00:11,395 --> 00:00:13,921
di mana kita diberitahu akan menjadi matriks ,
5
00:00:13,921 --> 00:00:17,200
dan sindirannya sepertinya hasilnya juga akan berupa matriks.
6
00:00:18,460 --> 00:00:21,280
Ini kemudian menawarkan beberapa contoh tentang apa yang mungkin Anda pasang untuk a.
7
00:00:22,240 --> 00:00:25,759
Sekarang, dengan mengambil konteksnya, memasukkan matriks ke dalam eksponen
8
00:00:25,759 --> 00:00:28,028
seperti ini mungkin tampak seperti omong kosong,
9
00:00:28,028 --> 00:00:30,528
namun yang dimaksud adalah operasi yang sangat indah,
10
00:00:30,528 --> 00:00:33,400
dan alasan kemunculannya dalam buku ini adalah karena berguna.
11
00:00:33,880 --> 00:00:37,080
Ini digunakan untuk menyelesaikan kelas persamaan diferensial yang sangat penting.
12
00:00:37,800 --> 00:00:41,634
Pada gilirannya, mengingat alam semesta sering ditulis dalam bahasa persamaan
13
00:00:41,634 --> 00:00:44,829
diferensial, Anda juga akan melihat hal ini muncul dalam fisika,
14
00:00:44,829 --> 00:00:48,860
terutama dalam mekanika kuantum, di mana eksponen matriks berserakan di mana-mana.
15
00:00:49,140 --> 00:00:50,800
Mereka memainkan peran yang sangat penting.
16
00:00:51,240 --> 00:00:53,461
Hal ini sangat berkaitan dengan persamaan Schrodinger,
17
00:00:53,461 --> 00:00:56,248
yang akan kita bahas nanti, dan mungkin juga membantu dalam memahami
18
00:00:56,248 --> 00:00:59,480
hubungan romantis Anda, tetapi sekali lagi, semuanya akan terjadi pada waktunya.
19
00:01:05,420 --> 00:01:08,941
Sebagian besar alasan saya ingin membahas topik ini adalah karena ada cara yang
20
00:01:08,941 --> 00:01:12,639
sangat bagus untuk memvisualisasikan apa yang sebenarnya dilakukan eksponen matriks
21
00:01:12,639 --> 00:01:15,588
menggunakan aliran yang sepertinya tidak dibicarakan banyak orang,
22
00:01:15,588 --> 00:01:19,021
namun untuk sebagian besar bab ini, mari kita Mulailah dengan menguraikan apa
23
00:01:19,021 --> 00:01:22,675
sebenarnya operasinya, dan lihat apakah kita dapat merasakan masalah apa saja yang
24
00:01:22,675 --> 00:01:23,600
bisa kita selesaikan.
25
00:01:24,060 --> 00:01:27,079
Hal pertama yang harus Anda ketahui adalah bahwa ini bukanlah cara
26
00:01:27,079 --> 00:01:30,280
aneh untuk mengalikan konstanta e dengan dirinya sendiri beberapa kali.
27
00:01:30,780 --> 00:01:32,260
Anda berhak menyebut itu omong kosong.
28
00:01:33,020 --> 00:01:36,579
Definisi sebenarnya terkait dengan polinomial tak hingga tertentu untuk
29
00:01:36,579 --> 00:01:40,040
mendeskripsikan pangkat bilangan real e, yang kita sebut deret Taylor.
30
00:01:40,800 --> 00:01:46,635
Misalnya, jika saya mengambil angka 2 dan memasukkannya ke dalam polinomial ini,
31
00:01:46,635 --> 00:01:50,021
maka saat Anda menjumlahkan lebih banyak suku,
32
00:01:50,021 --> 00:01:55,712
yang masing-masing sukunya tampak seperti pangkat 2 dibagi beberapa faktorial,
33
00:01:55,712 --> 00:02:01,260
jumlahnya mendekati angka mendekati 7.389, dan angka ini tepatnya e dikali e.
34
00:02:01,980 --> 00:02:05,472
Jika Anda menambah input ini dengan satu, maka secara ajaib,
35
00:02:05,472 --> 00:02:10,166
tidak peduli dari mana Anda memulai, efek pada output selalu mengalikannya dengan
36
00:02:10,166 --> 00:02:11,140
faktor e lainnya.
37
00:02:12,260 --> 00:02:14,455
Untuk alasan yang akan Anda lihat sebentar lagi,
38
00:02:14,455 --> 00:02:17,815
para ahli matematika menjadi tertarik untuk memasukkan segala macam hal ke
39
00:02:17,815 --> 00:02:20,548
dalam polinomial ini, hal-hal seperti bilangan kompleks dan,
40
00:02:20,548 --> 00:02:23,773
untuk tujuan kita hari ini, matriks, bahkan ketika objek-objek tersebut
41
00:02:23,773 --> 00:02:25,700
tidak langsung masuk akal sebagai eksponen.
42
00:02:26,660 --> 00:02:29,300
Apa yang dilakukan beberapa penulis adalah memberi nama polinomial
43
00:02:29,300 --> 00:02:32,020
tak terbatas ini exp ketika Anda memasukkan input yang lebih eksotis.
44
00:02:32,520 --> 00:02:36,241
Ini merupakan petunjuk lembut terhadap hubungan antara fungsi eksponensial
45
00:02:36,241 --> 00:02:40,260
dengan bilangan real, meskipun jelas input ini tidak masuk akal sebagai eksponen.
46
00:02:40,960 --> 00:02:45,405
Namun, konvensi umum yang sama adalah memberikan anggukan yang tidak terlalu halus pada
47
00:02:45,405 --> 00:02:49,952
koneksi dan hanya menyingkat semuanya menjadi e pangkat objek apa pun yang Anda masukkan,
48
00:02:49,952 --> 00:02:54,500
apakah itu bilangan kompleks atau matriks, atau segala macam hal objek yang lebih eksotis.
49
00:02:55,220 --> 00:02:57,661
Jadi, meskipun persamaan ini merupakan teorema bilangan real,
50
00:02:57,661 --> 00:03:00,260
persamaan ini merupakan definisi untuk masukan yang lebih eksotik.
51
00:03:01,040 --> 00:03:03,900
Secara sinis, Anda bisa menyebut ini sebagai penyalahgunaan notasi secara terang-terangan.
52
00:03:04,720 --> 00:03:07,154
Lebih baik lagi, Anda mungkin melihatnya sebagai contoh
53
00:03:07,154 --> 00:03:09,720
siklus indah antara penemuan dan penemuan dalam matematika.
54
00:03:10,700 --> 00:03:13,588
Dalam kedua kasus tersebut, memasukkan matriks bahkan ke polinomial mungkin
55
00:03:13,588 --> 00:03:16,400
tampak sedikit aneh, jadi mari kita perjelas apa yang kami maksud di sini.
56
00:03:16,900 --> 00:03:19,940
Matriks harus mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama.
