1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
1123
1124
1125
1126
1127
1128
1129
1130
1131
1132
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
1144
1145
1146
1147
1148
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1201
1202
1203
1204
1205
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
1218
1219
1220
1221
1222
1223
1224
1225
1226
1227
1228
1229
1230
1231
1232
1233
1234
1235
1236
1237
1238
1239
1240
1241
1242
1243
1244
1245
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
1397
1398
1399
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450
1451
1452
1453
1454
1455
1456
1457
1458
1459
1460
1461
1462
1463
1464
1465
1466
1467
1468
1469
1470
1471
1472
1473
1474
1475
1476
1477
1478
1479
1480
1481
1482
1483
1484
1485
1486
1487
1488
1489
1490
1491
1492
1493
1494
1495
1496
1497
1498
1499
1500
1501
1502
1503
1504
1505
1506
1507
1508
1509
1510
1511
1512
1513
1514
1515
1516
1517
1518
1519
1520
1521
1522
1523
1524
1525
1526
1527
1528
1529
1530
1531
1532
1533
1534
1535
1536
1537
1538
1539
1540
1541
1542
1543
1544
1545
1546
1547
1548
1549
1550
1551
1552
1553
1554
1555
1556
1557
1558
1559
1560
1561
1562
1563
1564
1565
1566
1567
1568
1569
1570
1571
1572
1573
1574
1575
1576
1577
1578
1579
1580
1581
1582
1583
1584
1585
1586
1587
1588
1589
1590
1591
1592
1593
1594
1595
1596
1597
1598
1599
1600
1601
1602
1603
1604
1605
1606
1607
1608
1609
1610
1611
1612
1613
1614
1615
1616
1617
1618
1619
1620
1621
1622
1623
1624
1625
1626
1627
1628
16291
00:00:00,000 --> 00:00:03,522
Hadd vegyek elő egy régi differenciálegyenletek tankönyvet,
2
00:00:03,522 --> 00:00:07,631
amit az egyetemen tanultam, és nézzük meg ezt a vicces kis feladatot,
3
00:00:07,631 --> 00:00:12,445
ami arra kéri az olvasót, hogy számítsa ki E-t a t hatványig, ahol a azt mondják,
4
00:00:12,445 --> 00:00:17,200
hogy egy mátrix lesz, és a célzás úgy tűnik, hogy az eredmény is egy mátrix lesz.
5
00:00:18,460 --> 00:00:21,280
Ezután számos példát kínál arra, hogy mit lehet csatlakoztatni egy.
6
00:00:22,240 --> 00:00:26,146
Most, hogy kiveszünk egy kontextust, és egy mátrixot így exponenssé teszünk,
7
00:00:26,146 --> 00:00:29,189
valószínűleg teljes képtelenségnek tűnik, de amire ez utal,
8
00:00:29,189 --> 00:00:33,400
az egy rendkívül szép művelet, és azért jelenik meg ebben a könyvben, mert hasznos.
9
00:00:33,880 --> 00:00:37,080
A differenciálegyenletek egy nagyon fontos osztályának megoldására használják.
10
00:00:37,800 --> 00:00:42,013
Mivel az univerzumot gyakran a differenciálegyenletek nyelvén írják le,
11
00:00:42,013 --> 00:00:46,226
ez a fizikában is állandóan felbukkan, különösen a kvantummechanikában,
12
00:00:46,226 --> 00:00:48,860
ahol a mátrixexponensek mindenütt ott vannak.
13
00:00:49,140 --> 00:00:50,800
Különösen kiemelkedő szerepet játszanak.
14
00:00:51,240 --> 00:00:55,043
Ennek sok köze van a Schrödinger-egyenlethez, amelyet kicsit később érintünk,
15
00:00:55,043 --> 00:00:58,358
és segíthet a romantikus kapcsolataid megértésében is, de ismétlem,
16
00:00:58,358 --> 00:00:59,480
minden a maga idejében.
17
00:01:05,420 --> 00:01:09,769
Azért is szeretnék foglalkozni ezzel a témával, mert van egy rendkívül szép módja annak,
18
00:01:09,769 --> 00:01:13,434
hogy vizualizáljuk, hogy mit is csinálnak valójában a mátrix exponensek az
19
00:01:13,434 --> 00:01:17,833
áramlás segítségével, amiről nem sokan beszélnek, de a fejezet nagy részét azzal kezdjük,
20
00:01:17,833 --> 00:01:21,498
hogy lefektetjük, mi is pontosan ez a művelet, és meglátjuk, hogy érezzük,
21
00:01:21,498 --> 00:01:23,600
milyen problémák megoldásában segít nekünk.
22
00:01:24,060 --> 00:01:27,586
Az első dolog, amit tudnod kell, hogy ez nem valami bizarr módja annak,
23
00:01:27,586 --> 00:01:30,280
hogy az e állandót többszörösen megszorozzuk önmagával.
24
00:01:30,780 --> 00:01:32,260
Igaza van, ha ezt badarságnak nevezi.
25
00:01:33,020 --> 00:01:36,381
A tényleges definíció egy bizonyos végtelen polinomhoz kapcsolódik,
26
00:01:36,381 --> 00:01:40,040
amely az e valós szám hatványait írja le, amit Taylor-sorozatnak nevezünk.
27
00:01:40,800 --> 00:01:43,555
Például, ha a 2-es számot beledugnám ebbe a polinomba,
28
00:01:43,555 --> 00:01:46,060
akkor ahogy egyre több és több tagot adunk hozzá,
29
00:01:46,060 --> 00:01:49,317
amelyek mindegyike úgy néz ki, mint a 2 valamely hatványa osztva
30
00:01:49,317 --> 00:01:50,620
valamilyen faktoriálissal.
31
00:01:53,960 --> 00:02:01,260
Az összeg egy 7,389 közeli számhoz közelít, és ez a szám pontosan e-szor e.
32
00:02:01,980 --> 00:02:05,161
Ha ezt a bemenetet eggyel növeljük, akkor csodával határos módon,
33
00:02:05,161 --> 00:02:09,115
függetlenül attól, hogy honnan indultunk, a kimenetre gyakorolt hatása mindig az,
34
00:02:09,115 --> 00:02:11,140
hogy egy másik e-tényezővel szorozzuk meg.
35
00:02:12,260 --> 00:02:16,622
A matematikusok - olyan okokból, amelyeket mindjárt látni fogsz - mindenféle dolgot be
36
00:02:16,622 --> 00:02:19,882
akartak illeszteni ebbe a polinomba, például a komplex számokat,
37
00:02:19,882 --> 00:02:22,590
és mai céljaink érdekében a mátrixokat, még akkor is,
38
00:02:22,590 --> 00:02:25,700
ha ezek az objektumok nem azonnal értelmesek, mint exponensek.
39
00:02:26,660 --> 00:02:30,248
Néhány szerző azt teszi, hogy ennek a végtelen polinomnak az exp nevet adja,
40
00:02:30,248 --> 00:02:32,020
ha egzotikusabb bemeneteket adunk meg.
