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1616
16171
00:00:00,000 --> 00:00:04,717
आइए मैं एक पुरानी अंतर समीकरण पाठ्यपुस्तक निकालता हूं जो मैंने कॉलेज में सीखी थी,
2
00:00:04,717 --> 00:00:08,916
और आइए यहां इस मजेदार छोटे अभ्यास की ओर मुड़ते हैं जो पाठक को ई की शक्ति
3
00:00:08,916 --> 00:00:13,806
की गणना करने के लिए कहता है, जहां हमें बताया गया है कि एक मैट्रिक्स होने जा रहा है ,
4
00:00:13,806 --> 00:00:17,200
और संकेत यह प्रतीत होता है कि परिणाम भी एक मैट्रिक्स होंगे।
5
00:00:18,460 --> 00:00:21,280
इसके बाद यह कई उदाहरण प्रस्तुत करता है कि आप क्या प्लग इन कर सकते हैं।
6
00:00:22,240 --> 00:00:25,841
अब, एक संदर्भ को बाहर निकालना, एक मैट्रिक्स को इस तरह से एक घातांक में
7
00:00:25,841 --> 00:00:29,494
डालना शायद पूरी तरह से बकवास जैसा लगता है, लेकिन यह जो संदर्भित करता है
8
00:00:29,494 --> 00:00:33,400
वह एक बेहद सुंदर ऑपरेशन है, और इस पुस्तक में इसका कारण यह है कि यह उपयोगी है।
9
00:00:33,880 --> 00:00:37,080
इसका उपयोग विभेदक समीकरणों के एक बहुत ही महत्वपूर्ण वर्ग को हल करने के लिए किया जाता है।
10
00:00:37,800 --> 00:00:42,431
बदले में, यह देखते हुए कि ब्रह्मांड को अक्सर अंतर समीकरणों की भाषा में लिखा जाता है,
11
00:00:42,431 --> 00:00:46,517
आप इसे भौतिकी में भी हर समय देखते हैं, विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी में,
12
00:00:46,517 --> 00:00:48,860
जहां मैट्रिक्स घातांक हर जगह बिखरे हुए हैं।
13
00:00:49,140 --> 00:00:50,800
वे विशेष रूप से प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
14
00:00:51,240 --> 00:00:53,536
इसका श्रोडिंगर के समीकरण से बहुत कुछ लेना-देना है,
15
00:00:53,536 --> 00:00:56,147
जिस पर हम थोड़ी देर बाद चर्चा करेंगे, और यह आपके रोमांटिक
16
00:00:56,147 --> 00:00:59,480
रिश्तों को समझने में भी मदद कर सकता है, लेकिन फिर भी, सब कुछ उचित समय में।
17
00:01:05,420 --> 00:01:09,013
जिस कारण से मैं इस विषय को कवर करना चाहता हूं उसका एक बड़ा हिस्सा यह है कि प्रवाह का
18
00:01:09,013 --> 00:01:11,508
उपयोग करके मैट्रिक्स प्रतिपादक वास्तव में क्या कर रहे हैं,
19
00:01:11,508 --> 00:01:15,271
इसकी कल्पना करने का एक बहुत अच्छा तरीका है जिसके बारे में बहुत से लोग बात नहीं करते हैं,
20
00:01:15,271 --> 00:01:18,864
लेकिन इस अध्याय के अधिकांश भाग के लिए, आइए यह बताकर शुरुआत करें कि वास्तव में ऑपरेशन
21
00:01:18,864 --> 00:01:22,458
क्या है, और देखें कि क्या हम यह महसूस कर सकते हैं कि यह किस प्रकार की समस्याओं को हल
22
00:01:22,458 --> 00:01:23,600
करने में हमारी मदद करता है।
23
00:01:24,060 --> 00:01:27,087
पहली बात जो आपको जाननी चाहिए वह यह है कि स्थिरांक e को
24
00:01:27,087 --> 00:01:30,280
स्वयं से कई बार गुणा करने का यह कोई विचित्र तरीका नहीं है।
25
00:01:30,780 --> 00:01:32,260
आपका इसे बकवास कहना सही होगा.
26
00:01:33,020 --> 00:01:36,554
वास्तविक परिभाषा ई की वास्तविक संख्या शक्तियों का वर्णन करने के लिए एक
27
00:01:36,554 --> 00:01:40,040
निश्चित अनंत बहुपद से संबंधित है, जिसे हम इसकी टेलर श्रृंखला कहते हैं।
28
00:01:40,800 --> 00:01:46,050
उदाहरण के लिए, यदि मैंने संख्या 2 ली और इसे इस बहुपद में जोड़ दिया,
29
00:01:46,050 --> 00:01:52,921
तो जैसे-जैसे आप अधिक से अधिक पद जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक 2 की कुछ घात को कुछ भाज्य
30
00:01:52,921 --> 00:01:59,020
से विभाजित करने जैसा दिखता है, योग 7 के करीब एक संख्या के करीब पहुंचता है।389,
31
00:01:59,020 --> 00:02:01,260
और यह संख्या ठीक e गुना e है।
32
00:02:01,980 --> 00:02:05,559
यदि आप इस इनपुट को एक से बढ़ाते हैं, तो कुछ हद तक चमत्कारिक रूप से,
33
00:02:05,559 --> 00:02:10,034
चाहे आपने कहीं से भी शुरुआत की हो, आउटपुट पर प्रभाव हमेशा इसे ई के किसी अन्य कारक से
34
00:02:10,034 --> 00:02:11,140
गुणा करने का होता है।
35
00:02:12,260 --> 00:02:16,740
जिन कारणों से आप थोड़ा सा देखने जा रहे हैं, गणितज्ञ इस बहुपद में सभी प्रकार की
36
00:02:16,740 --> 00:02:21,503
चीजों को जोड़ने में रुचि रखते हैं, जटिल संख्याएं और, हमारे आज के उद्देश्यों के लिए,
37
00:02:21,503 --> 00:02:25,700
आव्यूह, तब भी जब वे वस्तुएं घातांक के रूप में तुरंत समझ में नहीं आती हैं .