57
00:03:20,460 --> 00:03:22,847
Dengan begitu Anda bisa mengalikannya dengan sendirinya
58
00:03:22,847 --> 00:03:24,680
sesuai aturan perkalian matriks yang biasa.
59
00:03:25,360 --> 00:03:27,520
Inilah yang kami maksud dengan mengkuadratkannya.
60
00:03:28,100 --> 00:03:31,849
Demikian pula, jika Anda mengambil hasil tersebut dan mengalikannya lagi dengan
61
00:03:31,849 --> 00:03:35,740
matriks aslinya, inilah yang kami maksud dengan pangkat tiga dari matriks tersebut.
62
00:03:37,640 --> 00:03:40,190
Jika Anda melanjutkan seperti ini, Anda dapat mengambil pangkat
63
00:03:40,190 --> 00:03:42,820
bilangan bulat apa pun dari sebuah matriks, itu sangat masuk akal.
64
00:03:43,320 --> 00:03:46,538
Dalam konteks ini, pangkat tetap memiliki arti persis seperti yang Anda harapkan,
65
00:03:46,538 --> 00:03:47,520
yaitu perkalian berulang.
66
00:03:53,840 --> 00:03:57,830
Setiap suku dalam polinomial ini berskala 1 dibagi beberapa faktorial,
67
00:03:57,830 --> 00:04:02,440
dan dengan matriks, artinya Anda mengalikan setiap komponen dengan angka tersebut.
68
00:04:03,280 --> 00:04:06,231
Demikian pula, selalu masuk akal untuk menjumlahkan dua matriks,
69
00:04:06,231 --> 00:04:08,820
ini adalah sesuatu yang Anda lakukan lagi suku demi suku.
70
00:04:09,540 --> 00:04:11,984
Orang yang cerdik di antara Anda mungkin bertanya betapa masuk akalnya
71
00:04:11,984 --> 00:04:14,945
untuk mengungkapkan hal ini hingga tak terhingga, yang akan menjadi pertanyaan bagus,
72
00:04:14,945 --> 00:04:16,598
yang sebagian besar akan saya tunda jawabannya,
73
00:04:16,598 --> 00:04:19,214
tapi saya dapat menunjukkan kepada Anda satu contoh yang cukup menyenangkan
74
00:04:19,214 --> 00:04:19,800
di sini sekarang.
75
00:04:20,440 --> 00:04:25,220
Ambil matriks 2x2 yang memiliki pi negatif dan pi berada di luar entri diagonalnya.
76
00:04:25,540 --> 00:04:26,640
Mari kita lihat apa yang dihasilkan dari penjumlahan tersebut.
77
00:04:27,280 --> 00:04:30,313
Istilah pertama adalah matriks identitas, inilah sebenarnya yang kita
78
00:04:30,313 --> 00:04:33,520
maksud dengan definisi ketika kita menaikkan suatu matriks ke pangkat nol.
79
00:04:34,460 --> 00:04:36,305
Kemudian kita menjumlahkan matriks itu sendiri,
80
00:04:36,305 --> 00:04:38,189
yang menghasilkan pi dari suku-suku diagonalnya,
81
00:04:38,189 --> 00:04:41,111
lalu menjumlahkan setengah dari matriks yang dikuadratkan, dan melanjutkan,
82
00:04:41,111 --> 00:04:44,379
saya akan meminta komputer untuk terus menambahkan suku-suku yang lebih banyak lagi,
83
00:04:44,379 --> 00:04:46,724
yang masing-masing memerlukan pengambilan satu matriks lagi.
84
00:04:46,724 --> 00:04:49,953
produk untuk mendapatkan kekuatan baru, dan kemudian menambahkannya ke penghitungan
85
00:04:49,953 --> 00:04:50,300
berjalan.
86
00:04:51,160 --> 00:04:55,594
Dan seiring berjalannya waktu, tampaknya nilai tersebut mendekati nilai stabil,
87
00:04:55,594 --> 00:04:58,200
yaitu sekitar negatif 1 kali matriks identitas.
88
00:04:58,880 --> 00:05:00,459
Dalam pengertian ini, kita mengatakan bahwa jumlah
89
00:05:00,459 --> 00:05:02,100
tak terhingga sama dengan identitas negatif tersebut.
90
00:05:03,040 --> 00:05:07,520
Di akhir video ini, saya berharap fakta khusus ini menjadi masuk akal bagi Anda.
91
00:05:07,920 --> 00:05:10,499
Bagi Anda yang mengetahui identitas Euler yang terkenal,
92
00:05:10,499 --> 00:05:12,400
ini pada dasarnya adalah versi matriksnya.
93
00:05:13,020 --> 00:05:16,491
Ternyata secara umum, apa pun matriks yang Anda gunakan untuk memulai,
94
00:05:16,491 --> 00:05:20,843
semakin banyak suku yang Anda tambahkan, pada akhirnya Anda akan mendekati nilai stabil,
95
00:05:20,843 --> 00:05:24,120
meskipun terkadang perlu waktu cukup lama sebelum Anda mencapainya.
96
00:05:26,600 --> 00:05:31,379
Melihat definisi seperti ini secara terpisah akan menimbulkan berbagai pertanyaan,
97
00:05:31,379 --> 00:05:34,891
terutama, mengapa matematikawan dan fisikawan tertarik untuk
98
00:05:34,891 --> 00:05:37,540
menyiksa matriks buruk mereka dengan cara ini?
99
00:05:37,900 --> 00:05:39,500
Masalah apa yang mereka coba selesaikan?
100
00:05:40,340 --> 00:05:43,685
Dan jika Anda seperti saya, sebuah operasi baru hanya akan memuaskan jika Anda
101
00:05:43,685 --> 00:05:46,480
memiliki pandangan yang jelas tentang apa yang coba dilakukannya,
102
00:05:46,480 --> 00:05:49,953
mengetahui cara memprediksi keluaran berdasarkan masukan sebelum Anda benar-benar
103
00:05:49,953 --> 00:05:50,800
menghitung angkanya.
104
00:05:51,520 --> 00:05:54,710
Bagaimana Anda bisa meramalkan bahwa matriks dengan pi di luar
105
00:05:54,710 --> 00:05:57,900
diagonalnya menghasilkan matriks identitas negatif seperti ini?
106
00:05:59,100 --> 00:06:02,474
Seringkali dalam matematika Anda harus melihat definisi bukan sebagai titik awal,
107
00:06:02,474 --> 00:06:03,380
tetapi sebagai target.
108
00:06:03,920 --> 00:06:07,536
Bertentangan dengan struktur buku teks, matematikawan tidak memulai dengan membuat
109
00:06:07,536 --> 00:06:11,414
definisi lalu membuat daftar banyak teorema dan membuktikannya lalu menunjukkan beberapa
110
00:06:11,414 --> 00:06:11,720
contoh.
111
00:06:11,720 --> 00:06:15,220
Proses menemukan matematika biasanya berjalan sebaliknya.