41
00:02:32,520 --> 00:02:35,100
Ez egy finom bólintás arra a kapcsolatra, amely a valós számok
42
00:02:35,100 --> 00:02:37,516
esetében az exponenciális függvényekkel van, még akkor is,
43
00:02:37,516 --> 00:02:40,260
ha ezeknek a bemeneteknek nyilvánvalóan nincs értelme exponensként.
44
00:02:40,960 --> 00:02:44,283
Ugyanilyen gyakori szokás azonban az is, hogy a kapcsolatra sokkal
45
00:02:44,283 --> 00:02:47,705
kevésbé finoman bólintunk, és az egészet egyszerűen e-vel rövidítjük
46
00:02:47,705 --> 00:02:50,681
annak az objektumnak a hatványáig, amit éppen beillesztünk,
47
00:02:50,681 --> 00:02:54,500
legyen az egy komplex szám, egy mátrix vagy mindenféle egzotikusabb objektum.
48
00:02:55,220 --> 00:02:57,816
Tehát míg ez az egyenlet egy tétel valós számokra,
49
00:02:57,816 --> 00:03:00,260
addig ez egy definíció egzotikusabb bemenetekre.
50
00:03:01,040 --> 00:03:03,900
Cinikusan ezt nevezhetnénk a jelöléssel való durva visszaélésnek is.
51
00:03:04,720 --> 00:03:06,821
Ha jóindulatúbbak lennénk, akkor úgy is tekinthetnénk rá,
52
00:03:06,821 --> 00:03:09,720
mint a felfedezés és a találmányok közötti gyönyörű körforgásra a matematikában.
53
00:03:10,700 --> 00:03:13,839
Bármelyik esetben is, egy mátrixnak még egy polinomhoz való csatlakoztatása
54
00:03:13,839 --> 00:03:16,400
kissé furcsának tűnhet, ezért tisztázzuk, hogy mire gondolunk.
55
00:03:16,900 --> 00:03:19,940
A mátrixnak ugyanannyi sorral és oszloppal kell rendelkeznie.
56
00:03:20,460 --> 00:03:24,680
Így a mátrixszorzás szokásos szabályai szerint szorozhatja meg önmagával.
57
00:03:25,360 --> 00:03:27,520
Ezt értjük négyzetre állítás alatt.
58
00:03:28,100 --> 00:03:33,251
Hasonlóképpen, ha ezt az eredményt fogjuk, majd újra megszorozzuk az eredeti mátrixszal,
59
00:03:33,251 --> 00:03:35,740
akkor ezt értjük a mátrix köbösítése alatt.
60
00:03:37,640 --> 00:03:41,552
Ha így folytatod, akkor a mátrix bármely egész szám hatványát veheted,
61
00:03:41,552 --> 00:03:42,820
ez tökéletesen ésszerű.
62
00:03:43,320 --> 00:03:46,162
Ebben a kontextusban a hatványok még mindig pontosan azt jelentik,
63
00:03:46,162 --> 00:03:47,520
amit várnánk, ismételt szorzást.
64
00:03:53,840 --> 00:03:57,605
Ennek a polinomnak minden egyes tagját eggyel osztjuk valamilyen faktoriálissal,
65
00:03:57,605 --> 00:04:00,301
és a mátrixok esetében ez csak annyit jelent, hogy minden
66
00:04:00,301 --> 00:04:02,440
egyes összetevőt megszorozunk ezzel a számmal.
67
00:04:03,280 --> 00:04:06,369
Hasonlóképpen, mindig van értelme két mátrixot összeadni,
68
00:04:06,369 --> 00:04:08,820
ezt megint csak kifejezésenként kell megtenni.
69
00:04:09,540 --> 00:04:13,723
Az éleselméjűek talán megkérdezhetik, hogy mennyire ésszerű ezt a végtelenbe vinni,
70
00:04:13,723 --> 00:04:17,259
ami egy nagyszerű kérdés lenne, amire a választ nagyrészt elhalasztom,
71
00:04:17,259 --> 00:04:19,800
de egy elég szórakoztató példát tudok most mutatni.
72
00:04:20,440 --> 00:04:25,220
Vegyük ezt a 2x2-es mátrixot, amelynek negatív pi és pi ül le az átlós bejegyzéseiről.
73
00:04:25,540 --> 00:04:26,640
Lássuk, mit ad az összeg.
74
00:04:27,280 --> 00:04:29,664
Az első kifejezés az azonossági mátrix, ez az,
75
00:04:29,664 --> 00:04:33,520
amit a definíció szerint értünk, amikor egy mátrixot a 0. hatványra emelünk.
76
00:04:34,460 --> 00:04:37,883
Ezután hozzáadjuk magát a mátrixot, ami megadja nekünk a pi-t a diagonális
77
00:04:37,883 --> 00:04:40,531
kifejezésekből, majd hozzáadjuk a mátrix felét négyzetre,
78
00:04:40,531 --> 00:04:44,320
és tovább folytatva a számítógépnek egyre több és több kifejezést kell hozzáadnia,
79
00:04:44,320 --> 00:04:46,967
amelyek mindegyikéhez még egy mátrixszorzatot kell venni,
80
00:04:46,967 --> 00:04:50,300
hogy megkapjuk az új teljesítményt, majd hozzáadjuk egy futó számlálóhoz.
81
00:04:51,160 --> 00:04:55,244
És ahogy ez így megy tovább, úgy tűnik, hogy megközelít egy stabil értéket,
82
00:04:55,244 --> 00:04:58,200
ami körülbelül az azonossági mátrix negatív egyszerese.
83
00:04:58,880 --> 00:05:02,100
Ebben az értelemben azt mondjuk, hogy a végtelen összeg megegyezik a negatív azonossággal.
84
00:05:03,040 --> 00:05:07,520
Remélem, hogy a videó végére ez a tény teljesen érthetővé válik számodra.
85
00:05:07,920 --> 00:05:12,400
Aki ismeri Euler híres azonosságát, annak ez lényegében annak mátrixváltozata.
86
00:05:13,020 --> 00:05:17,013
Kiderült, hogy általában, függetlenül attól, hogy milyen mátrixszal kezdjük,
87
00:05:17,013 --> 00:05:21,630
ahogy egyre több és több kifejezést adunk hozzá, végül megközelítünk egy stabil értéket,
88
00:05:21,630 --> 00:05:24,120
bár néha elég sok időbe telik, mire elérjük ezt.
89
00:05:26,600 --> 00:05:31,624
Már önmagában a definíciót látva is mindenféle kérdés merül fel, leginkább az,
90
00:05:31,624 --> 00:05:35,123
hogy miért érdekli a matematikusokat és a fizikusokat,
91
00:05:35,123 --> 00:05:37,540
hogy így kínozzák szegény mátrixaikat?
92
00:05:37,900 --> 00:05:39,500
Milyen problémákat próbálnak megoldani?