38
00:02:26,660 --> 00:02:32,020
जब आप अधिक विदेशी इनपुट प्लग इन करते हैं तो कुछ लेखक इस अनंत बहुपद को exp नाम देते हैं।
39
00:02:32,520 --> 00:02:36,367
यह इस संबंध की ओर एक सौम्य इशारा है कि वास्तविक संख्याओं के मामले में इसका घातांकीय
40
00:02:36,367 --> 00:02:40,260
कार्य होता है, भले ही स्पष्ट रूप से इन इनपुटों का घातांक के रूप में कोई मतलब नहीं है।
41
00:02:40,960 --> 00:02:44,283
हालाँकि, एक समान रूप से सामान्य परंपरा यह है कि कनेक्शन के लिए बहुत
42
00:02:44,283 --> 00:02:47,656
कम सौम्य संकेत दिया जाए और आप जिस भी ऑब्जेक्ट को प्लग इन कर रहे हैं,
43
00:02:47,656 --> 00:02:50,736
उसकी शक्ति के अनुसार पूरी चीज़ को ई के रूप में संक्षिप्त करें,
44
00:02:50,736 --> 00:02:54,500
चाहे वह एक जटिल संख्या हो या मैट्रिक्स, या सभी प्रकार की अधिक विदेशी वस्तुएँ।
45
00:02:55,220 --> 00:02:58,184
इसलिए जबकि यह समीकरण वास्तविक संख्याओं के लिए एक प्रमेय है,
46
00:02:58,184 --> 00:03:00,260
यह अधिक विदेशी इनपुट के लिए एक परिभाषा है।
47
00:03:01,040 --> 00:03:03,900
निंदनीय रूप से, आप इसे संकेतन का घोर दुरुपयोग कह सकते हैं।
48
00:03:04,720 --> 00:03:07,267
अधिक उदारतापूर्वक, आप इसे गणित में खोज और आविष्कार के
49
00:03:07,267 --> 00:03:09,720
बीच के सुंदर चक्र के उदाहरण के रूप में देख सकते हैं।
50
00:03:10,700 --> 00:03:14,335
किसी भी मामले में, एक बहुपद में भी मैट्रिक्स को प्लग करना थोड़ा अजीब लग सकता है,
51
00:03:14,335 --> 00:03:16,400
तो आइए स्पष्ट करें कि यहां हमारा क्या मतलब है।
52
00:03:16,900 --> 00:03:19,940
मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होनी चाहिए।
53
00:03:20,460 --> 00:03:24,680
इस तरह आप मैट्रिक्स गुणन के सामान्य नियमों के अनुसार इसे स्वयं से गुणा कर सकते हैं।
54
00:03:25,360 --> 00:03:27,520
इसका वर्ग करने से हमारा तात्पर्य यही है।
55
00:03:28,100 --> 00:03:32,829
इसी तरह, यदि आपको वह परिणाम लेना है और फिर उसे मूल मैट्रिक्स से गुणा करना है,
56
00:03:32,829 --> 00:03:35,740
तो मैट्रिक्स को क्यूब करने से हमारा यही मतलब है।
57
00:03:37,640 --> 00:03:41,673
यदि आप इसी तरह आगे बढ़ते हैं, तो आप मैट्रिक्स की कोई भी पूर्ण संख्या शक्ति ले सकते हैं,
58
00:03:41,673 --> 00:03:42,820
यह पूरी तरह से समझदार है।
59
00:03:43,320 --> 00:03:47,520
इस संदर्भ में, शक्तियों का अभी भी वही मतलब है जो आप उम्मीद करेंगे, बार-बार गुणा करना।
60
00:03:53,840 --> 00:03:57,758
इस बहुपद में प्रत्येक पद को कुछ भाज्य द्वारा विभाजित 1 से मापा जाता है,
61
00:03:57,758 --> 00:04:02,440
और मैट्रिक्स के साथ, इसका मतलब यह है कि आप प्रत्येक घटक को उस संख्या से गुणा करते हैं।
62
00:04:03,280 --> 00:04:06,324
इसी तरह, दो मैट्रिक्स को एक साथ जोड़ना हमेशा समझ में आता है,
63
00:04:06,324 --> 00:04:08,820
यह कुछ ऐसा है जिसे आप फिर से शब्द दर चरण करते हैं।
64
00:04:09,540 --> 00:04:13,552
आपमें से जो चतुर लोग होंगे वे पूछ सकते हैं कि इसे अनंत तक ले जाना कितना समझदारी भरा है,
65
00:04:13,552 --> 00:04:16,972
जो एक महान प्रश्न होगा, जिसका उत्तर मैं काफी हद तक स्थगित करने जा रहा हूं,
66
00:04:16,972 --> 00:04:19,800
लेकिन मैं अब आपको यहां एक बहुत ही मजेदार उदाहरण दिखा सकता हूं।
67
00:04:20,440 --> 00:04:22,908
इस 2x2 मैट्रिक्स को लें जिसमें नकारात्मक pi और
68
00:04:22,908 --> 00:04:25,220
pi इसके विकर्ण प्रविष्टियों से दूर बैठे हैं।
69
00:04:25,540 --> 00:04:26,640
देखते हैं योग क्या देता है।
70
00:04:27,280 --> 00:04:30,277
पहला पद पहचान मैट्रिक्स है, जब हम किसी मैट्रिक्स को शून्यवीं
71
00:04:30,277 --> 00:04:33,520
घात तक बढ़ाते हैं तो परिभाषा से हमारा वास्तव में यही मतलब होता है।
72
00:04:34,460 --> 00:04:38,155
फिर हम मैट्रिक्स को स्वयं जोड़ते हैं, जो हमें विकर्ण शब्दों से पीआई देता है,
73
00:04:38,155 --> 00:04:41,611
और फिर मैट्रिक्स के आधे हिस्से को वर्ग में जोड़ता है, और जारी रखता हूं,
74
00:04:41,611 --> 00:04:43,964
मैं कंप्यूटर को अधिक से अधिक शब्द जोड़ता रहूंगा,
75
00:04:43,964 --> 00:04:47,804
जिनमें से प्रत्येक को एक और मैट्रिक्स लेने की आवश्यकता होती है नई शक्ति प्राप्त
76
00:04:47,804 --> 00:04:50,300
करने के लिए उत्पाद, और फिर इसे चालू टैली में जोड़ना।
77
00:04:51,160 --> 00:04:54,630
और जैसे-जैसे यह आगे बढ़ता जा रहा है, ऐसा लगता है कि यह एक स्थिर मूल्य
78
00:04:54,630 --> 00:04:58,200
के करीब पहुंच रहा है, जो कि पहचान मैट्रिक्स से लगभग 1 गुना नकारात्मक है।
79
00:04:58,880 --> 00:05:02,100
इस अर्थ में, हम कहते हैं कि अनंत योग उस नकारात्मक पहचान के बराबर है।
80
00:05:03,040 --> 00:05:07,520
इस वीडियो के अंत तक, मेरी आशा है कि यह विशेष तथ्य आपको पूरी तरह समझ में आ जाएगा।
81
00:05:07,920 --> 00:05:10,117
आपमें से जो भी यूलर की प्रसिद्ध पहचान से परिचित है,
82
00:05:10,117 --> 00:05:12,400
उसके लिए यह अनिवार्य रूप से उसका मैट्रिक्स संस्करण है।
83
00:05:13,020 --> 00:05:16,657
यह पता चला है कि सामान्य तौर पर, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस मैट्रिक्स
84
00:05:16,657 --> 00:05:19,502
से शुरू करते हैं, जैसे-जैसे आप अधिक से अधिक शब्द जोड़ते हैं,
85
00:05:19,502 --> 00:05:23,187
आप अंततः कुछ स्थिर मूल्य तक पहुंचते हैं, हालांकि कभी-कभी आपको वहां पहुंचने में
86
00:05:23,187 --> 00:05:24,120
काफी समय लग सकता है।
87
00:05:26,600 --> 00:05:31,668
इस तरह की परिभाषा को अलग से देखने से सभी प्रकार के प्रश्न उठते हैं, विशेष रूप से,
88
00:05:31,668 --> 00:05:37,230
गणितज्ञों और भौतिकविदों को अपने खराब मैट्रिक्स को इस तरह से प्रताड़ित करने में रुचि क्यों
89
00:05:37,230 --> 00:05:37,540
होगी?
90
00:05:37,900 --> 00:05:39,500
वे किन समस्याओं को हल करने का प्रयास कर रहे हैं?
91
00:05:40,340 --> 00:05:43,812
और यदि आप मेरे जैसे हैं, तो एक नया ऑपरेशन केवल तभी संतोषजनक होता है जब आपके पास
92
00:05:43,812 --> 00:05:46,372
यह स्पष्ट दृष्टिकोण हो कि यह क्या करने की कोशिश कर रहा है,
93
00:05:46,372 --> 00:05:50,105
संख्याओं को वास्तव में समझने से पहले इनपुट के आधार पर आउटपुट की भविष्यवाणी कैसे करें,
94
00:05:50,105 --> 00:05:50,800
इसकी कुछ समझ हो।
95
00:05:51,520 --> 00:05:54,497
आप कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि विकर्णों से दूर पाई वाला
96
00:05:54,497 --> 00:05:57,900
मैट्रिक्स इस तरह एक नकारात्मक पहचान मैट्रिक्स में परिणत होता है?