112
00:06:15,460 --> 00:06:18,304
Mereka mulai dengan membahas permasalahan-permasalahan spesifik,
113
00:06:18,304 --> 00:06:20,843
lalu menggeneralisasi permasalahan-permasalahan tersebut,
114
00:06:20,843 --> 00:06:24,651
kemudian menghasilkan konstruksi yang mungkin berguna dalam kasus-kasus umum tersebut,
115
00:06:24,651 --> 00:06:28,240
dan baru setelah itu Anda menuliskan definisi baru, atau memperluas definisi lama.
116
00:06:29,380 --> 00:06:32,303
Mengenai contoh spesifik apa yang dapat memotivasi eksponen matriks,
117
00:06:32,303 --> 00:06:34,040
ada dua hal yang terlintas dalam pikiran.
118
00:06:34,460 --> 00:06:37,500
Yang satu melibatkan hubungan, dan yang lainnya mekanika kuantum.
119
00:06:38,180 --> 00:06:39,240
Mari kita mulai dengan hubungan.
120
00:06:43,080 --> 00:06:47,487
Misalkan kita mempunyai dua kekasih, sebut saja mereka Romeo dan Juliet,
121
00:06:47,487 --> 00:06:52,619
dan misalkan x mewakili cinta Juliet pada Romeo, dan y mewakili cintanya pada Romeo,
122
00:06:52,619 --> 00:06:55,940
keduanya akan menjadi nilai yang berubah seiring waktu.
123
00:06:56,900 --> 00:06:59,386
Ini adalah contoh yang sebenarnya kita bahas di Bab 1,
124
00:06:59,386 --> 00:07:03,140
berdasarkan artikel Steven Strogatz, tapi tidak apa-apa jika Anda tidak melihatnya.
125
00:07:03,580 --> 00:07:08,886
Cara kerja hubungan mereka adalah tingkat perubahan cinta Juliet pada Romeo,
126
00:07:08,886 --> 00:07:13,780
turunan dari nilai ini, sama dengan negatif 1 kali cinta Romeo padanya.
127
00:07:14,560 --> 00:07:18,407
Dengan kata lain, ketika Romeo menunjukkan ketidaktertarikannya,
128
00:07:18,407 --> 00:07:23,142
saat itulah perasaan Juliet meningkat, sedangkan jika dia terlalu tergila-gila,
129
00:07:23,142 --> 00:07:24,800
minatnya akan mulai memudar.
130
00:07:27,100 --> 00:07:28,700
Romeo, sebaliknya, justru sebaliknya.
131
00:07:29,060 --> 00:07:32,700
Kecepatan perubahan cintanya sama dengan besarnya cinta Juliet.
132
00:07:33,280 --> 00:07:37,521
Jadi saat Juliet marah padanya, rasa sayangnya cenderung berkurang,
133
00:07:37,521 --> 00:07:41,700
sedangkan jika Juliet mencintainya, saat itulah perasaannya tumbuh.
134
00:07:42,580 --> 00:07:45,240
Tentu saja, tidak satu pun dari angka-angka ini yang bertahan.
135
00:07:45,680 --> 00:07:49,250
Ketika cinta Romeo meningkat sebagai respons terhadap Juliet,
136
00:07:49,250 --> 00:07:52,360
persamaannya terus berlaku dan membuat cintanya turun.
137
00:07:53,360 --> 00:07:56,824
Kedua persamaan ini selalu berlaku, dari setiap titik waktu yang sangat
138
00:07:56,824 --> 00:08:00,192
kecil ke titik waktu berikutnya, sehingga setiap perubahan kecil pada
139
00:08:00,192 --> 00:08:03,320
satu nilai akan segera mempengaruhi laju perubahan nilai lainnya.
140
00:08:04,120 --> 00:08:06,560
Ini adalah sistem persamaan diferensial.
141
00:08:06,820 --> 00:08:10,810
Ini adalah teka-teki, tantangan Anda adalah menemukan fungsi eksplisit
142
00:08:10,810 --> 00:08:14,520
untuk x dari t dan y dari t yang membuat kedua ekspresi ini benar.
143
00:08:15,640 --> 00:08:18,515
Sekarang, seiring berjalannya sistem persamaan diferensial,
144
00:08:18,515 --> 00:08:22,589
sistem persamaan ini lebih sederhana, sehingga banyak pelajar kalkulus mungkin hanya
145
00:08:22,589 --> 00:08:23,740
bisa menebak jawabannya.
146
00:08:24,300 --> 00:08:26,278
Namun perlu diingat, tidak cukup hanya menemukan
147
00:08:26,278 --> 00:08:28,500
sepasang fungsi yang membuat hal ini menjadi kenyataan.
148
00:08:29,000 --> 00:08:32,233
Jika Anda ingin benar-benar memprediksi di mana Romeo dan Juliet akan
149
00:08:32,233 --> 00:08:35,606
berakhir setelah beberapa titik awal, Anda harus memastikan bahwa fungsi
150
00:08:35,606 --> 00:08:38,840
Anda cocok dengan rangkaian kondisi awal pada waktu t sama dengan nol.
151
00:08:39,740 --> 00:08:42,943
Lebih penting lagi, tujuan kita saat ini adalah menyelesaikan versi
152
00:08:42,943 --> 00:08:46,713
persamaan yang lebih umum secara sistematis, tanpa menebak-nebak dan memeriksa,
153
00:08:46,713 --> 00:08:49,540
dan pertanyaan itulah yang membawa kita ke eksponen matriks.
154
00:08:50,680 --> 00:08:53,517
Seringkali ketika Anda memiliki beberapa nilai yang berubah seperti ini,
155
00:08:53,517 --> 00:08:56,004
akan sangat membantu jika Anda mengemasnya bersama-sama sebagai
156
00:08:56,004 --> 00:08:58,220
koordinat satu titik dalam ruang berdimensi lebih tinggi.
157
00:08:58,800 --> 00:09:04,825
Jadi bagi Romeo dan Juliet, bayangkan hubungan mereka sebagai sebuah titik dalam ruang
158
00:09:04,825 --> 00:09:10,920
2D, koordinat x menunjukkan perasaan Juliet, dan koordinat y menunjukkan perasaan Romeo.
159
00:09:13,200 --> 00:09:16,546
Terkadang berguna untuk menggambarkan keadaan ini sebagai panah dari titik asal,
160
00:09:16,546 --> 00:09:18,240
di lain waktu hanya sebagai sebuah titik.
161
00:09:18,700 --> 00:09:21,480
Yang paling penting adalah ia mengkodekan dua angka,
162
00:09:21,480 --> 00:09:24,680
dan selanjutnya kita akan menuliskannya sebagai vektor kolom.
163
00:09:25,300 --> 00:09:27,480
Dan tentu saja, ini semua adalah fungsi waktu.