93
00:05:40,340 --> 00:05:43,370
És ha hozzám hasonlóan gondolkodik, egy új művelet csak akkor kielégítő,
94
00:05:43,370 --> 00:05:46,441
ha tisztában van azzal, hogy mit akar csinálni, és van némi érzéke ahhoz,
95
00:05:46,441 --> 00:05:48,932
hogy hogyan lehet megjósolni a kimenetet a bemenet alapján,
96
00:05:48,932 --> 00:05:50,800
mielőtt ténylegesen megroppantaná a számokat.
97
00:05:51,520 --> 00:05:54,110
Hogy a fenébe tudtad volna megjósolni, hogy a mátrix,
98
00:05:54,110 --> 00:05:57,900
amelynek az átlóiból a pi kiesik, ilyen negatív azonossági mátrixot eredményez?
99
00:05:59,100 --> 00:06:03,380
A matematikában gyakran nem kiindulópontnak, hanem célnak kell tekintened a definíciót.
100
00:06:03,920 --> 00:06:06,901
A tankönyvek felépítésével ellentétben a matematikusok nem azzal kezdik,
101
00:06:06,901 --> 00:06:10,413
hogy meghatározásokat adnak, majd felsorolnak egy csomó tételt és bizonyítják azokat,
102
00:06:10,413 --> 00:06:11,720
és aztán mutatnak néhány példát.
103
00:06:11,720 --> 00:06:15,220
A matematika felfedezésének folyamata általában fordítva történik.
104
00:06:15,460 --> 00:06:17,859
Azzal kezdik, hogy konkrét problémákon rágódnak,
105
00:06:17,859 --> 00:06:21,874
majd általánosítják ezeket a problémákat, aztán olyan konstrukciókat találnak ki,
106
00:06:21,874 --> 00:06:24,763
amelyek hasznosak lehetnek ezekben az általános esetekben,
107
00:06:24,763 --> 00:06:28,240
és csak ezután írnak le egy új definíciót, vagy bővítenek ki egy régit.
108
00:06:29,380 --> 00:06:33,044
Arra vonatkozóan, hogy milyen konkrét példák motiválhatják a mátrixexponenseket,
109
00:06:33,044 --> 00:06:34,040
két példa jut eszembe.
110
00:06:34,460 --> 00:06:37,500
Az egyik a kapcsolatokkal, a másik a kvantummechanikával kapcsolatos.
111
00:06:38,180 --> 00:06:39,240
Kezdjük a kapcsolatokkal.
112
00:06:43,080 --> 00:06:46,574
Nevezzünk két szerelmespárt Rómeónak és Júliának,
113
00:06:46,574 --> 00:06:52,585
és legyen x Júlia Rómeó iránti szerelmét, y pedig a Rómeó iránti szerelmét jelképezi,
114
00:06:52,585 --> 00:06:55,940
mindkettő olyan érték, amely az idővel változik.
115
00:06:56,900 --> 00:06:59,679
Ezt a példát már az 1. fejezetben is érintettük,
116
00:06:59,679 --> 00:07:03,140
Steven Strogatz cikke alapján, de nem baj, ha azt nem láttad.
117
00:07:03,580 --> 00:07:08,408
A kapcsolatuk úgy működik, hogy Júlia Rómeó iránti szerelmének változási üteme,
118
00:07:08,408 --> 00:07:13,780
ennek az értéknek a deriváltja, megegyezik Rómeó Rómeó szerelmének negatív egyszeresével.
119
00:07:14,560 --> 00:07:17,891
Más szóval, amikor Rómeó hűvös érdektelenséget mutat,
120
00:07:17,891 --> 00:07:22,455
akkor Júlia érzelmei ténylegesen felerősödnek, míg ha túlságosan belezúg,
121
00:07:22,455 --> 00:07:24,800
a lány érdeklődése kezd elhalványulni.
122
00:07:27,100 --> 00:07:28,700
Rómeó viszont pont az ellenkezője.
123
00:07:29,060 --> 00:07:33,899
Szerelmének változási üteme megegyezik Júlia szerelmének ütemével,
124
00:07:33,899 --> 00:07:39,966
tehát amíg Júlia haragszik rá, addig szerelme inkább csökken, míg ha Júlia szereti,
125
00:07:39,966 --> 00:07:41,700
akkor az érzelmei nőnek.
126
00:07:42,580 --> 00:07:45,240
Természetesen egyik szám sem áll meg.
127
00:07:45,680 --> 00:07:48,591
Miközben Rómeó szerelme Júliára válaszul egyre nő,
128
00:07:48,591 --> 00:07:52,360
az ő egyenlete továbbra is érvényesül, és lefelé hajtja szerelmét.
129
00:07:53,360 --> 00:07:58,179
Mindkét egyenlet mindig érvényes, minden egyes végtelenül kicsi időponttól a következőig,
130
00:07:58,179 --> 00:08:01,499
így az egyik érték minden apró változása azonnal befolyásolja
131
00:08:01,499 --> 00:08:03,320
a másik érték változásának ütemét.
132
00:08:04,120 --> 00:08:06,560
Ez egy differenciálegyenlet-rendszer.
133
00:08:06,820 --> 00:08:10,616
Ez egy rejtvény, ahol a feladatod az, hogy olyan explicit függvényeket
134
00:08:10,616 --> 00:08:14,520
találj a t x-ére és a t y-jára, amelyek mindkét kifejezést igazzá teszik.
135
00:08:15,640 --> 00:08:19,553
A differenciálegyenlet-rendszerek közül ez az egyenlet az egyszerűbbek közé tartozik,
136
00:08:19,553 --> 00:08:23,375
eléggé ahhoz, hogy sok matematikát tanuló diák valószínűleg csak találgatni tudná a
137
00:08:23,375 --> 00:08:23,740
választ.
138
00:08:24,300 --> 00:08:28,500
De ne feledjük, hogy nem elég olyan függvénypárt találni, amely ezt igazzá teszi.
139
00:08:29,000 --> 00:08:32,107
Ha valóban meg akarod jósolni, hogy Romeo és Júlia hol köt ki egy
140
00:08:32,107 --> 00:08:35,073
bizonyos kiindulási pont után, akkor meg kell győződnöd arról,
141
00:08:35,073 --> 00:08:38,840
hogy a függvényeid megfelelnek a kezdeti feltételeknek a t egyenlő 0 időpontban.
142
00:08:39,740 --> 00:08:42,790
Sokkal inkább az a tényleges célunk ma, hogy ennek az egyenletnek
143
00:08:42,790 --> 00:08:46,766
általánosabb változatait szisztematikusan, találgatás és ellenőrzés nélkül megoldjuk,
144
00:08:46,766 --> 00:08:49,540
és ez a kérdés az, ami elvezet minket a mátrixexponensekhez.
145
00:08:50,680 --> 00:08:53,897
Nagyon gyakran, amikor több ilyen változó értéket kapunk, hasznos,
146
00:08:53,897 --> 00:08:58,220
ha ezeket egy magasabb dimenziós tér egyetlen pontjának koordinátáiként csomagoljuk össze.