97
00:05:59,100 --> 00:06:01,727
अक्सर गणित में आपको परिभाषा को शुरुआती बिंदु के रूप में नहीं,
98
00:06:01,727 --> 00:06:03,380
बल्कि एक लक्ष्य के रूप में देखना चाहिए।
99
00:06:03,920 --> 00:06:07,820
पाठ्यपुस्तकों की संरचना के विपरीत, गणितज्ञ परिभाषाएँ बनाने और फिर बहुत सारे प्रमेयों
100
00:06:07,820 --> 00:06:11,720
को सूचीबद्ध करने और उन्हें साबित करने और फिर कुछ उदाहरण दिखाने से शुरू नहीं करते हैं।
101
00:06:11,720 --> 00:06:15,220
गणित की खोज की प्रक्रिया आम तौर पर दूसरे तरीके से चलती है।
102
00:06:15,460 --> 00:06:18,134
वे विशिष्ट समस्याओं पर विचार करने से शुरुआत करते हैं,
103
00:06:18,134 --> 00:06:22,196
और फिर उन समस्याओं का सामान्यीकरण करते हैं, फिर उन निर्माणों के साथ आते हैं जो उन
104
00:06:22,196 --> 00:06:26,209
सामान्य मामलों में सहायक हो सकते हैं, और उसके बाद ही आप एक नई परिभाषा लिखते हैं,
105
00:06:26,209 --> 00:06:28,240
या एक पुरानी परिभाषा का विस्तार करते हैं।
106
00:06:29,380 --> 00:06:32,806
किस प्रकार के विशिष्ट उदाहरण मैट्रिक्स प्रतिपादकों को प्रेरित कर सकते हैं,
107
00:06:32,806 --> 00:06:34,040
दो बातें दिमाग में आती हैं।
108
00:06:34,460 --> 00:06:37,500
एक में रिश्ते शामिल हैं, और दूसरे में क्वांटम यांत्रिकी।
109
00:06:38,180 --> 00:06:39,240
आइये रिश्तों से शुरुआत करते हैं।
110
00:06:43,080 --> 00:06:46,966
मान लीजिए कि हमारे दो प्रेमी हैं, आइए उन्हें रोमियो और जूलियट कहें,
111
00:06:46,966 --> 00:06:50,453
और आइए x रोमियो के लिए जूलियट के प्यार का प्रतिनिधित्व करें,
112
00:06:50,453 --> 00:06:53,139
और y उसके लिए उसके प्यार का प्रतिनिधित्व करें,
113
00:06:53,139 --> 00:06:55,940
ये दोनों ऐसे मूल्य होंगे जो समय के साथ बदलते हैं।
114
00:06:56,900 --> 00:06:59,413
यह एक उदाहरण है जिसे हमने वास्तव में अध्याय 1 में छुआ था,
115
00:06:59,413 --> 00:07:03,140
जो स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़ लेख पर आधारित था, लेकिन यदि आपने इसे नहीं देखा तो कोई बात नहीं।
116
00:07:03,580 --> 00:07:08,565
जिस तरह से उनका रिश्ता काम करता है वह यह है कि जिस दर पर रोमियो के लिए जूलियट का प्यार
117
00:07:08,565 --> 00:07:13,608
बदलता है, इस मूल्य का व्युत्पन्न, उसके लिए रोमियो के प्यार के नकारात्मक 1 गुना के बराबर
118
00:07:13,608 --> 00:07:13,780
है।
119
00:07:14,560 --> 00:07:18,239
दूसरे शब्दों में, जब रोमियो शांत उदासीनता व्यक्त कर रहा है,
120
00:07:18,239 --> 00:07:23,144
तभी जूलियट की भावनाएँ बढ़ जाती हैं, जबकि यदि वह बहुत अधिक मोहग्रस्त हो जाता है,
121
00:07:23,144 --> 00:07:24,800
तो उसकी रुचि कम होने लगेगी।
122
00:07:27,100 --> 00:07:28,700
दूसरी ओर, रोमियो इसके विपरीत है।
123
00:07:29,060 --> 00:07:32,700
उसके प्यार में बदलाव की दर जूलियट के प्यार के आकार के बराबर है।
124
00:07:33,280 --> 00:07:37,824
इसलिए जब जूलियट उस पर क्रोधित होती है, तो उसका स्नेह कम हो जाता है,
125
00:07:37,824 --> 00:07:41,700
जबकि यदि वह उससे प्यार करती है, तो उसकी भावनाएँ बढ़ती हैं।
126
00:07:42,580 --> 00:07:45,240
बेशक, इनमें से कोई भी संख्या स्थिर नहीं है।
127
00:07:45,680 --> 00:07:49,076
जैसे-जैसे जूलियट के जवाब में रोमियो का प्यार बढ़ता जाता है,
128
00:07:49,076 --> 00:07:52,360
उसका समीकरण लागू होता जाता है और उसका प्यार कम हो जाता है।
129
00:07:53,360 --> 00:07:58,023
ये दोनों समीकरण समय के प्रत्येक अतिसूक्ष्म बिंदु से अगले तक हमेशा लागू होते हैं,
130
00:07:58,023 --> 00:08:02,859
इसलिए एक मान में प्रत्येक मामूली परिवर्तन तुरंत दूसरे के परिवर्तन की दर को प्रभावित
131
00:08:02,859 --> 00:08:03,320
करता है।
132
00:08:04,120 --> 00:08:06,560
यह विभेदक समीकरणों की एक प्रणाली है.
133
00:08:06,820 --> 00:08:10,731
यह एक पहेली है, जहां आपकी चुनौती t के x और t के y के लिए स्पष्ट
134
00:08:10,731 --> 00:08:14,520
फ़ंक्शन ढूंढना है जो इन दोनों अभिव्यक्तियों को सत्य बनाते हैं।
135
00:08:15,640 --> 00:08:19,872
अब, जैसे-जैसे विभेदक समीकरणों की प्रणालियाँ आगे बढ़ती हैं, यह एक सरल पक्ष पर है,
136
00:08:19,872 --> 00:08:23,740
इतना पर्याप्त है कि कई कैलकुलस छात्र शायद एक उत्तर का अनुमान लगा सकते हैं।
137
00:08:24,300 --> 00:08:28,500
लेकिन ध्यान रखें, कुछ ऐसे कार्यों की जोड़ी ढूंढना पर्याप्त नहीं है जो इसे सच बनाते हैं।
138
00:08:29,000 --> 00:08:32,310
यदि आप वास्तव में भविष्यवाणी करना चाहते हैं कि कुछ शुरुआती बिंदु के बाद
139
00:08:32,310 --> 00:08:35,529
रोमियो और जूलियट कहाँ समाप्त होंगे, तो आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि
140
00:08:35,529 --> 00:08:38,840
आपके कार्य समय t शून्य के बराबर शर्तों के प्रारंभिक सेट से मेल खाते हैं।
141
00:08:39,740 --> 00:08:43,100
अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि आज हमारा वास्तविक लक्ष्य इस समीकरण के अधिक
142
00:08:43,100 --> 00:08:46,786
सामान्य संस्करणों को बिना अनुमान लगाए और जाँच किए व्यवस्थित रूप से हल करना है,
143
00:08:46,786 --> 00:08:49,540
और यही वह प्रश्न है जो हमें मैट्रिक्स घातांक तक ले जाता है।
144
00:08:50,680 --> 00:08:53,439
बहुत बार जब आपके पास इस तरह के कई बदलते मूल्य होते हैं,
145
00:08:53,439 --> 00:08:57,283
तो उन्हें उच्च आयामी स्थान में एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में एक साथ पैकेज
146
00:08:57,283 --> 00:08:58,220
करना सहायक होता है।
147
00:08:58,800 --> 00:09:04,244
तो रोमियो और जूलियट के लिए, उनके रिश्ते को 2डी स्थान में एक बिंदु के रूप में सोचें,
148
00:09:04,244 --> 00:09:07,549
एक्स-समन्वय जूलियट की भावनाओं को कैप्चर कर रहा है,
149
00:09:07,549 --> 00:09:10,920
और वाई-समन्वय रोमियो की भावनाओं को कैप्चर कर रहा है।
150
00:09:13,200 --> 00:09:16,685
कभी-कभी इस स्थिति को मूल से एक तीर के रूप में चित्रित करना सहायक होता है,
151
00:09:16,685 --> 00:09:18,240