164
00:09:28,500 --> 00:09:31,335
Anda mungkin membayangkan laju perubahan keadaan ini,
165
00:09:31,335 --> 00:09:33,908
sesuatu yang menyatukan turunan x dan turunan y,
166
00:09:33,908 --> 00:09:36,953
sebagai semacam vektor kecepatan dalam ruang keadaan ini,
167
00:09:36,953 --> 00:09:41,049
sesuatu yang menarik titik kita ke arah tertentu dan dengan besaran tertentu.
168
00:09:41,049 --> 00:09:43,360
itu menunjukkan seberapa cepat perubahannya.
169
00:09:45,560 --> 00:09:50,298
Ingat, aturannya di sini adalah laju perubahan x adalah negatif y,
170
00:09:50,298 --> 00:09:52,420
dan laju perubahan y adalah x.
171
00:09:53,300 --> 00:09:57,255
Ditetapkan sebagai vektor seperti ini, kita dapat menulis ulang ruas
172
00:09:57,255 --> 00:10:01,440
kanan persamaan ini sebagai hasil kali matriks ini dengan vektor asli xy.
173
00:10:02,080 --> 00:10:06,940
Baris atas mengkodekan aturan Juliet, dan baris bawah mengkodekan aturan Romeo.
174
00:10:07,800 --> 00:10:11,981
Jadi yang kita punya di sini adalah persamaan diferensial yang menyatakan
175
00:10:11,981 --> 00:10:15,880
bahwa laju perubahan suatu vektor sama dengan waktu matriks tertentu.
176
00:10:19,120 --> 00:10:22,500
Sebentar lagi kita akan membahas bagaimana eksponensial matriks menyelesaikan persamaan
177
00:10:22,500 --> 00:10:25,727
semacam ini, namun sebelum itu izinkan saya menunjukkan kepada Anda cara yang lebih
178
00:10:25,727 --> 00:10:28,878
sederhana untuk menyelesaikan sistem khusus ini, yang menggunakan geometri murni,
179
00:10:28,878 --> 00:10:32,182
dan ini membantu menyiapkan tahapan untuk memvisualisasikan matriks eksponen beberapa
180
00:10:32,182 --> 00:10:32,720
saat kemudian.
181
00:10:34,000 --> 00:10:37,380
Matriks dari sistem kami ini adalah matriks rotasi 90 derajat.
182
00:10:38,580 --> 00:10:43,046
Bagi Anda yang masih bingung bagaimana memandang matriks sebagai transformasi,
183
00:10:43,046 --> 00:10:45,760
ada video tentangnya di saluran ini, serial kok.
184
00:10:46,400 --> 00:10:51,400
Ide dasarnya adalah ketika Anda mengalikan sebuah matriks dengan vektor 1 0,
185
00:10:51,400 --> 00:10:56,791
kolom pertama akan tercabut, dan demikian pula jika Anda mengalikannya dengan 0 1,
186
00:10:56,791 --> 00:10:58,480
kolom kedua akan tercabut.
187
00:10:59,900 --> 00:11:01,902
Artinya adalah ketika Anda melihat sebuah matriks,
188
00:11:01,902 --> 00:11:04,297
Anda dapat membaca kolom-kolomnya yang memberi tahu Anda apa
189
00:11:04,297 --> 00:11:07,360
pengaruhnya terhadap kedua vektor tersebut, yang dikenal sebagai vektor basis.
190
00:11:07,380 --> 00:11:11,776
Cara kerjanya pada vektor lain adalah hasil penskalaan dan
191
00:11:11,776 --> 00:11:16,620
penjumlahan dua hasil basis ini dengan koordinat vektor tersebut.
192
00:11:17,720 --> 00:11:20,104
Jadi dengan melihat kembali matriks dari sistem kita,
193
00:11:20,104 --> 00:11:23,724
perhatikan bagaimana dari kolom-kolomnya kita dapat mengetahui bahwa vektor basis
194
00:11:23,724 --> 00:11:26,594
pertama menjadi 0 1, dan vektor basis kedua menjadi negatif 1 0,
195
00:11:26,594 --> 00:11:29,200
oleh karena itu saya menyebutnya matriks rotasi 90 derajat.
196
00:11:30,880 --> 00:11:36,482
Artinya bagi persamaan kita adalah dimanapun Romeo dan Juliet berada dalam ruang keadaan
197
00:11:36,482 --> 00:11:41,960
ini, laju perubahannya harus terlihat seperti rotasi 90 derajat dari vektor posisi ini.
198
00:11:42,700 --> 00:11:45,545
Satu-satunya cara agar kecepatan dapat tegak lurus secara permanen
199
00:11:45,545 --> 00:11:48,433
terhadap posisi seperti ini adalah ketika Anda memutar mengelilingi
200
00:11:48,433 --> 00:11:51,491
titik asal dalam gerak melingkar, tidak pernah bertambah atau berkurang
201
00:11:51,491 --> 00:11:54,380
karena laju perubahan tidak mempunyai komponen dalam arah posisinya.
202
00:11:57,060 --> 00:12:02,680
Lebih khusus lagi, karena panjang vektor kecepatan ini sama dengan panjang vektor posisi,
203
00:12:02,680 --> 00:12:07,177
maka untuk setiap satuan waktu, jarak yang ditempuh sama dengan panjang
204
00:12:07,177 --> 00:12:10,800
busur sepanjang lingkaran tersebut sebesar satu jari-jari.
205
00:12:12,060 --> 00:12:15,896
Dengan kata lain, ia berputar dengan kecepatan satu radian per satuan waktu,
206
00:12:15,896 --> 00:12:19,982
sehingga dibutuhkan waktu tertentu sebesar 2 pi satuan waktu untuk melakukan satu
207
00:12:19,982 --> 00:12:20,680
putaran penuh.
208
00:12:22,620 --> 00:12:25,581
Jika ingin mendeskripsikan rotasi semacam ini dengan rumus,
209
00:12:25,581 --> 00:12:29,580
kita dapat menggunakan matriks rotasi yang lebih umum, yang terlihat seperti ini.
210
00:12:30,380 --> 00:12:32,280
Sekali lagi, kita bisa membacanya dari segi kolom.
211
00:12:32,780 --> 00:12:37,878
Perhatikan bagaimana kolom pertama memberitahu kita bahwa dibutuhkan vektor basis
212
00:12:37,878 --> 00:12:43,039
pertama ke biaya t sin t, dan kolom kedua memberitahu kita bahwa dibutuhkan vektor
213
00:12:43,039 --> 00:12:48,324
basis kedua ke negatif sin t biaya t, keduanya konsisten dengan perputaran sebesar t
214
00:12:48,324 --> 00:12:48,760
radian.
215
00:12:49,700 --> 00:12:52,985
Jadi, untuk menyelesaikan sistem ini, jika Anda ingin memprediksi
216
00:12:52,985 --> 00:12:56,122
di mana Romeo dan Juliet akan berakhir setelah t satuan waktu,
217
00:12:56,122 --> 00:12:58,960
Anda dapat mengalikan matriks ini dengan keadaan awalnya.