147
00:08:58,800 --> 00:09:03,069
Tehát Romeo és Júlia esetében gondoljunk úgy a kapcsolatukra,
148
00:09:03,069 --> 00:09:07,889
mint egy pontra egy 2D-s térben, ahol az x-koordináta Júlia érzéseit,
149
00:09:07,889 --> 00:09:10,920
az y-koordináta pedig Rómeó érzéseit jelöli.
150
00:09:13,200 --> 00:09:16,245
Néha hasznos, ha ezt a kiindulópontból kiinduló nyílként,
151
00:09:16,245 --> 00:09:18,240
máskor csak egy pontként képzeljük el.
152
00:09:18,700 --> 00:09:24,680
Csak az számít, hogy két számot kódol, és a továbbiakban ezt oszlopvektorként fogjuk írni.
153
00:09:25,300 --> 00:09:27,480
És természetesen mindez az idő függvénye.
154
00:09:28,500 --> 00:09:31,813
Elképzelhetjük ennek az állapotnak a változási sebességét, azt,
155
00:09:31,813 --> 00:09:35,645
ami az x és az y deriváltját összecsomagolja, egyfajta sebességvektorként
156
00:09:35,645 --> 00:09:39,269
ebben az állapottérben, valamiként, ami a pontunk felé húz valamilyen
157
00:09:39,269 --> 00:09:43,360
irányban és valamilyen nagyságrenddel, ami jelzi, hogy milyen gyorsan változik.
158
00:09:45,560 --> 00:09:50,240
Ne feledjük, itt az a szabály, hogy az x változásának mértéke negatív y,
159
00:09:50,240 --> 00:09:52,420
az y változásának mértéke pedig x.
160
00:09:53,300 --> 00:09:57,370
Az egyenlet jobb oldalát vektorokként felállítva átírhatjuk
161
00:09:57,370 --> 00:10:01,440
ennek a mátrixnak és az eredeti xy vektornak a szorzataként.
162
00:10:02,080 --> 00:10:06,940
A felső sor Júlia szabályát, az alsó sor pedig Rómeó szabályát kódolja.
163
00:10:07,800 --> 00:10:15,880
Tehát itt egy vektor egyenlő egy bizonyos mátrix szorozva önmagával.
164
00:10:19,120 --> 00:10:22,603
Egy pillanat múlva beszélni fogunk arról, hogy a mátrix exponenciálás hogyan oldja
165
00:10:22,603 --> 00:10:25,836
meg ezt a fajta egyenletet, de előtte hadd mutassak egy egyszerűbb módszert,
166
00:10:25,836 --> 00:10:29,068
amivel megoldhatjuk ezt a bizonyos rendszert, ami tiszta geometriát használ,
167
00:10:29,068 --> 00:10:32,720
és segít előkészíteni a terepet a mátrix exponensek vizualizálásához egy kicsit később.
168
00:10:34,000 --> 00:10:37,380
Ez a mátrix a mi rendszerünkből egy 90 fokos forgatási mátrix.
169
00:10:38,580 --> 00:10:43,040
Aki már nem tudja, hogyan kell a mátrixokról mint transzformációkról gondolkodni,
170
00:10:43,040 --> 00:10:45,760
ezen a csatornán van egy videó erről, egy sorozat.
171
00:10:46,400 --> 00:10:51,056
Az alapötlet az, hogy ha egy mátrixot megszorozunk az 1 0 vektorral,
172
00:10:51,056 --> 00:10:56,185
akkor az első oszlopot húzza ki, és hasonlóképpen, ha megszorozzuk 0 1 -el,
173
00:10:56,185 --> 00:10:58,480
akkor a második oszlopot húzza ki.
174
00:10:59,900 --> 00:11:04,140
Ez azt jelenti, hogy amikor egy mátrixot nézel, akkor az oszlopaiból kiolvashatod,
175
00:11:04,140 --> 00:11:07,360
hogy mit csinál ezzel a két vektorral, amit mátrixnak nevezünk.
176
00:11:07,380 --> 00:11:12,085
Bármely más vektorra úgy hat, hogy e két alaperedményt
177
00:11:12,085 --> 00:11:16,620
az adott vektor koordinátáival skálázza és összeadja.
178
00:11:17,720 --> 00:11:21,260
Ha tehát visszanézzük a mátrixot a rendszerünkből, észrevehetjük,
179
00:11:21,260 --> 00:11:24,747
hogy az oszlopaiból láthatjuk, hogy az első bázisvektort 0 1-re,
180
00:11:24,747 --> 00:11:29,200
a másodikat pedig negatív 1 0-ra veszi, ezért nevezem 90 fokos forgatási mátrixnak.
181
00:11:30,880 --> 00:11:36,153
Ez az egyenletünkre nézve azt jelenti, hogy bárhol is van Rómeó és Júlia ebben a térben,
182
00:11:36,153 --> 00:11:39,589
a változás mértéke úgy kell, hogy nézzen ki, mint ennek a
183
00:11:39,589 --> 00:11:41,960
pozícióvektornak a 90 fokos elfordulása.
184
00:11:42,700 --> 00:11:45,974
A sebesség csak akkor lehet tartósan merőleges a pozícióra,
185
00:11:45,974 --> 00:11:50,504
ha az origó körül körkörös mozgással forog, és soha nem növekszik vagy zsugorodik,
186
00:11:50,504 --> 00:11:54,380
mert a változás sebessége nem tartalmaz komponenst a pozíció irányában.
187
00:11:57,060 --> 00:12:01,617
Pontosabban, mivel ennek a sebességvektornak a hossza megegyezik a
188
00:12:01,617 --> 00:12:06,106
pozícióvektor hosszával, akkor minden egyes időegységre az általa
189
00:12:06,106 --> 00:12:10,800
megtett távolság megegyezik egy sugárnyi ívhosszúsággal a kör mentén.
190
00:12:12,060 --> 00:12:15,774
Más szóval, egységnyi idő alatt egy radiánnal forog,
191
00:12:15,774 --> 00:12:20,680
tehát egy teljes fordulat megtételéhez 2 pi időegységre lenne szükség.
192
00:12:22,620 --> 00:12:25,618
Ha ezt a fajta forgást egy képlettel szeretnénk leírni,
193
00:12:25,618 --> 00:12:29,580
akkor egy általánosabb forgatási mátrixot használhatunk, amely így néz ki.
194
00:12:30,380 --> 00:12:32,280
Ismét az oszlopok szempontjából olvashatjuk.
195
00:12:32,780 --> 00:12:38,926
Figyeljük meg, hogy az első oszlop azt mondja, hogy az első bázisvektor cos t sin t,
196
00:12:38,926 --> 00:12:44,421
a második oszlop pedig azt, hogy a második bázisvektor negatív sin t cos t,
197
00:12:44,421 --> 00:12:48,760
ami mindkettő összhangban van a t sugárral való forgatással.