कभी-कभी केवल एक बिंदु के रूप में।
152
00:09:18,700 --> 00:09:22,032
वास्तव में जो मायने रखता है वह यह है कि यह दो संख्याओं को एनकोड करता है,
153
00:09:22,032 --> 00:09:24,680
और आगे बढ़ते हुए हम इसे एक कॉलम वेक्टर के रूप में लिखेंगे।
154
00:09:25,300 --> 00:09:27,480
और निस्संदेह, यह सब समय का कार्य है।
155
00:09:28,500 --> 00:09:31,251
आप इस स्थिति के परिवर्तन की दर को चित्रित कर सकते हैं,
156
00:09:31,251 --> 00:09:34,804
वह चीज़ जो x के व्युत्पन्न और y के व्युत्पन्न को एक साथ पैकेज करती है,
157
00:09:34,804 --> 00:09:37,556
इस राज्य स्थान में एक प्रकार के वेग वेक्टर के रूप में,
158
00:09:37,556 --> 00:09:41,258
कुछ ऐसा जो हमारे बिंदु को किसी दिशा में और कुछ परिमाण के साथ खींचता है यह
159
00:09:41,258 --> 00:09:43,360
दर्शाता है कि यह कितनी तेजी से बदल रहा है।
160
00:09:45,560 --> 00:09:50,309
याद रखें, यहाँ नियम यह है कि x के परिवर्तन की दर ऋणात्मक y है,
161
00:09:50,309 --> 00:09:52,420
और y के परिवर्तन की दर x है।
162
00:09:53,300 --> 00:09:57,569
इस तरह से वैक्टर के रूप में सेट करें, हम मूल वेक्टर xy के साथ इस मैट्रिक्स
163
00:09:57,569 --> 00:10:01,440
के उत्पाद के रूप में इस समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिख सकते हैं।
164
00:10:02,080 --> 00:10:04,459
शीर्ष पंक्ति जूलियट के शासन को एन्कोड करती है,
165
00:10:04,459 --> 00:10:06,940
और निचली पंक्ति रोमियो के शासन को एन्कोड करती है।
166
00:10:07,800 --> 00:10:11,773
तो हमारे पास यहां एक अंतर समीकरण है जो हमें बताता है कि कुछ
167
00:10:11,773 --> 00:10:15,880
वेक्टर के परिवर्तन की दर एक निश्चित मैट्रिक्स समय के बराबर है।
168
00:10:19,120 --> 00:10:22,488
एक क्षण में हम इस बारे में बात करेंगे कि मैट्रिक्स घातांक इस प्रकार के समीकरण को
169
00:10:22,488 --> 00:10:25,732
कैसे हल करता है, लेकिन इससे पहले मैं आपको एक सरल तरीका दिखाता हूं जिससे हम इस
170
00:10:25,732 --> 00:10:28,602
विशेष प्रणाली को हल कर सकते हैं, जो शुद्ध ज्यामिति का उपयोग करता है,
171
00:10:28,602 --> 00:10:31,846
और यह मैट्रिक्स को विज़ुअलाइज़ करने के लिए चरण निर्धारित करने में मदद करता है
172
00:10:31,846 --> 00:10:32,720
घातांक थोड़ी देर बाद।
173
00:10:34,000 --> 00:10:37,380
हमारे सिस्टम का यह मैट्रिक्स 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स है।
174
00:10:38,580 --> 00:10:42,553
आपमें से किसी के लिए जो मैट्रिक्स को परिवर्तनों के रूप में सोचने के बारे में चिंतित है,
175
00:10:42,553 --> 00:10:45,760
उसके लिए इस चैनल पर इसके बारे में एक वीडियो, वास्तव में एक श्रृंखला है।
176
00:10:46,400 --> 00:10:51,286
मूल विचार यह है कि जब आप किसी मैट्रिक्स को वेक्टर 1 0 से गुणा करते हैं,
177
00:10:51,286 --> 00:10:56,376
तो यह पहला कॉलम निकाल देता है, और इसी तरह यदि आप इसे 0 1 से गुणा करते हैं,
178
00:10:56,376 --> 00:10:58,480
तो यह दूसरा कॉलम निकाल देता है।
179
00:10:59,900 --> 00:11:02,215
इसका मतलब यह है कि जब आप किसी मैट्रिक्स को देखते हैं,
180
00:11:02,215 --> 00:11:05,473
तो आप इसके कॉलम को पढ़कर बता सकते हैं कि यह इन दो वैक्टरों पर क्या करता है,
181
00:11:05,473 --> 00:11:07,360
जिन्हें आधार वैक्टर के रूप में जाना जाता है।
182
00:11:07,380 --> 00:11:11,696
जिस तरह से यह किसी अन्य वेक्टर पर कार्य करता है वह उस वेक्टर के
183
00:11:11,696 --> 00:11:16,620
निर्देशांक द्वारा स्केलिंग और इन दो आधार परिणामों को जोड़ने का परिणाम है।
184
00:11:17,720 --> 00:11:21,597
तो हमारे सिस्टम से मैट्रिक्स को देखते हुए, ध्यान दें कि इसके कॉलम से हम कैसे
185
00:11:21,597 --> 00:11:24,366
बता सकते हैं कि यह पहला आधार वेक्टर 0 1 पर ले जाता है,
186
00:11:24,366 --> 00:11:28,344
और दूसरा नकारात्मक 1 0 पर ले जाता है, इसलिए मैं इसे 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स
187
00:11:28,344 --> 00:11:29,200
क्यों कह रहा हूं।
188
00:11:30,880 --> 00:11:36,547
हमारे समीकरण के लिए इसका मतलब यह है कि यह कह रहा है कि जहां भी रोमियो और जूलियट इस राज्य
189
00:11:36,547 --> 00:11:41,960
में हैं, उनके परिवर्तन की दर इस स्थिति वेक्टर के 90 डिग्री रोटेशन की तरह दिखनी चाहिए।
190
00:11:42,700 --> 00:11:46,593
इस तरह की स्थिति के लिए वेग स्थायी रूप से लंबवत होने का एकमात्र तरीका यह है
191
00:11:46,593 --> 00:11:49,564
कि जब आप मूल बिंदु के चारों ओर गोलाकार गति में घूमते हैं,
192
00:11:49,564 --> 00:11:53,509
कभी बढ़ते या सिकुड़ते नहीं क्योंकि परिवर्तन की दर में स्थिति की दिशा में कोई
193
00:11:53,509 --> 00:11:54,380
घटक नहीं होता है।
194
00:11:57,060 --> 00:12:02,967
अधिक विशेष रूप से, चूँकि इस वेग वेक्टर की लंबाई स्थिति वेक्टर की लंबाई के बराबर होती है,
195
00:12:02,967 --> 00:12:07,547
तो समय की प्रत्येक इकाई के लिए, यह जो दूरी तय करती है वह उस वृत्त के
196
00:12:07,547 --> 00:12:10,800
साथ चाप की लंबाई के एक त्रिज्या के बराबर होती है।
197
00:12:12,060 --> 00:12:16,239
दूसरे शब्दों में, यह प्रति यूनिट समय में एक रेडियन पर घूमता है,
198
00:12:16,239 --> 00:12:20,680
इसलिए विशेष रूप से पूर्ण क्रांति करने में 2 पीआई यूनिट का समय लगेगा।
199
00:12:22,620 --> 00:12:25,934
यदि आप किसी सूत्र के साथ इस प्रकार के घूर्णन का वर्णन करना चाहते हैं,
200
00:12:25,934 --> 00:12:29,580
तो हम अधिक सामान्य घूर्णन मैट्रिक्स का उपयोग कर सकते हैं, जो इस तरह दिखता है।
201
00:12:30,380 --> 00:12:32,280
फिर, हम इसे कॉलम के संदर्भ में पढ़ सकते हैं।
202
00:12:32,780 --> 00:12:38,019
ध्यान दें कि पहला कॉलम हमें कैसे बताता है कि यह पहले आधार वेक्टर को लागत टी पाप
203
00:12:38,019 --> 00:12:43,520
टी में ले जाता है, और दूसरा कॉलम हमें बताता है कि यह दूसरे आधार वेक्टर को नकारात्मक
204
00:12:43,520 --> 00:12:48,760
पाप टी लागत टी में ले जाता है, जो दोनों टी रेडियंस द्वारा घूर्णन के अनुरूप हैं .