218
00:13:00,120 --> 00:13:03,948
Pemirsa aktif di antara Anda mungkin juga senang meluangkan waktu sejenak untuk
219
00:13:03,948 --> 00:13:07,824
berhenti sejenak dan memastikan bahwa rumus eksplisit yang Anda dapatkan untuk x
220
00:13:07,824 --> 00:13:11,940
dari t dan y dari t benar-benar memenuhi sistem persamaan diferensial yang kita mulai.
221
00:13:17,740 --> 00:13:20,451
Ahli matematika di dalam diri Anda mungkin bertanya-tanya apakah
222
00:13:20,451 --> 00:13:22,996
mungkin untuk menyelesaikan tidak hanya sistem spesifik ini,
223
00:13:22,996 --> 00:13:26,000
namun juga persamaan serupa untuk matriks lain, berapa pun koefisiennya.
224
00:13:27,120 --> 00:13:29,224
Mengajukan pertanyaan ini berarti menyiapkan diri
225
00:13:29,224 --> 00:13:31,160
Anda untuk menemukan kembali eksponen matriks.
226
00:13:31,780 --> 00:13:34,972
Tujuan utama hari ini adalah agar Anda memahami bagaimana persamaan ini
227
00:13:34,972 --> 00:13:38,519
memungkinkan Anda secara intuitif menggambarkan operasi yang kita tulis sebagai
228
00:13:38,519 --> 00:13:41,002
e yang dipangkatkan ke dalam matriks, dan di sisi lain,
229
00:13:41,002 --> 00:13:44,548
bagaimana menghitung eksponen matriks memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan
230
00:13:44,548 --> 00:13:45,480
ini secara eksplisit.
231
00:13:46,520 --> 00:13:49,713
Contoh yang tidak terlalu aneh adalah persamaan terkenal Schrodinger,
232
00:13:49,713 --> 00:13:52,587
yang merupakan persamaan mendasar yang menggambarkan bagaimana
233
00:13:52,587 --> 00:13:54,960
sistem dalam mekanika kuantum berubah seiring waktu.
234
00:13:55,680 --> 00:13:58,535
Kelihatannya cukup mengintimidasi, dan maksud saya ini adalah mekanika kuantum,
235
00:13:58,535 --> 00:14:00,784
jadi tentu saja itu akan terjadi, tetapi sebenarnya tidak jauh
236
00:14:00,784 --> 00:14:02,320
berbeda dengan pengaturan Romeo dan Juliet.
237
00:14:03,020 --> 00:14:05,280
Simbol di sini mengacu pada vektor tertentu.
238
00:14:05,800 --> 00:14:08,756
Ini adalah vektor yang mengemas semua informasi yang mungkin Anda
239
00:14:08,756 --> 00:14:12,160
pedulikan dalam suatu sistem, seperti berbagai posisi dan momentum partikel.
240
00:14:12,240 --> 00:14:14,909
Ini analog dengan vektor 2D sederhana yang mengkodekan
241
00:14:14,909 --> 00:14:16,900
semua informasi tentang Romeo dan Juliet.
242
00:14:17,840 --> 00:14:20,839
Persamaannya mengatakan bahwa laju vektor keadaan ini terlihat
243
00:14:20,839 --> 00:14:23,600
seperti matriks tertentu dikalikan dengan dirinya sendiri.
244
00:14:24,560 --> 00:14:27,950
Ada sejumlah hal yang membuat persamaan Schrodinger menjadi lebih rumit,
245
00:14:27,950 --> 00:14:31,386
namun di benak Anda, Anda mungkin menganggapnya sebagai titik target yang
246
00:14:31,386 --> 00:14:34,637
dapat Anda dan saya bangun, dengan contoh sederhana seperti Romeo dan
247
00:14:34,637 --> 00:14:38,260
Juliet yang menawarkan langkah yang lebih bersahabat. batu di sepanjang jalan.
248
00:14:39,540 --> 00:14:42,220
Sebenarnya, contoh paling sederhana yang terikat pada
249
00:14:42,220 --> 00:14:45,000
pangkat bilangan real biasa e adalah kasus satu dimensi.
250
00:14:45,400 --> 00:14:47,835
Ini adalah saat Anda memiliki satu nilai yang berubah,
251
00:14:47,835 --> 00:14:50,580
dan laju perubahannya sama dengan beberapa waktu yang konstan.
252
00:14:51,200 --> 00:14:53,440
Jadi semakin besar nilainya, semakin cepat pertumbuhannya.
253
00:14:55,080 --> 00:14:58,096
Kebanyakan orang lebih nyaman memvisualisasikannya dengan grafik,
254
00:14:58,096 --> 00:15:01,066
dimana semakin tinggi nilai grafik, semakin curam kemiringannya,
255
00:15:01,066 --> 00:15:03,580
sehingga menghasilkan kurva ke atas yang semakin curam.
256
00:15:04,040 --> 00:15:06,909
Perlu diingat bahwa ketika kita mencapai varians dimensi yang lebih tinggi,
257
00:15:06,909 --> 00:15:08,080
grafik menjadi kurang membantu.
258
00:15:08,880 --> 00:15:11,500
Ini adalah persamaan yang sangat penting.
259
00:15:11,700 --> 00:15:13,778
Ini adalah konsep yang sangat kuat ketika laju
260
00:15:13,778 --> 00:15:16,300
perubahan suatu nilai sebanding dengan nilai itu sendiri.
261
00:15:16,760 --> 00:15:20,454
Ini adalah persamaan yang mengatur hal-hal seperti bunga majemuk,
262
00:15:20,454 --> 00:15:24,429
atau tahap awal pertumbuhan penduduk sebelum dampak terbatasnya sumber
263
00:15:24,429 --> 00:15:29,020
daya mulai terjadi, atau tahap awal epidemi ketika sebagian besar penduduk rentan.
264
00:15:31,920 --> 00:15:37,360
Siswa kalkulus semua belajar tentang turunan dari e ke rt adalah r kali itu sendiri.
265
00:15:38,440 --> 00:15:42,521
Dengan kata lain, fenomena pertumbuhan yang memperkuat diri ini sama dengan
266
00:15:42,521 --> 00:15:46,280
pertumbuhan eksponensial, dan e to the rt menyelesaikan persamaan ini.
267
00:15:48,800 --> 00:15:52,506
Sebenarnya, cara yang lebih baik untuk memikirkannya adalah dengan adanya
268
00:15:52,506 --> 00:15:56,413
banyak solusi berbeda terhadap persamaan ini, satu untuk setiap kondisi awal,
269
00:15:56,413 --> 00:16:00,120
seperti ukuran investasi awal atau populasi awal, yang kita sebut saja x0.
270
00:16:00,960 --> 00:16:05,470
Perhatikan, semakin tinggi nilai x0, semakin tinggi kemiringan awal solusi
271
00:16:05,470 --> 00:16:09,860
yang dihasilkan, yang seharusnya masuk akal mengingat persamaan tersebut.