198
00:12:49,700 --> 00:12:52,768
Tehát, ha a rendszer megoldásához meg akarjuk jósolni,
199
00:12:52,768 --> 00:12:55,501
hogy hová kerül Rómeó és Júlia t időegység után,
200
00:12:55,501 --> 00:12:58,960
akkor ezt a mátrixot meg kell szorozni a kezdeti állapotukkal.
201
00:13:00,120 --> 00:13:04,462
Az aktív nézők talán szívesen megállnak egy pillanatra, és megerősítik,
202
00:13:04,462 --> 00:13:08,201
hogy a t x-ére és a t y-jára kapott explicit képletek valóban
203
00:13:08,201 --> 00:13:11,940
kielégítik a differenciálegyenlet-rendszert, amellyel kezdtük.
204
00:13:17,740 --> 00:13:20,645
A benned élő matematikus elgondolkodhat azon, hogy vajon lehetséges-e
205
00:13:20,645 --> 00:13:23,177
megoldani nemcsak ezt a konkrét rendszert, hanem bármely más
206
00:13:23,177 --> 00:13:26,000
mátrixhoz hasonló egyenleteket is, függetlenül annak együtthatóitól.
207
00:13:27,120 --> 00:13:31,160
Ha feltesszük ezt a kérdést, akkor a mátrixexponensek újrafelfedezése a cél.
208
00:13:31,780 --> 00:13:35,415
A mai nap fő célja az, hogy megértsék, hogy ez az egyenlet hogyan teszi lehetővé,
209
00:13:35,415 --> 00:13:39,272
hogy intuitív módon elképzeljék a műveletet, amelyet e mátrixra emelt e-ként írunk le,
210
00:13:39,272 --> 00:13:42,642
és a másik oldalon, hogy a mátrixexponensek kiszámításának képessége hogyan
211
00:13:42,642 --> 00:13:45,480
teszi lehetővé, hogy explicit módon megoldják ezt az egyenletet.
212
00:13:46,520 --> 00:13:50,335
Egy sokkal kevésbé szeszélyes példa a híres Schrödinger-egyenlet,
213
00:13:50,335 --> 00:13:54,960
amely a kvantummechanikai rendszerek időbeli változását leíró alapvető egyenlet.
214
00:13:55,680 --> 00:13:58,955
Elég ijesztőnek tűnik, és úgy értem, ez kvantummechanika, szóval persze,
215
00:13:58,955 --> 00:14:02,320
hogy az lesz, de valójában nem sokban különbözik a Rómeó-Júlia felállástól.
216
00:14:03,020 --> 00:14:05,280
Ez a szimbólum itt egy bizonyos vektorra utal.
217
00:14:05,800 --> 00:14:09,023
Ez egy vektor, amely egy rendszerben minden olyan információt összegyűjt,
218
00:14:09,023 --> 00:14:12,160
ami érdekelhet, például a különböző részecskék pozícióit és impulzusait.
219
00:14:12,240 --> 00:14:14,569
Ez analóg a mi egyszerűbb 2D vektorunkkal, amely a
220
00:14:14,569 --> 00:14:16,900
Rómeó és Júliáról szóló összes információt kódolta.
221
00:14:17,840 --> 00:14:21,245
Az egyenlet azt mondja, hogy az az arány, amellyel ez az állapotvektor változik,
222
00:14:21,245 --> 00:14:23,600
úgy néz ki, mint egy bizonyos mátrix szorozva önmagával.
223
00:14:24,560 --> 00:14:28,439
Számos dolog van, ami a Schrödinger-egyenletet jelentősen bonyolultabbá teszi,
224
00:14:28,439 --> 00:14:31,336
de az elméd mélyén gondolhatsz rá úgy, mint egy célpontra,
225
00:14:31,336 --> 00:14:34,429
amelyhez te és én fel tudunk építeni, és az egyszerűbb példák,
226
00:14:34,429 --> 00:14:38,260
mint például Rómeó és Júlia, barátságosabb lépcsőfokokat kínálnak az út során.
227
00:14:39,540 --> 00:14:42,246
Tulajdonképpen a legegyszerűbb példa, amely a közönséges
228
00:14:42,246 --> 00:14:45,000
valós számok e hatványaihoz kötődik, az egydimenziós eset.
229
00:14:45,400 --> 00:14:48,136
Ez az, amikor egyetlen változó érték van, és a változás
230
00:14:48,136 --> 00:14:50,580
mértéke megegyezik valamilyen állandó szorzatával.
231
00:14:51,200 --> 00:14:53,440
Tehát minél nagyobb az érték, annál gyorsabban növekszik.
232
00:14:55,080 --> 00:14:58,185
A legtöbb embernek kényelmesebb ezt egy grafikon segítségével szemléltetni,
233
00:14:58,185 --> 00:15:01,087
ahol minél magasabb a grafikon értéke, annál meredekebb a meredeksége,
234
00:15:01,087 --> 00:15:03,580
ami ezt az egyre meredekebb felfelé ívelő görbét eredményezi.
235
00:15:04,040 --> 00:15:06,574
Ne feledje, hogy amikor magasabb dimenziós eltérésekhez jutunk,
236
00:15:06,574 --> 00:15:08,080
a grafikonok sokkal kevésbé hasznosak.
237
00:15:08,880 --> 00:15:11,500
Ez egy rendkívül fontos egyenlet a maga nemében.
238
00:15:11,700 --> 00:15:16,300
Nagyon erős fogalom, ha egy érték változásának mértéke arányos magával az értékkel.
239
00:15:16,760 --> 00:15:22,014
Ez az egyenlet határozza meg a kamatos kamatot, vagy a népességnövekedés korai szakaszát,
240
00:15:22,014 --> 00:15:26,918
mielőtt a korlátozott erőforrások hatása beindul, vagy egy járvány korai szakaszát,
241
00:15:26,918 --> 00:15:29,020
amíg a népesség nagy része fogékony.
242
00:15:31,920 --> 00:15:34,666
A számítást tanuló diákok mind megtanulják, hogy az
243
00:15:34,666 --> 00:15:37,360
e deriváltja az rt-hez képest r szorozva önmagával.
244
00:15:38,440 --> 00:15:41,851
Más szóval, ez az önerősítő növekedési jelenség ugyanaz,
245
00:15:41,851 --> 00:15:46,280
mint az exponenciális növekedés, és e az rt-re megoldja ezt az egyenletet.
246
00:15:48,800 --> 00:15:52,401
Valójában jobb, ha úgy gondolkodunk, hogy ennek az egyenletnek sok különböző
247
00:15:52,401 --> 00:15:54,880
megoldása van, egy minden egyes kezdeti feltételhez,
248
00:15:54,880 --> 00:15:58,248
például egy kezdeti befektetési mérethez vagy egy kezdeti populációhoz,
249
00:15:58,248 --> 00:16:00,120
amelyet egyszerűen csak x0-nak nevezünk.