205
00:12:49,700 --> 00:12:52,659
इसलिए, सिस्टम को हल करने के लिए, यदि आप यह अनुमान लगाना चाहते
206
00:12:52,659 --> 00:12:55,905
हैं कि समय की टी इकाइयों के बाद रोमियो और जूलियट कहाँ समाप्त होंगे,
207
00:12:55,905 --> 00:12:58,960
तो आप इस मैट्रिक्स को उनकी प्रारंभिक स्थिति से गुणा कर सकते हैं।
208
00:13:00,120 --> 00:13:04,111
आपके बीच के सक्रिय दर्शक भी थोड़ा रुककर यह पुष्टि करने का आनंद ले सकते हैं कि
209
00:13:04,111 --> 00:13:07,334
टी के एक्स और टी के वाई के लिए आपको जो स्पष्ट सूत्र मिलते हैं,
210
00:13:07,334 --> 00:13:11,940
वे वास्तव में अंतर समीकरणों की उस प्रणाली को संतुष्ट करते हैं जिसके साथ हमने शुरुआत की थी।
211
00:13:17,740 --> 00:13:20,616
आपके अंदर का गणितज्ञ आश्चर्यचकित हो सकता है कि क्या न केवल इस विशिष्ट
212
00:13:20,616 --> 00:13:23,452
प्रणाली को हल करना संभव है, बल्कि किसी भी अन्य मैट्रिक्स के लिए इसके
213
00:13:23,452 --> 00:13:26,000
जैसे समीकरणों को हल करना संभव है, चाहे इसके गुणांक कुछ भी हों।
214
00:13:27,120 --> 00:13:31,160
यह प्रश्न पूछना मैट्रिक्स घातांकों को फिर से खोजने के लिए स्वयं को तैयार करना है।
215
00:13:31,780 --> 00:13:36,346
आज का मुख्य लक्ष्य आपके लिए यह समझना है कि कैसे यह समीकरण आपको उस ऑपरेशन को सहज रूप से
216
00:13:36,346 --> 00:13:40,598
चित्रित करने देता है जिसे हम मैट्रिक्स में ई के रूप में लिखते हैं, और दूसरी तरफ,
217
00:13:40,598 --> 00:13:45,270
मैट्रिक्स घातांक की गणना करने में सक्षम होने से आप इस समीकरण को स्पष्ट रूप से हल कर सकते
218
00:13:45,270 --> 00:13:45,480
हैं।
219
00:13:46,520 --> 00:13:49,779
एक बहुत कम सनकी उदाहरण श्रोडिंगर का प्रसिद्ध समीकरण है,
220
00:13:49,779 --> 00:13:54,960
जो मौलिक समीकरण है जो बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी में सिस्टम समय के साथ कैसे बदलते हैं।
221
00:13:55,680 --> 00:13:58,668
यह काफी डराने वाला लगता है, और मेरा मतलब है कि यह क्वांटम यांत्रिकी है,
222
00:13:58,668 --> 00:14:02,320
इसलिए निश्चित रूप से यह होगा, लेकिन यह वास्तव में रोमियो और जूलियट सेटअप से अलग नहीं है।
223
00:14:03,020 --> 00:14:05,280
यहां यह प्रतीक एक निश्चित वेक्टर को संदर्भित करता है।
224
00:14:05,800 --> 00:14:10,091
यह एक वेक्टर है जो सिस्टम में आपके लिए आवश्यक सभी सूचनाओं को एक साथ पैकेज करता है,
225
00:14:10,091 --> 00:14:12,160
जैसे कि विभिन्न कणों की स्थिति और संवेग।
226
00:14:12,240 --> 00:14:14,593
यह हमारे सरल 2डी वेक्टर के समान है जिसने रोमियो और
227
00:14:14,593 --> 00:14:16,900
जूलियट के बारे में सारी जानकारी को एन्कोड किया है।
228
00:14:17,840 --> 00:14:20,746
समीकरण कहता है कि जिस दर पर यह राज्य वेक्टर एक निश्चित
229
00:14:20,746 --> 00:14:23,600
मैट्रिक्स जैसा दिखता है वह अपने आप से कई गुना अधिक है।
230
00:14:24,560 --> 00:14:28,216
ऐसी कई चीजें हैं जो श्रोडिंगर के समीकरण को और अधिक जटिल बनाती हैं,
231
00:14:28,216 --> 00:14:32,747
लेकिन अपने दिमाग के पीछे आप इसे एक लक्ष्य बिंदु के रूप में सोच सकते हैं जिसे आप और
232
00:14:32,747 --> 00:14:37,277
मैं रोमियो और जूलियट जैसे सरल उदाहरणों के साथ और अधिक दोस्ताना कदम पेश कर सकते हैं।
233
00:14:37,277 --> 00:14:38,260
रास्ते में पत्थर.
234
00:14:39,540 --> 00:14:42,635
दरअसल, सबसे सरल उदाहरण जो ई की सामान्य वास्तविक-संख्या
235
00:14:42,635 --> 00:14:45,000
शक्तियों से जुड़ा है वह एक-आयामी मामला है।
236
00:14:45,400 --> 00:14:48,156
यह तब होता है जब आपके पास एक एकल परिवर्तनशील मान होता है,
237
00:14:48,156 --> 00:14:50,580
और इसकी परिवर्तन दर कुछ स्थिर समय के बराबर होती है।
238
00:14:51,200 --> 00:14:53,440
इसलिए मूल्य जितना बड़ा होगा, वह उतनी ही तेजी से बढ़ेगा।
239
00:14:55,080 --> 00:14:58,112
अधिकांश लोग ग्राफ़ के साथ इसकी कल्पना करने में अधिक सहज होते हैं,
240
00:14:58,112 --> 00:15:01,190
जहां ग्राफ़ का मूल्य जितना अधिक होगा, इसकी ढलान उतनी ही तेज़ होगी,
241
00:15:01,190 --> 00:15:03,580
जिसके परिणामस्वरूप यह ऊपर की ओर बढ़ता हुआ वक्र होगा।
242
00:15:04,040 --> 00:15:06,630
बस यह ध्यान रखें कि जब हम उच्च आयामी विचरण पर पहुँचते हैं,
243
00:15:06,630 --> 00:15:08,080
तो ग्राफ़ बहुत कम सहायक होते हैं।
244
00:15:08,880 --> 00:15:11,500
यह अपने आप में बेहद महत्वपूर्ण समीकरण है.