272
00:16:11,220 --> 00:16:15,413
Fungsi e hingga rt hanyalah solusi jika kondisi awalnya adalah 1,
273
00:16:15,413 --> 00:16:18,653
tetapi jika dikalikan dengan kondisi awal lainnya,
274
00:16:18,653 --> 00:16:22,720
Anda akan mendapatkan fungsi baru yang masih memenuhi sifat ini.
275
00:16:23,060 --> 00:16:26,614
Masih mempunyai turunan r dikalikan sendiri, namun
276
00:16:26,614 --> 00:16:29,960
kali ini dimulai dari x0 karena e ke 0 adalah 1.
277
00:16:30,780 --> 00:16:33,300
Hal ini perlu disoroti sebelum kita menggeneralisasi ke dimensi yang lebih luas.
278
00:16:33,800 --> 00:16:37,320
Jangan menganggap bagian eksponensial sebagai solusi tersendiri.
279
00:16:37,800 --> 00:16:40,538
Anggap saja sebagai sesuatu yang bertindak berdasarkan
280
00:16:40,538 --> 00:16:42,380
kondisi awal untuk memberikan solusi.
281
00:16:46,440 --> 00:16:50,522
Anda lihat, dalam kasus dua dimensi, ketika kita mempunyai vektor perubahan
282
00:16:50,522 --> 00:16:54,551
yang laju perubahannya dibatasi menjadi beberapa kali matriks itu sendiri,
283
00:16:54,551 --> 00:16:59,063
solusinya juga merupakan suku eksponensial yang bekerja pada kondisi awal tertentu,
284
00:16:59,063 --> 00:17:02,984
namun eksponensial bagian, dalam hal ini, akan menghasilkan matriks yang
285
00:17:02,984 --> 00:17:06,099
berubah terhadap waktu, dan kondisi awalnya adalah vektor.
286
00:17:06,900 --> 00:17:10,370
Faktanya, Anda harus menganggap definisi eksponensial matriks sebagai
287
00:17:10,370 --> 00:17:13,940
sesuatu yang sangat termotivasi dengan memastikan bahwa fakta ini benar.
288
00:17:14,920 --> 00:17:19,534
Misalnya, jika kita melihat kembali sistem yang muncul dengan Romeo dan Juliet,
289
00:17:19,534 --> 00:17:24,667
klaimnya sekarang adalah bahwa solusi terlihat seperti e yang dipangkatkan ke matriks 0,
290
00:17:24,667 --> 00:17:28,820
negatif 1, 1, 0 sepanjang waktu, dikalikan dengan beberapa kondisi awal.
291
00:17:29,560 --> 00:17:31,503
Tapi kita sudah melihat solusi dalam kasus ini,
292
00:17:31,503 --> 00:17:34,580
kita tahu ini terlihat seperti matriks rotasi dikalikan dengan kondisi awal.
293
00:17:35,260 --> 00:17:37,823
Jadi mari kita luangkan waktu sejenak untuk menyingsingkan lengan
294
00:17:37,823 --> 00:17:40,310
baju dan menghitung suku eksponensial menggunakan definisi yang
295
00:17:40,310 --> 00:17:42,680
saya sebutkan di awal dan melihat apakah suku tersebut cocok.
296
00:17:43,260 --> 00:17:46,656
Ingat, menuliskan e pangkat suatu matriks adalah sebuah singkatan,
297
00:17:46,656 --> 00:17:50,762
sebuah singkatan untuk memasukkannya ke dalam polinomial panjang tak hingga ini,
298
00:17:50,762 --> 00:17:52,080
deret Taylor untuk e ke x.
299
00:17:53,100 --> 00:17:56,609
Saya tahu ini mungkin tampak cukup rumit untuk melakukan hal ini,
300
00:17:56,609 --> 00:17:59,480
tapi percayalah, hasil yang satu ini sangat memuaskan.
301
00:18:00,180 --> 00:18:03,612
Jika Anda benar-benar duduk dan menghitung pangkat matriks ini secara berurutan,
302
00:18:03,612 --> 00:18:06,240
yang akan Anda perhatikan adalah bahwa pangkat tersebut masuk
303
00:18:06,240 --> 00:18:08,020
ke dalam pola siklus setiap empat iterasi.
304
00:18:27,280 --> 00:18:30,940
Ini seharusnya masuk akal mengingat kita tahu ini adalah matriks rotasi 90 derajat.
305
00:18:31,620 --> 00:18:36,011
Jadi ketika Anda menjumlahkan semua matriks yang jumlahnya tak terhingga suku demi suku,
306
00:18:36,011 --> 00:18:40,156
setiap suku dalam hasil terlihat seperti polinomial dalam t dengan pola siklus yang
307
00:18:40,156 --> 00:18:44,400
bagus dalam koefisiennya, semuanya diskalakan berdasarkan suku faktorial yang relevan.
308
00:18:45,760 --> 00:18:49,561
Bagi Anda yang paham dengan deret Taylor mungkin dapat mengenali
309
00:18:49,561 --> 00:18:54,181
bahwa masing-masing komponen ini adalah deret Taylor untuk sinus atau kosinus,
310
00:18:54,181 --> 00:18:57,340
meskipun di sudut kanan atas sebenarnya sinus negatif.
311
00:18:58,680 --> 00:19:01,098
Jadi apa yang kita peroleh dari perhitungan tersebut
312
00:19:01,098 --> 00:19:03,380
adalah matriks rotasi yang kita miliki sebelumnya.
313
00:19:07,160 --> 00:19:09,220
Bagi saya, ini sangat indah.
314
00:19:09,680 --> 00:19:13,037
Kita mempunyai dua cara berpikir yang sangat berbeda mengenai sistem yang sama,
315
00:19:13,037 --> 00:19:14,800
dan keduanya memberikan jawaban yang sama.
316
00:19:15,480 --> 00:19:18,019
Maksud saya, memang meyakinkan bahwa mereka melakukannya,
317
00:19:18,019 --> 00:19:21,697
tetapi sungguh liar betapa berbedanya cara berpikir saat Anda menelusuri polinomial
318
00:19:21,697 --> 00:19:25,331
ini dibandingkan saat Anda memikirkan secara geometris tentang arti kecepatan yang
319
00:19:25,331 --> 00:19:26,820
tegak lurus terhadap suatu posisi.
320
00:19:27,720 --> 00:19:31,085
Mudah-mudahan fakta bahwa barisan ini menginspirasi sedikit kepercayaan pada
321
00:19:31,085 --> 00:19:34,320
klaim bahwa eksponen matriks benar-benar menyelesaikan sistem seperti ini.
322
00:19:35,340 --> 00:19:37,910
Hal ini menjelaskan perhitungan yang kita lihat di awal,
323
00:19:37,910 --> 00:19:40,976
dengan matriks yang memiliki pi negatif dan pi di luar diagonalnya,
324
00:19:40,976 --> 00:19:42,780
sehingga menghasilkan identitas negatif.