250
00:16:00,960 --> 00:16:03,909
Vegyük észre egyébként, hogy minél nagyobb az x0 értéke,
251
00:16:03,909 --> 00:16:06,651
annál nagyobb a kapott megoldás kezdeti meredeksége,
252
00:16:06,651 --> 00:16:09,860
aminek az egyenletet tekintve teljesen érthetőnek kell lennie.
253
00:16:11,220 --> 00:16:15,205
Az e függvény az rt-hez csak akkor megoldás, ha a kezdeti feltétel 1,
254
00:16:15,205 --> 00:16:18,279
de ha bármilyen más kezdeti feltétellel megszorozzuk,
255
00:16:18,279 --> 00:16:22,720
akkor egy új függvényt kapunk, amely még mindig kielégíti ezt a tulajdonságot.
256
00:16:23,060 --> 00:16:26,635
Még mindig van egy deriváltja, ami r szorozva önmagával,
257
00:16:26,635 --> 00:16:29,960
de ezúttal x0-nál kezdődik, mivel e a 0-hoz képest 1.
258
00:16:30,780 --> 00:16:33,300
Ezt érdemes kiemelni, mielőtt több dimenzióra általánosítanánk.
259
00:16:33,800 --> 00:16:37,320
Ne gondoljon arra, hogy az exponenciális rész önmagában megoldást jelent.
260
00:16:37,800 --> 00:16:42,380
Gondoljon rá úgy, mint valamire, ami egy kezdeti feltételre hat, hogy megoldást adjon.
261
00:16:46,440 --> 00:16:49,691
Látod, a kétdimenziós esetben, amikor van egy változó vektorunk,
262
00:16:49,691 --> 00:16:52,192
amelynek a változás sebessége úgy van korlátozva,
263
00:16:52,192 --> 00:16:55,844
hogy valamilyen mátrix szorozva legyen önmagával, a megoldás úgy néz ki,
264
00:16:55,844 --> 00:16:59,196
hogy egy adott kezdeti feltételre ható exponenciális kifejezés is,
265
00:16:59,196 --> 00:17:03,148
de az exponenciális rész ebben az esetben egy olyan mátrixot fog eredményezni,
266
00:17:03,148 --> 00:17:06,099
amely az idővel változik, és a kezdeti feltétel egy vektor.
267
00:17:06,900 --> 00:17:10,830
Valójában a mátrix exponenciálás definícióját úgy kell elképzelni,
268
00:17:10,830 --> 00:17:13,940
hogy erősen motiválja ennek a ténynek az igaz voltát.
269
00:17:14,920 --> 00:17:18,931
Például, ha visszatekintünk a Rómeó és Júliával felbukkant rendszerre,
270
00:17:18,931 --> 00:17:23,339
akkor most az az állítás, hogy a megoldások úgy néznek ki, hogy e-t erre a 0,
271
00:17:23,339 --> 00:17:28,141
negatív 1, 1, 1, 0 mátrixra emelve minden alkalommal megszorozzuk valamilyen kezdeti
272
00:17:28,141 --> 00:17:28,820
feltétellel.
273
00:17:29,560 --> 00:17:32,309
De ebben az esetben már láttuk a megoldást, tudjuk, hogy úgy néz ki,
274
00:17:32,309 --> 00:17:34,580
mint egy forgatási mátrix szorozva a kezdeti feltétellel.
275
00:17:35,260 --> 00:17:38,006
Szánjunk tehát egy pillanatot arra, hogy feltűrjük az ingujjunkat,
276
00:17:38,006 --> 00:17:41,327
és kiszámoljuk az exponenciális kifejezést az elején említett definíció alapján,
277
00:17:41,327 --> 00:17:42,680
és megnézzük, hogy ez egybevág-e.
278
00:17:43,260 --> 00:17:47,543
Emlékezzünk, hogy az e-t a mátrix hatványára írni egy rövidítés, egy rövidítés arra,
279
00:17:47,543 --> 00:17:52,080
hogy bedugjuk ebbe a hosszú végtelen polinomba, az e-t az x-re vonatkozó Taylor-sorozatba.
280
00:17:53,100 --> 00:17:56,319
Tudom, hogy ez elég bonyolultnak tűnhet, de higgye el,
281
00:17:56,319 --> 00:17:59,480
nagyon kielégítő, ahogy ez a bizonyos példány kiderül.
282
00:18:00,180 --> 00:18:04,500
Ha valóban leülsz, és kiszámítod ennek a mátrixnak az egymást követő hatványait,
283
00:18:04,500 --> 00:18:08,020
észreveheted, hogy négy ismétlésenként egy ciklikus mintába esnek.
284
00:18:27,280 --> 00:18:30,940
Ennek van értelme, mivel tudjuk, hogy ez egy 90 fokos forgatási mátrix.
285
00:18:31,620 --> 00:18:34,973
Amikor tehát a végtelen sok mátrixot kifejezésről kifejezésre összeadjuk,
286
00:18:34,973 --> 00:18:38,508
az eredmény minden egyes tagja úgy néz ki, mint egy t-ben kifejezett polinom,
287
00:18:38,508 --> 00:18:41,544
amelynek együtthatói valamilyen szép ciklikus mintázatot mutatnak,
288
00:18:41,544 --> 00:18:44,400
és mindegyiket a megfelelő faktoriális kifejezéssel méretezzük.
289
00:18:45,760 --> 00:18:49,205
Azok, akik jártasak a Taylor-sorozatokban, talán felismerik,
290
00:18:49,205 --> 00:18:53,668
hogy ezek az összetevők mindegyike a szinusz vagy a koszinusz Taylor-sorozata,
291
00:18:53,668 --> 00:18:57,340
bár a jobb felső sarokban valójában a negatív szinuszról van szó.
292
00:18:58,680 --> 00:19:02,217
Tehát a számítás eredményeként pontosan azt a forgatási mátrixot kapjuk,
293
00:19:02,217 --> 00:19:03,380
ami korábban is megvolt.
294
00:19:07,160 --> 00:19:09,220
Számomra ez rendkívül szép.
295
00:19:09,680 --> 00:19:13,269
Két teljesen különböző módon gondolkodunk ugyanarról a rendszerről,
296
00:19:13,269 --> 00:19:14,800
és ugyanazt a választ kapjuk.
297
00:19:15,480 --> 00:19:19,187
Megnyugtató, hogy igen, de vad, hogy mennyire más a gondolkodásmód,
298
00:19:19,187 --> 00:19:23,494
amikor ezen a polinomon puffogsz, mint amikor geometrikusan gondolkodsz arról,
299
00:19:23,494 --> 00:19:26,820
hogy egy pozícióra merőleges sebességnek mit kell jelentenie.
300
00:19:27,720 --> 00:19:29,695
Remélhetőleg az a tény, hogy ezek egybevágnak,
301
00:19:29,695 --> 00:19:32,974
egy kis bizalmat ébreszt abban az állításban, hogy a mátrixexponensek valóban
302
00:19:32,974 --> 00:19:34,320
megoldják az ilyen rendszereket.