245
00:15:11,700 --> 00:15:14,046
यह एक बहुत शक्तिशाली अवधारणा है जब किसी मूल्य में
246
00:15:14,046 --> 00:15:16,300
परिवर्तन की दर स्वयं मूल्य के समानुपाती होती है।
247
00:15:16,760 --> 00:15:21,073
यह चक्रवृद्धि ब्याज, या सीमित संसाधनों के प्रभाव शुरू होने से पहले जनसंख्या
248
00:15:21,073 --> 00:15:24,195
वृद्धि के शुरुआती चरण, या किसी महामारी के शुरुआती चरण,
249
00:15:24,195 --> 00:15:29,020
जबकि अधिकांश आबादी अतिसंवेदनशील होती है, जैसी चीजों को नियंत्रित करने वाला समीकरण है।
250
00:15:31,920 --> 00:15:37,360
कैलकुलस के सभी छात्र यह सीखते हैं कि ई से आरटी का व्युत्पन्न कैसे आर गुना है।
251
00:15:38,440 --> 00:15:43,618
दूसरे शब्दों में, यह स्व-सुदृढ़ीकरण विकास घटना घातीय वृद्धि के समान है,
252
00:15:43,618 --> 00:15:46,280
और ई से आरटी इस समीकरण को हल करता है।
253
00:15:48,800 --> 00:15:53,868
दरअसल, इसके बारे में सोचने का एक बेहतर तरीका यह है कि इस समीकरण के कई अलग-अलग समाधान हैं,
254
00:15:53,868 --> 00:15:58,937
प्रत्येक प्रारंभिक स्थिति के लिए एक, प्रारंभिक निवेश आकार या प्रारंभिक जनसंख्या जैसा कुछ,
255
00:15:58,937 --> 00:16:00,120
जिसे हम बस x0 कहेंगे।
256
00:16:00,960 --> 00:16:05,379
ध्यान दें, वैसे, x0 का मान जितना अधिक होगा, परिणामी समाधान का प्रारंभिक
257
00:16:05,379 --> 00:16:09,860
ढलान उतना ही अधिक होगा, जो समीकरण को देखते हुए पूर्ण अर्थ में होना चाहिए।
258
00:16:11,220 --> 00:16:15,131
फ़ंक्शन ई से आरटी केवल एक समाधान है जब प्रारंभिक स्थिति 1 होती है,
259
00:16:15,131 --> 00:16:18,516
लेकिन यदि आप किसी अन्य प्रारंभिक स्थिति से गुणा करते हैं,
260
00:16:18,516 --> 00:16:22,720
तो आपको एक नया फ़ंक्शन मिलता है जो अभी भी इस संपत्ति को संतुष्ट करता है।
261
00:16:23,060 --> 00:16:26,544
इसमें अभी भी एक व्युत्पन्न है जो r गुना है, लेकिन
262
00:16:26,544 --> 00:16:29,960
इस बार यह x0 से शुरू होता है क्योंकि e से 0 1 है।
263
00:16:30,780 --> 00:16:33,300
इससे पहले कि हम और अधिक आयामों का सामान्यीकरण करें, इस पर प्रकाश डालना ज़रूरी है।
264
00:16:33,800 --> 00:16:37,320
घातीय भाग को अपने आप में एक समाधान के रूप में न सोचें।
265
00:16:37,800 --> 00:16:42,380
इसे एक ऐसी चीज़ के रूप में सोचें जो समाधान देने के लिए प्रारंभिक स्थिति पर कार्य करती है।
266
00:16:46,440 --> 00:16:51,129
आप देखते हैं, द्वि-आयामी मामले में, जब हमारे पास एक बदलता हुआ वेक्टर होता है जिसकी
267
00:16:51,129 --> 00:16:54,349
परिवर्तन की दर स्वयं कुछ मैट्रिक्स समय तक सीमित होती है,
268
00:16:54,349 --> 00:16:59,320
तो समाधान जो दिखता है वह एक घातीय शब्द है जो किसी दिए गए प्रारंभिक स्थिति पर कार्य करता
269
00:16:59,320 --> 00:17:04,235
है, लेकिन घातांक उस स्थिति में, भाग एक मैट्रिक्स उत्पन्न करेगा जो समय के साथ बदलता है,
270
00:17:04,235 --> 00:17:06,099
और प्रारंभिक स्थिति एक वेक्टर है।
271
00:17:06,900 --> 00:17:10,494
वास्तव में, आपको मैट्रिक्स घातांक की परिभाषा के बारे में यह सोचना चाहिए
272
00:17:10,494 --> 00:17:13,940
कि यह तथ्य सत्य है, यह सुनिश्चित करके अत्यधिक प्रेरित किया जा रहा है।
273
00:17:14,920 --> 00:17:19,942
उदाहरण के लिए, यदि हम उस प्रणाली को देखते हैं जो रोमियो और जूलियट के साथ सामने आई थी,
274
00:17:19,942 --> 00:17:24,206
तो अब दावा यह है कि समाधान ऐसे दिखते हैं जैसे ई को इस 0, नकारात्मक 1, 1,
275
00:17:24,206 --> 00:17:28,820
0 मैट्रिक्स तक हर समय उठाया जाता है, कुछ प्रारंभिक स्थिति से गुणा किया जाता है।
276
00:17:29,560 --> 00:17:31,591
लेकिन हम इस मामले में समाधान पहले ही देख चुके हैं,
277
00:17:31,591 --> 00:17:34,580
हम जानते हैं कि यह प्रारंभिक स्थिति से गुणा रोटेशन मैट्रिक्स जैसा दिखता है।
278
00:17:35,260 --> 00:17:38,854
तो आइए कुछ देर के लिए अपनी आस्तीन ऊपर उठाएं और उस परिभाषा का उपयोग करके घातीय
279
00:17:38,854 --> 00:17:42,680
शब्द की गणना करें जिसका मैंने शुरुआत में उल्लेख किया था और देखें कि क्या यह सही है।
280
00:17:43,260 --> 00:17:46,824
याद रखें, मैट्रिक्स की शक्ति के लिए ई लिखना एक आशुलिपि है,
281
00:17:46,824 --> 00:17:52,080
इसे इस लंबे अनंत बहुपद में प्लग करने के लिए एक आशुलिपि, ई से एक्स के लिए टेलर श्रृंखला।
282
00:17:53,100 --> 00:17:56,697
मैं जानता हूं कि ऐसा करना काफी जटिल लग सकता है, लेकिन मुझ पर विश्वास करें,
283
00:17:56,697 --> 00:17:59,480
यह बहुत संतोषजनक है कि यह विशेष रूप से कैसे तैयार होता है।
284
00:18:00,180 --> 00:18:04,250
यदि आप वास्तव में बैठते हैं और इस मैट्रिक्स की क्रमिक शक्तियों की गणना करते हैं,
285
00:18:04,250 --> 00:18:08,020
तो आप देखेंगे कि वे हर चार पुनरावृत्तियों में एक चक्रीय पैटर्न में आते हैं।
286
00:18:27,280 --> 00:18:30,940
यह समझ में आना चाहिए कि हम जानते हैं कि यह 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स है।
287
00:18:31,620 --> 00:18:34,800
इसलिए जब आप सभी अनंत आव्यूहों को पद दर पद जोड़ते हैं,
288
00:18:34,800 --> 00:18:37,862
तो परिणाम में प्रत्येक पद एक बहुपद की तरह दिखता है,
289
00:18:37,862 --> 00:18:41,160
जिसके गुणांकों में कुछ अच्छे साइक्लिंग पैटर्न होते हैं,
290
00:18:41,160 --> 00:18:44,400
उन सभी को प्रासंगिक भाज्य पद द्वारा स्केल किया जाता है।
291
00:18:45,760 --> 00:18:49,637
आपमें से जो लोग टेलर श्रृंखला के जानकार हैं, वे यह पहचानने में सक्षम हो
292
00:18:49,637 --> 00:18:53,623
सकते हैं कि इनमें से प्रत्येक घटक साइन या कोसाइन के लिए टेलर श्रृंखला है,
293
00:18:53,623 --> 00:18:57,340
हालांकि शीर्ष दाएं कोने के मामले में यह वास्तव में नकारात्मक साइन है।
294
00:18:58,680 --> 00:19:03,380
तो गणना से हमें जो मिलता है वह बिल्कुल वही रोटेशन मैट्रिक्स है जो हमारे पास पहले था।
295
00:19:07,160 --> 00:19:09,220
मेरे लिए यह बेहद खूबसूरत है.