325
00:19:43,560 --> 00:19:47,466
Ekspresi ini adalah eksponensial matriks rotasi 90 derajat dikalikan pi,
326
00:19:47,466 --> 00:19:50,891
yang merupakan cara lain untuk menggambarkan apa yang dilakukan
327
00:19:50,891 --> 00:19:53,460
pengaturan Romeo-Juliet setelah satuan waktu pi.
328
00:19:54,040 --> 00:19:57,885
Seperti yang kita ketahui sekarang, hal tersebut mempunyai efek memutar 180
329
00:19:57,885 --> 00:20:01,680
derajat pada state space ini, yang sama dengan mengalikan dengan negatif 1.
330
00:20:03,060 --> 00:20:06,442
Selain itu, bagi Anda yang akrab dengan eksponen bilangan imajiner,
331
00:20:06,442 --> 00:20:08,980
contoh khusus ini mungkin menarik banyak perhatian.
332
00:20:09,360 --> 00:20:11,120
Ini 100% analog.
333
00:20:11,840 --> 00:20:16,132
Faktanya, kita dapat membingkai seluruh contoh di mana perasaan Romeo dan Juliet
334
00:20:16,132 --> 00:20:20,477
dikemas ke dalam bilangan kompleks, dan laju perubahan bilangan kompleks tersebut
335
00:20:20,477 --> 00:20:25,140
adalah i kali sendiri, karena perkalian dengan i juga berlaku seperti rotasi 90 derajat.
336
00:20:25,840 --> 00:20:29,170
Alur pemikiran yang persis sama, baik analitik maupun geometris,
337
00:20:29,170 --> 00:20:33,680
akan menghasilkan keseluruhan gagasan bahwa e adalah kekuatan yang menggambarkan rotasi.
338
00:20:34,460 --> 00:20:37,165
Ini sebenarnya adalah dua dari banyak contoh berbeda dalam
339
00:20:37,165 --> 00:20:40,376
matematika dan fisika ketika Anda mendapati diri Anda mengeksponenkan
340
00:20:40,376 --> 00:20:43,220
beberapa objek yang bertindak sebagai waktu rotasi 90 derajat.
341
00:20:43,980 --> 00:20:48,020
Ia muncul dengan angka empat atau banyak matriks yang muncul dalam mekanika kuantum.
342
00:20:48,720 --> 00:20:52,367
Dalam semua kasus ini, kita mempunyai gagasan umum yang sangat rapi bahwa jika
343
00:20:52,367 --> 00:20:55,737
kita melakukan suatu operasi yang berputar 90 derajat pada suatu bidang,
344
00:20:55,737 --> 00:20:59,523
sering kali bidang tersebut berada dalam ruang berdimensi tinggi yang tidak dapat
345
00:20:59,523 --> 00:21:03,263
kita visualisasikan, lalu apa yang kita dapatkan dengan mengeksponenkannya waktu
346
00:21:03,263 --> 00:21:07,280
operasi waktu adalah sesuatu yang menghasilkan semua rotasi lain pada bidang yang sama.
347
00:21:09,100 --> 00:21:13,240
Salah satu variasi yang lebih rumit pada tema yang sama adalah persamaan Schrodinger.
348
00:21:13,840 --> 00:21:16,135
Bukan hanya karena turunan suatu keadaan sama
349
00:21:16,135 --> 00:21:18,780
dengan beberapa kali matriks bentuk keadaan tersebut.
350
00:21:19,020 --> 00:21:22,425
Sifat matriks yang relevan di sini adalah sedemikian rupa sehingga persamaan
351
00:21:22,425 --> 00:21:25,787
tersebut juga menggambarkan semacam rotasi, meskipun dalam banyak penerapan
352
00:21:25,787 --> 00:21:29,680
persamaan Schrodinger, persamaan tersebut akan berupa rotasi dalam semacam ruang fungsi.
353
00:21:30,520 --> 00:21:34,800
Ini sedikit lebih rumit karena biasanya ada kombinasi dari banyak rotasi berbeda.
354
00:21:35,220 --> 00:21:38,195
Dibutuhkan waktu untuk benar-benar mendalami persamaan ini,
355
00:21:38,195 --> 00:21:40,576
dan saya ingin melakukannya di bab selanjutnya,
356
00:21:40,576 --> 00:21:44,295
namun saat ini saya tidak dapat menahan diri untuk tidak menyinggung fakta
357
00:21:44,295 --> 00:21:47,965
bahwa unit imajiner ini terletak begitu nakal dalam persamaan fundamental
358
00:21:47,965 --> 00:21:51,685
untuk seluruh alam semesta pada dasarnya memainkan peran yang sama seperti
359
00:21:51,685 --> 00:21:53,520
matriks dari contoh Romeo-Julia kita.
360
00:21:54,160 --> 00:21:58,089
Maksud dari hal ini adalah bahwa laju perubahan suatu keadaan tertentu,
361
00:21:58,089 --> 00:22:02,510
dalam arti tertentu, tegak lurus terhadap keadaan tersebut, dan oleh karena itu,
362
00:22:02,510 --> 00:22:07,040
cara segala sesuatu berevolusi dari waktu ke waktu akan melibatkan semacam osilasi.
363
00:22:11,120 --> 00:22:14,480
Namun eksponensial matriks dapat melakukan lebih dari sekedar rotasi.
364
00:22:15,020 --> 00:22:16,946
Anda selalu dapat memvisualisasikan persamaan
365
00:22:16,946 --> 00:22:19,040
diferensial semacam ini menggunakan bidang vektor.
366
00:22:20,240 --> 00:22:23,898
Idenya adalah bahwa persamaan ini memberi tahu kita bahwa kecepatan suatu
367
00:22:23,898 --> 00:22:27,310
keadaan sepenuhnya ditentukan oleh posisinya, jadi yang kita lakukan
368
00:22:27,310 --> 00:22:30,969
adalah pergi ke setiap titik dalam ruang dan menggambar vektor kecil yang
369
00:22:30,969 --> 00:22:34,480
menunjukkan berapa kecepatan suatu keadaan jika melewatinya. titik itu.
370
00:22:35,340 --> 00:22:38,472
Untuk jenis persamaan kita, ini berarti kita pergi ke setiap
371
00:22:38,472 --> 00:22:41,400
titik v dalam ruang dan kita lampirkan vektor m dikali v.
372
00:22:54,020 --> 00:22:57,762
Untuk memahami secara intuitif bagaimana kondisi awal tertentu akan berkembang,
373
00:22:57,762 --> 00:23:01,038
Anda membiarkannya mengalir sepanjang medan ini dengan kecepatan yang
374
00:23:01,038 --> 00:23:04,360
selalu sesuai dengan vektor apa pun yang ada pada titik waktu tertentu.