303
00:19:35,340 --> 00:19:38,890
Ez egyébként megmagyarázza a számítást, amit az elején láttunk, azzal a mátrixszal,
304
00:19:38,890 --> 00:19:41,131
amelynek negatív pi és pi volt az átlóktól távolabb,
305
00:19:41,131 --> 00:19:42,780
ami a negatív azonosságot eredményezte.
306
00:19:43,560 --> 00:19:47,985
Ez a kifejezés egy 90 fokos forgatási mátrix pi-vel történő exponenciálása,
307
00:19:47,985 --> 00:19:53,168
ami egy másik módja annak, hogy leírjuk, mit csinál a Rómeó-Júlia beállítás pi időegység
308
00:19:53,168 --> 00:19:53,460
után.
309
00:19:54,040 --> 00:19:57,966
Mint most már tudjuk, ez azt eredményezi, hogy minden 180 fokkal elfordul
310
00:19:57,966 --> 00:20:01,680
ebben az állapottérben, ami ugyanaz, mintha negatív 1-gyel szoroznánk.
311
00:20:03,060 --> 00:20:06,434
Továbbá, ha valaki ismeri a képzeletbeli számok exponenseit,
312
00:20:06,434 --> 00:20:08,980
akkor ez a példa egy csomó dolgot fog mondani.
313
00:20:09,360 --> 00:20:11,120
Ez 100%-ban analóg.
314
00:20:11,840 --> 00:20:15,881
Valójában az egész példát, amelyben Rómeó és Júlia érzéseit egy komplex számba
315
00:20:15,881 --> 00:20:20,280
csomagoltuk, úgy is megfogalmazhattuk volna, hogy a komplex szám változásának mértéke
316
00:20:20,280 --> 00:20:23,758
i-szerese önmagának, mivel az i-vel való szorzás is úgy viselkedik,
317
00:20:23,758 --> 00:20:25,140
mint egy 90 fokos forgatás.
318
00:20:25,840 --> 00:20:29,126
Ugyanez a gondolatmenet, mind analitikus, mind geometriai értelemben,
319
00:20:29,126 --> 00:20:32,928
vezetett volna ehhez az egész elképzeléshez, miszerint az e hatványozottan i t a
320
00:20:32,928 --> 00:20:33,680
forgást írja le.
321
00:20:34,460 --> 00:20:38,534
Ez valójában két példa a matematika és a fizika számos különböző példája közül,
322
00:20:38,534 --> 00:20:42,863
amikor egy olyan objektumot exponenciálsz, amely 90 fokos forgatásként viselkedik az
323
00:20:42,863 --> 00:20:43,220
idővel.
324
00:20:43,980 --> 00:20:45,791
Ez a kvantummechanikában felbukkanó mátrixok vagy a
325
00:20:45,791 --> 00:20:48,020
kvantummechanikában felbukkanó mátrixok közül soknál megjelenik.
326
00:20:48,720 --> 00:20:52,349
Mindezekben az esetekben van egy nagyon szép általános elképzelésünk,
327
00:20:52,349 --> 00:20:56,341
miszerint ha veszünk egy műveletet, amely 90 fokot forgat valamilyen síkban,
328
00:20:56,341 --> 00:21:00,799
gyakran egy olyan síkban egy nagy dimenziós térben, amelyet nem tudunk megjeleníteni,
329
00:21:00,799 --> 00:21:04,169
akkor a művelet idővel történő exponenciálásával kapunk valamit,
330
00:21:04,169 --> 00:21:07,280
ami az összes többi forgatást generálja ugyanabban a síkban.
331
00:21:09,100 --> 00:21:13,240
Ugyanennek a témának az egyik bonyolultabb változata a Schrödinger-egyenlet.
332
00:21:13,840 --> 00:21:16,133
Nem csak arról van szó, hogy egy állapot deriváltja
333
00:21:16,133 --> 00:21:18,780
egyenlő valamilyen mátrix szorozva az adott állapotformával.
334
00:21:19,020 --> 00:21:24,099
A vonatkozó mátrix jellege itt olyan, hogy az egyenlet egyfajta forgást is leír,
335
00:21:24,099 --> 00:21:29,680
bár a Schrödinger-egyenlet sok alkalmazásában ez egyfajta forgás lesz egy függvénytérben.
336
00:21:30,520 --> 00:21:34,800
Ez egy kicsit bonyolultabb, mert jellemzően több különböző forgás kombinációjából áll.
337
00:21:35,220 --> 00:21:38,368
Időbe telik, hogy igazán beleássuk magunkat ebbe az egyenletbe,
338
00:21:38,368 --> 00:21:42,107
és ezt egy későbbi fejezetben szívesen megtenném, de most nem tehetek mást,
339
00:21:42,107 --> 00:21:45,796
mint hogy legalább utaljak arra a tényre, hogy ez a képzeletbeli i egység,
340
00:21:45,796 --> 00:21:49,633
amely olyan szemtelenül ül az egész világegyetem ilyen alapvető egyenletében,
341
00:21:49,633 --> 00:21:53,520
lényegében ugyanazt a szerepet játssza, mint a mátrix a Rómeó-Júlia példánkban.
342
00:21:54,160 --> 00:21:58,657
Ez az i azt üzeni, hogy egy bizonyos állapot változásának mértéke
343
00:21:58,657 --> 00:22:02,065
bizonyos értelemben merőleges az adott állapotra,
344
00:22:02,065 --> 00:22:07,040
és ezért a dolgok időbeli fejlődésének módja egyfajta oszcillációval jár.
345
00:22:11,120 --> 00:22:14,480
De a mátrix exponenciálás sokkal többre képes, mint a forgatás.
346
00:22:15,020 --> 00:22:19,040
Az ilyen típusú differenciálegyenleteket mindig vektormezővel lehet szemléltetni.
347
00:22:20,240 --> 00:22:23,900
Az ötlet az, hogy ez az egyenlet azt mondja, hogy egy állapot sebességét
348
00:22:23,900 --> 00:22:28,262
teljes mértékben a helyzete határozza meg, ezért a tér minden egyes pontjához megyünk,
349
00:22:28,262 --> 00:22:31,922
és rajzolunk egy kis vektort, amely jelzi, hogy egy állapot sebességének
350
00:22:31,922 --> 00:22:34,480
mekkorának kell lennie, ha áthalad az adott ponton.
351
00:22:35,340 --> 00:22:37,641
A mi típusú egyenletünk esetében ez azt jelenti,
352
00:22:37,641 --> 00:22:41,400
hogy a tér minden egyes v pontjához odamegyünk, és az m vektort v-hez csatoljuk.
353
00:22:54,020 --> 00:22:58,070
Ahhoz, hogy intuitív módon megértsük, hogyan fog egy adott kezdeti állapot fejlődni,
354
00:22:58,070 --> 00:23:00,833
hagyjuk, hogy a mező mentén áramoljon, olyan sebességgel,
355
00:23:00,833 --> 00:23:04,360
amely mindig megegyezik azzal a vektorral, amelyen az adott időpontban ül.