296
00:19:09,680 --> 00:19:13,323
हमारे पास एक ही प्रणाली के बारे में तर्क करने के दो बिल्कुल अलग-अलग तरीके हैं,
297
00:19:13,323 --> 00:19:14,800
और वे हमें एक ही उत्तर देते हैं।
298
00:19:15,480 --> 00:19:17,961
मेरा मतलब है, यह आश्वस्त करने वाला है कि वे ऐसा करते हैं,
299
00:19:17,961 --> 00:19:21,684
लेकिन यह अजीब है कि जब आप इस बहुपद के माध्यम से आगे बढ़ रहे होते हैं तो विचार का तरीका
300
00:19:21,684 --> 00:19:25,365
कितना अलग होता है, बनाम जब आप ज्यामितीय रूप से तर्क कर रहे होते हैं कि किसी स्थिति के
301
00:19:25,365 --> 00:19:26,820
लंबवत वेग का क्या अर्थ होना चाहिए।
302
00:19:27,720 --> 00:19:30,918
उम्मीद है कि यह तथ्य इस दावे में थोड़ा विश्वास पैदा करता है कि
303
00:19:30,918 --> 00:19:34,320
मैट्रिक्स प्रतिपादक वास्तव में इस तरह की प्रणालियों को हल करते हैं।
304
00:19:35,340 --> 00:19:38,343
यह उस गणना की व्याख्या करता है जो हमने शुरुआत में देखी थी, वैसे,
305
00:19:38,343 --> 00:19:41,162
मैट्रिक्स के साथ जिसमें विकर्णों से नकारात्मक पाई और पाई थी,
306
00:19:41,162 --> 00:19:42,780
जो नकारात्मक पहचान उत्पन्न करती थी।
307
00:19:43,560 --> 00:19:47,876
यह अभिव्यक्ति 90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स टाइम्स पाई को घातांकित कर रही है,
308
00:19:47,876 --> 00:19:52,711
जो यह वर्णन करने का एक और तरीका है कि रोमियो-जूलियट सेटअप समय की पाई इकाइयों के बाद
309
00:19:52,711 --> 00:19:53,460
क्या करता है।
310
00:19:54,040 --> 00:19:59,454
जैसा कि अब हम जानते हैं, इस अवस्था में हर चीज़ को 180 डिग्री तक घुमाने का प्रभाव होता है,
311
00:19:59,454 --> 00:20:01,680
जो ऋणात्मक 1 से गुणा करने के समान है।
312
00:20:03,060 --> 00:20:06,020
साथ ही, आपमें से जो भी काल्पनिक संख्या घातांक से परिचित है,
313
00:20:06,020 --> 00:20:08,980
उसके लिए यह विशेष उदाहरण संभवतः ढेर सारी घंटियाँ बजा रहा है।
314
00:20:09,360 --> 00:20:11,120
यह 100% अनुरूप है.
315
00:20:11,840 --> 00:20:16,096
वास्तव में, हम पूरे उदाहरण को तैयार कर सकते थे जहां रोमियो और जूलियट की
316
00:20:16,096 --> 00:20:18,874
भावनाओं को एक जटिल संख्या में पैक किया गया था,
317
00:20:18,874 --> 00:20:21,770
और उस जटिल संख्या के परिवर्तन की दर i गुना होगी,
318
00:20:21,770 --> 00:20:25,140
क्योंकि i से गुणा भी 90 डिग्री रोटेशन की तरह काम करता है।
319
00:20:25,840 --> 00:20:29,120
तर्क की एक ही सटीक रेखा, विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय दोनों,
320
00:20:29,120 --> 00:20:33,680
ने इस पूरे विचार को जन्म दिया होगा कि ई उस शक्ति से है जो रोटेशन का वर्णन करती है।
321
00:20:34,460 --> 00:20:37,395
ये वास्तव में पूरे गणित और भौतिकी में कई अलग-अलग उदाहरणों में
322
00:20:37,395 --> 00:20:40,236
से दो हैं जब आप खुद को किसी वस्तु का घातांकित करते हुए पाते
323
00:20:40,236 --> 00:20:43,220
हैं जो समय के साथ 90 डिग्री के घूर्णन के रूप में कार्य करता है।
324
00:20:43,980 --> 00:20:48,020
यह चतुर्भुज या क्वांटम यांत्रिकी में सामने आने वाले कई आव्यूहों के साथ दिखाई देता है।
325
00:20:48,720 --> 00:20:53,225
इन सभी मामलों में, हमारे पास यह वास्तव में साफ-सुथरा सामान्य विचार है कि यदि आप कोई
326
00:20:53,225 --> 00:20:56,122
ऑपरेशन करते हैं जो किसी विमान में 90 डिग्री घूमता है,
327
00:20:56,122 --> 00:21:00,789
तो अक्सर यह कुछ उच्च आयामी स्थान में एक विमान होता है जिसे हम कल्पना नहीं कर सकते हैं,
328
00:21:00,789 --> 00:21:05,402
तो उसे घातांकित करने से हमें क्या मिलता है ऑपरेशन समय समय एक ऐसी चीज़ है जो उसी विमान
329
00:21:05,402 --> 00:21:07,280
में अन्य सभी घुमाव उत्पन्न करता है।
330
00:21:09,100 --> 00:21:13,240
इसी विषय पर अधिक जटिल विविधताओं में से एक श्रोडिंगर का समीकरण है।
331
00:21:13,840 --> 00:21:16,283
ऐसा नहीं है कि इसमें किसी राज्य का व्युत्पन्न
332
00:21:16,283 --> 00:21:18,780
उस राज्य के कुछ मैट्रिक्स समय के बराबर होता है।
333
00:21:19,020 --> 00:21:22,554
यहां प्रासंगिक मैट्रिक्स की प्रकृति ऐसी है कि समीकरण एक प्रकार
334
00:21:22,554 --> 00:21:26,033
के घूर्णन का भी वर्णन करता है, हालांकि श्रोडिंगर के समीकरण के
335
00:21:26,033 --> 00:21:29,680
कई अनुप्रयोगों में यह एक प्रकार के फ़ंक्शन स्पेस में घूर्णन होगा।
336
00:21:30,520 --> 00:21:32,727
हालाँकि इसमें थोड़ा अधिक शामिल है क्योंकि आम तौर
337
00:21:32,727 --> 00:21:34,800
पर इसमें कई अलग-अलग घुमावों का संयोजन होता है।
338
00:21:35,220 --> 00:21:37,734
वास्तव में इस समीकरण को समझने में समय लगता है,
339
00:21:37,734 --> 00:21:41,962
और मैं इसे बाद के अध्याय में करना पसंद करूंगा, लेकिन अभी मैं मदद नहीं कर सकता,
340
00:21:41,962 --> 00:21:46,456
लेकिन कम से कम इस तथ्य की ओर संकेत कर सकता हूं कि यह काल्पनिक इकाई ऐसे मौलिक समीकरण
341
00:21:46,456 --> 00:21:50,844
में इतनी निष्क्रियता से बैठती है संपूर्ण ब्रह्मांड मूल रूप से हमारे रोमियो-जूलिया
342
00:21:50,844 --> 00:21:53,520
उदाहरण के मैट्रिक्स के समान ही भूमिका निभा रहा है।
343
00:21:54,160 --> 00:21:58,608
मैं जो बताता हूं वह यह है कि एक निश्चित स्थिति में परिवर्तन की दर,
344
00:21:58,608 --> 00:22:02,923
एक अर्थ में, उस स्थिति के लंबवत होती है, और इसलिए समय के साथ जिस
345
00:22:02,923 --> 00:22:07,040
तरह से चीजें विकसित होंगी, उसमें एक प्रकार का दोलन शामिल होगा।
346
00:22:11,120 --> 00:22:14,480
लेकिन मैट्रिक्स घातांक केवल घूर्णन के अलावा और भी बहुत कुछ कर सकता है।
347
00:22:15,020 --> 00:22:19,040
आप वेक्टर फ़ील्ड का उपयोग करके हमेशा इस प्रकार के अंतर समीकरणों की कल्पना कर सकते हैं।
348
00:22:20,240 --> 00:22:23,824
विचार यह है कि यह समीकरण हमें बताता है कि किसी राज्य का वेग पूरी तरह से
349
00:22:23,824 --> 00:22:27,310
उसकी स्थिति से निर्धारित होता है, इसलिए हम जो करते हैं वह अंतरिक्ष के
350
00:22:27,310 --> 00:22:30,895
प्रत्येक बिंदु पर जाते हैं और एक छोटा सा वेक्टर बनाते हैं जो दर्शाता है
351
00:22:30,895 --> 00:22:34,480
कि यदि कोई राज्य वहां से गुजरता है तो उसका वेग क्या होना चाहिए वह बिंदु.