375
00:23:05,860 --> 00:23:09,585
Jadi jika klaimnya adalah bahwa solusi persamaan ini terlihat seperti e
376
00:23:09,585 --> 00:23:12,896
pada mt dikalikan dengan suatu kondisi awal, berarti Anda dapat
377
00:23:12,896 --> 00:23:16,673
memvisualisasikan apa yang dilakukan matriks e pada mt dengan membiarkan
378
00:23:16,673 --> 00:23:21,020
setiap kemungkinan kondisi awal mengalir sepanjang bidang ini selama t satuan waktu.
379
00:23:25,080 --> 00:23:28,454
Transisi dari awal sampai akhir dijelaskan oleh
380
00:23:28,454 --> 00:23:32,180
matriks apa pun yang muncul dari perhitungan e ke mt.
381
00:23:33,540 --> 00:23:36,311
Dalam contoh utama kita dengan matriks rotasi 90 derajat,
382
00:23:36,311 --> 00:23:39,417
bidang vektor terlihat seperti ini, dan seperti yang kita lihat,
383
00:23:39,417 --> 00:23:42,046
e hingga mt menggambarkan rotasi dalam kasus tersebut,
384
00:23:42,046 --> 00:23:44,340
yang sejajar dengan aliran sepanjang bidang ini.
385
00:23:45,800 --> 00:23:49,772
Sebagai contoh lain, Romeo dan Juliet yang lebih Shakespeare mungkin memiliki
386
00:23:49,772 --> 00:23:54,305
persamaan yang terlihat seperti ini, di mana aturan Juliet simetris dengan aturan Romeo,
387
00:23:54,305 --> 00:23:58,380
dan keduanya cenderung terbawa suasana dalam menanggapi perasaan satu sama lain.
388
00:23:59,360 --> 00:24:02,903
Sekali lagi, cara mendefinisikan bidang vektor yang Anda lihat adalah
389
00:24:02,903 --> 00:24:06,700
dengan pergi ke setiap titik v dalam ruang dan melampirkan vektor m kali v.
390
00:24:07,160 --> 00:24:10,005
Ini adalah cara bergambar untuk mengatakan bahwa laju perubahan
391
00:24:10,005 --> 00:24:12,940
suatu keadaan harus selalu sama dengan m kali keadaan itu sendiri.
392
00:24:14,160 --> 00:24:16,745
Namun untuk contoh ini, aliran di sepanjang lapangan
393
00:24:16,745 --> 00:24:18,600
terlihat jauh berbeda dari sebelumnya.
394
00:24:19,200 --> 00:24:22,883
Jika Romeo dan Juliet memulai dari mana saja di bagian kanan atas pesawat ini,
395
00:24:22,883 --> 00:24:27,080
perasaan mereka akan saling memberi makan dan keduanya cenderung menuju ketidakterbatasan.
396
00:24:30,580 --> 00:24:33,047
Jika mereka termasuk dalam kelompok yang lain,
397
00:24:33,047 --> 00:24:36,880
anggap saja mereka lebih setia pada tradisi keluarga Capulet dan Montagu.
398
00:24:38,020 --> 00:24:42,063
Jadi, bahkan sebelum Anda mencoba menghitung eksponensial matriks khusus ini,
399
00:24:42,063 --> 00:24:45,640
Anda sudah memiliki gambaran intuitif tentang seperti apa jawabannya.
400
00:24:46,160 --> 00:24:49,960
Matriks yang dihasilkan harus menggambarkan transisi dari waktu 0 ke waktu t,
401
00:24:49,960 --> 00:24:53,322
yang jika Anda lihat di lapangan tampaknya menunjukkan bahwa ia akan
402
00:24:53,322 --> 00:24:57,367
terjepit di sepanjang satu diagonal sambil meregang di sepanjang diagonal lainnya,
403
00:24:57,367 --> 00:24:59,560
menjadi lebih ekstrim ketika t semakin besar.
404
00:25:00,780 --> 00:25:03,777
Tentu saja, semua ini mengasumsikan bahwa kondisi awal
405
00:25:03,777 --> 00:25:06,720
e hingga mt kali benar-benar menyelesaikan sistem ini.
406
00:25:07,640 --> 00:25:09,500
Ini adalah salah satu fakta yang paling mudah
407
00:25:09,500 --> 00:25:11,320
dipercaya ketika Anda mengerjakannya sendiri.
408
00:25:12,300 --> 00:25:14,300
Tapi saya akan membahas sketsa kasar singkatnya.
409
00:25:16,020 --> 00:25:19,282
Tuliskan polinomial lengkap yang mendefinisikan e ke mt dan
410
00:25:19,282 --> 00:25:22,600
kalikan dengan beberapa vektor kondisi awal di sebelah kanan.
411
00:25:26,540 --> 00:25:29,420
Dan kemudian ambil turunannya terhadap t.
412
00:25:30,180 --> 00:25:32,226
Karena matriks m adalah sebuah konstanta, hal ini
413
00:25:32,226 --> 00:25:34,600
berarti menerapkan aturan pangkat pada masing-masing suku.
414
00:25:43,340 --> 00:25:47,000
Dan aturan pangkat itu benar-benar dapat ditiadakan dengan suku-suku faktorial.
415
00:25:52,920 --> 00:25:57,632
Jadi yang tersisa adalah ekspresi yang terlihat hampir sama dengan ekspresi sebelumnya,
416
00:25:57,632 --> 00:26:01,060
hanya saja setiap suku memiliki tambahan m yang melekat padanya.
417
00:26:01,140 --> 00:26:03,020
Namun hal ini dapat difaktorkan ke kiri.
418
00:26:03,580 --> 00:26:07,577
Jadi turunan dari ekspresi tersebut adalah m kali ekspresi aslinya,
419
00:26:07,577 --> 00:26:10,340
dan karenanya menyelesaikan persamaan tersebut.
420
00:26:11,420 --> 00:26:14,698
Ini sebenarnya menyembunyikan beberapa detail yang diperlukan untuk ketelitian,
421
00:26:14,698 --> 00:26:18,344
sebagian besar berpusat pada pertanyaan apakah benda ini benar-benar menyatu atau tidak,
422
00:26:18,344 --> 00:26:19,820
tetapi ini memberikan gagasan utama.
423
00:26:21,020 --> 00:26:24,308
Pada bab berikutnya saya ingin berbicara lebih banyak tentang properti yang
424
00:26:24,308 --> 00:26:27,770
dimiliki operasi ini, terutama hubungannya dengan vektor eigen dan nilai eigen,
425
00:26:27,770 --> 00:26:30,972
yang membawa kita pada cara berpikir yang lebih konkrit tentang bagaimana
426
00:26:30,972 --> 00:26:34,780
sebenarnya Anda melakukan penghitungan ini, yang jika tidak, tampaknya tidak masuk akal.
427
00:26:36,060 --> 00:26:51,838
Selain itu, jika waktu mengizinkan, mungkin akan menyenangkan untuk
428
00:26:51,838 --> 00:27:06,920
membicarakan apa artinya menaikkan e ke pangkat operator turunan.