356
00:23:05,860 --> 00:23:09,762
Ha tehát az állítás az, hogy ennek az egyenletnek a megoldásai úgy néznek ki,
357
00:23:09,762 --> 00:23:13,815
mint e az m t-hez szorozva valamilyen kezdeti feltétellel, akkor ez azt jelenti,
358
00:23:13,815 --> 00:23:16,867
hogy szemléltetni lehet, hogy mit csinál az e az m t mátrix,
359
00:23:16,867 --> 00:23:21,020
ha minden lehetséges kezdeti feltételt t időegységig hagyunk áramolni ezen a mezőn.
360
00:23:25,080 --> 00:23:29,064
Az átmenetet a kezdetről a végére írja le az a mátrix,
361
00:23:29,064 --> 00:23:32,180
amely az e számításból az m t-re pattan ki.
362
00:23:33,540 --> 00:23:37,895
A fő példánkban a 90 fokos forgatási mátrixszal a vektormező így néz ki,
363
00:23:37,895 --> 00:23:41,475
és mint láttuk e az m t-hez ebben az esetben forgást ír le,
364
00:23:41,475 --> 00:23:44,340
ami összhangban van az áramlással e mező mentén.
365
00:23:45,800 --> 00:23:50,141
Másik példaként a shakespeare-i Rómeó és Júlia egyenletei talán kicsit jobban
366
00:23:50,141 --> 00:23:53,648
hasonlítanak erre, ahol Júlia szabálya szimmetrikus Rómeóéval,
367
00:23:53,648 --> 00:23:58,380
és mindketten hajlamosak arra, hogy egymás érzelmeire reagálva elragadtassák magukat.
368
00:23:59,360 --> 00:24:02,253
Ismétlem, a vektormezőt, amit nézel, úgy definiáltuk,
369
00:24:02,253 --> 00:24:06,700
hogy a tér minden egyes v pontjához odamegyünk, és az m vektort a v-hez kapcsoljuk.
370
00:24:07,160 --> 00:24:10,312
Ez annak képletes kifejezése, hogy egy állapot változásának
371
00:24:10,312 --> 00:24:12,940
m-szeresének mindig egyenlőnek kell lennie m-gyel.
372
00:24:14,160 --> 00:24:18,600
De ebben a példában a mező mentén történő áramlás egészen másképp néz ki, mint korábban.
373
00:24:19,200 --> 00:24:22,854
Ha Rómeó és Júlia a síknak ezen a jobb felső felén indulnak el,
374
00:24:22,854 --> 00:24:27,080
érzelmeik egymásból táplálkoznak, és mindketten a végtelen felé tendálnak.
375
00:24:30,580 --> 00:24:33,428
Ha ők a gép másik felében vannak, nos, mondjuk úgy,
376
00:24:33,428 --> 00:24:36,880
hogy ők hűségesebbek maradnak a Montague család hagyományaihoz.
377
00:24:38,020 --> 00:24:42,622
Tehát még mielőtt megpróbálnád kiszámítani ennek a bizonyos mátrixnak az exponenciálisát,
378
00:24:42,622 --> 00:24:45,640
már intuitív módon tudod, hogyan kell kinéznie a válasznak.
379
00:24:46,160 --> 00:24:50,328
Az így kapott mátrixnak le kell írnia az átmenetet a 0-ról a t időre,
380
00:24:50,328 --> 00:24:54,974
ami ha megnézzük a mezőt, úgy tűnik, hogy az egyik átló mentén összenyomódik,
381
00:24:54,974 --> 00:24:59,560
míg a másik mentén megnyúlik, és egyre szélsőségesebb lesz, ahogy a t idő nő.
382
00:25:00,780 --> 00:25:03,673
Természetesen mindez azt feltételezi, hogy e az m t-szer
383
00:25:03,673 --> 00:25:06,720
egy kezdeti feltétel valóban megoldja ezeket a rendszereket.
384
00:25:07,640 --> 00:25:09,926
Ez egyike azoknak a tényeknek, amelyeket a legkönnyebb elhinni,
385
00:25:09,926 --> 00:25:11,320
ha az ember csak úgy magától kitalálja.
386
00:25:12,300 --> 00:25:14,300
De egy gyors vázlatot azért végigfutok.
387
00:25:16,020 --> 00:25:19,235
Írja ki a teljes polinomot, amely meghatározza az e-t az m t-re,
388
00:25:19,235 --> 00:25:22,600
és szorozza meg valamilyen kezdeti feltételvektorral a jobb oldalon.
389
00:25:26,540 --> 00:25:29,420
Ezután vegyük ennek deriváltját t függvényében.
390
00:25:30,180 --> 00:25:32,226
Mivel az m mátrix állandó, ez csak annyit jelent,
391
00:25:32,226 --> 00:25:34,600
hogy a hatványszabályt kell alkalmazni minden egyes tagra.
392
00:25:43,340 --> 00:25:47,000
És ez a hatványszabály nagyon szépen kioltja a faktoriális kifejezéseket.
393
00:25:52,920 --> 00:25:58,121
Így egy olyan kifejezés marad, amely majdnem ugyanúgy néz ki, mint az előbbi, kivéve,
394
00:25:58,121 --> 00:26:03,020
hogy minden egyes kifejezésre egy plusz m lóg rá, de ezt balra ki lehet számolni.
395
00:26:03,580 --> 00:26:08,111
Tehát a kifejezés deriváltja az eredeti kifejezés m-szerese,
396
00:26:08,111 --> 00:26:10,340
és így megoldja az egyenletet.
397
00:26:11,420 --> 00:26:14,559
Ez valójában a szőnyeg alá söpör néhány, a szigorhoz szükséges részletet,
398
00:26:14,559 --> 00:26:16,723
amelyek leginkább arra a kérdésre összpontosulnak,
399
00:26:16,723 --> 00:26:19,820
hogy ez a dolog valóban konvergál-e vagy sem, de a fő gondolatot megadja.
400
00:26:21,020 --> 00:26:23,474
A következő fejezetben szeretnék többet beszélni arról,
401
00:26:23,474 --> 00:26:25,884
hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik ez a művelet,
402
00:26:25,884 --> 00:26:28,864
leginkább a sajátvektorokkal és sajátértékekkel való kapcsolatáról,
403
00:26:28,864 --> 00:26:31,887
ami elvezet minket ahhoz, hogy konkrétabb módon gondolkodjunk arról,
404
00:26:31,887 --> 00:26:34,780
hogyan is végezzük el ezt az egyébként őrültségnek tűnő számítást.
405
00:26:36,060 --> 00:26:38,652
Ha az időnk engedi, jó lenne arról is beszélgetni,
406
00:26:38,652 --> 00:26:41,600
hogy mit jelent e-t a deriváló operátor hatványára emelni.
407
00:26:55,820 --> 00:27:06,920
Köszönöm.