352
00:22:35,340 --> 00:22:38,370
हमारे प्रकार के समीकरण के लिए, इसका मतलब है कि हम अंतरिक्ष में
353
00:22:38,370 --> 00:22:41,400
प्रत्येक बिंदु v पर जाते हैं और हम वेक्टर m को v से जोड़ते हैं।
354
00:22:54,020 --> 00:22:57,582
सहज रूप से यह समझने के लिए कि कोई भी प्रारंभिक स्थिति कैसे विकसित होगी,
355
00:22:57,582 --> 00:23:01,045
आप इसे इस क्षेत्र में ऐसे वेग के साथ प्रवाहित होने दें जो किसी भी समय
356
00:23:01,045 --> 00:23:04,360
किसी भी बिंदु पर जिस भी वेक्टर पर बैठा हो, उससे हमेशा मेल खाता रहे।
357
00:23:05,860 --> 00:23:10,835
इसलिए यदि दावा यह है कि इस समीकरण का समाधान किसी प्रारंभिक स्थिति के समय mt के लिए e
358
00:23:10,835 --> 00:23:15,869
जैसा दिखता है, तो इसका मतलब है कि आप कल्पना कर सकते हैं कि समय की t इकाइयों के लिए इस
359
00:23:15,869 --> 00:23:21,020
क्षेत्र के साथ हर संभव प्रारंभिक स्थिति को प्रवाहित करके मैट्रिक्स e से mt क्या करता है।
360
00:23:25,080 --> 00:23:28,630
प्रारंभ से अंत तक संक्रमण का वर्णन ई से एमटी की गणना
361
00:23:28,630 --> 00:23:32,180
से निकलने वाले किसी भी मैट्रिक्स द्वारा किया जाता है।
362
00:23:33,540 --> 00:23:36,480
90 डिग्री रोटेशन मैट्रिक्स के साथ हमारे मुख्य उदाहरण में,
363
00:23:36,480 --> 00:23:39,979
वेक्टर क्षेत्र इस तरह दिखता है, और जैसा कि हमने देखा कि ई से एमटी उस
364
00:23:39,979 --> 00:23:44,340
मामले में रोटेशन का वर्णन करता है, जो इस क्षेत्र के साथ प्रवाह के साथ रेखाएं बनाता है।
365
00:23:45,800 --> 00:23:49,935
एक अन्य उदाहरण के रूप में, शेक्सपियर के रोमियो और जूलियट के समीकरण कुछ
366
00:23:49,935 --> 00:23:54,536
हद तक इस तरह दिख सकते हैं, जहां जूलियट का शासन रोमियो के शासन के साथ सममित है,
367
00:23:54,536 --> 00:23:58,380
और वे दोनों एक-दूसरे की भावनाओं के जवाब में बह जाने के इच्छुक हैं।
368
00:23:59,360 --> 00:24:03,202
फिर, जिस तरह से आप जिस वेक्टर फ़ील्ड को देख रहे हैं उसे परिभाषित किया गया है,
369
00:24:03,202 --> 00:24:06,700
अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु v पर जाना है और वेक्टर m को v से जोड़ना है।
370
00:24:07,160 --> 00:24:10,489
यह कहने का सचित्र तरीका है कि किसी राज्य के परिवर्तन
371
00:24:10,489 --> 00:24:12,940
की दर हमेशा m गुना के बराबर होनी चाहिए।
372
00:24:14,160 --> 00:24:18,600
लेकिन इस उदाहरण के लिए, मैदान के साथ प्रवाह पहले की तुलना में बहुत अलग दिखता है।
373
00:24:19,200 --> 00:24:23,412
यदि रोमियो और जूलियट विमान के इस ऊपरी दाएँ आधे भाग में कहीं भी यात्रा शुरू करते हैं,
374
00:24:23,412 --> 00:24:27,080
तो उनकी भावनाएँ एक-दूसरे से प्रभावित होंगी और वे दोनों अनंत की ओर बढ़ेंगे।
375
00:24:30,580 --> 00:24:33,654
यदि वे विमान के दूसरे आधे हिस्से में हैं, तो मान लीजिए कि वे
376
00:24:33,654 --> 00:24:36,880
अपनी कैपुलेट और मोंटागु परिवार परंपराओं के प्रति अधिक सच्चे हैं।
377
00:24:38,020 --> 00:24:41,931
तो इससे पहले कि आप इस विशेष मैट्रिक्स के घातांक की गणना करने का प्रयास करें,
378
00:24:41,931 --> 00:24:45,640
आप पहले से ही एक सहज ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं कि उत्तर कैसा दिखना चाहिए।
379
00:24:46,160 --> 00:24:50,070
परिणामी मैट्रिक्स को समय 0 से समय t तक संक्रमण का वर्णन करना चाहिए,
380
00:24:50,070 --> 00:24:54,384
यदि आप फ़ील्ड को देखते हैं तो यह संकेत मिलता है कि यह एक विकर्ण के साथ-साथ
381
00:24:54,384 --> 00:24:59,560
दूसरे के साथ खिंचते हुए सिकुड़ जाएगा, जैसे-जैसे t बड़ा होता जाएगा, और अधिक चरम होता जाएगा।
382
00:25:00,780 --> 00:25:03,723
निःसंदेह, यह सब यह मानकर चल रहा है कि ई से एमटी समय तक
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प्रारंभिक स्थिति वास्तव में इन प्रणालियों को हल करती है।
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यह उन तथ्यों में से एक है जिन पर विश्वास करना तब
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सबसे आसान होता है जब आप स्वयं इस पर काम करते हैं।
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लेकिन मैं एक त्वरित रफ स्केच देखूंगा।
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पूर्ण बहुपद लिखें जो e को mt तक परिभाषित करता है
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और दाईं ओर कुछ प्रारंभिक स्थिति वेक्टर से गुणा करें।
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और फिर t के संबंध में इसका व्युत्पन्न लें।
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चूँकि मैट्रिक्स m एक स्थिरांक है, इसका मतलब केवल प्रत्येक पद पर घात नियम लागू करना है।
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और वह शक्ति नियम वास्तव में तथ्यात्मक शर्तों के साथ अच्छी तरह से रद्द हो जाता है।
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तो हमारे पास जो बचा है वह एक अभिव्यक्ति है जो लगभग वही दिखती है जो हमारे पास पहले थी,
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सिवाय इसके कि प्रत्येक पद पर एक अतिरिक्त एम लटका हुआ है।
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लेकिन इसे बाईं ओर से समझा जा सकता है।
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अतः व्यंजक का व्युत्पन्न मूल व्यंजक का m गुना है, और इसलिए यह समीकरण को हल करता है।
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यह वास्तव में कठोरता के लिए आवश्यक कुछ विवरणों को छिपा देता है,
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जो ज्यादातर इस सवाल पर केंद्रित होता है कि क्या यह चीज़ वास्तव
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में अभिसरण करती है या नहीं, लेकिन यह मुख्य विचार देती है।
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अगले अध्याय में मैं इस ऑपरेशन के गुणों के बारे में अधिक बात करना चाहूंगा,
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विशेष रूप से ईजेनवेक्टर और ईजेनवैल्यू के साथ इसका संबंध,
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जो हमें यह सोचने के अधिक ठोस तरीकों की ओर ले जाता है कि आप वास्तव में इस गणना को
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कैसे करते हैं, जो अन्यथा पागल लगता है।
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इसके अलावा, यदि समय मिले, तो इस बारे में बात करना मजेदार हो
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सकता है कि डेरिवेटिव ऑपरेटर की शक्ति को बढ़ाने का क्या मतलब है।